旋转在数学解题中发挥的重要作用
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旋转在数学解题中发挥的重要作用
大悟县高店中学 陈杰 陈锐
【摘要】 旋转是平面几何变换的一种
是把平面内的某个图形绕定点（旋转中心）
按一定的方向旋转一个角度（旋转角）
构造出新的图形
利用旋转后的图形形状
大小都没有发生改变这一特征
从而找到解题途径
【关键词】激发兴趣 优化整合 掌握方法 化难为易
一、 创设情景
激发学生对旋转的兴趣
人类生活在地球上
地球总是绕着太阳一刻不停自西向东旋转
使得春夏秋冬一年四季分明
我们旅行乘坐的火车、飞机、轮船都是车轮的轮胎
铁轨、螺旋桨不停旋转把我们顺利送到目的地；教室黑板上面挂的时钟
时针分针秒针不停地旋转
把我们带到美好的明天
等等
生活中处处有旋转
旋转给了我们的生活的勇气
旋转给我们解题增添了智慧
旋转给我们解决疑难问题产生了极大的动力
°
【例1】 △ABC绕定点O旋转到△DEF的位置
图1
（1） 旋转中心是什么？旋转角是什么？有几个旋转角？它们具有怎样的关系？
（2） 经过旋转点A和旋转点B分别到什么位置？
（3） 线段OA与OD的长有什么关系？OB与OF、OC与OE呢？
（4） 将△ABC绕点O旋转90°后
如果得到△GHK
连接AG、BH、CK
图中有几个等腰直角三角形？
（5） 将△ABC绕定点O旋转180°后
如果得到△GHK
△ABC与△GHK的位置关系是＿＿＿.S△ABC ＿＿S△GHK
【例2】下列四个图形分别是正三角形
正方形
五角星
正六边形
分别指出各自至少旋转多少度之后可以与自身重合
A B C D
图2
由此我们得出旋转变换前后图形的性质：
（1）对应线段相等
对应角相等
（2）对应点位置的排列次序相同
（3）任意两条对应线段所在直线的夹角都等于旋转角
（4）旋转中心O是旋转变化下的不动点
（5）图形的旋转不改变图形的形状、大小
只改变图形的位置
通过图1、图2使得我们更进一步了解线段、角、面积、图形旋转后蕴藏的一些联系与规律
旋转变换在平面几何中有着广泛的应用
特别是在解（证）有关等腰直角三角形、正三角形、正方形
探究角、线段、面积等问题时
更是经常用到的思维方法
从而激发学生对旋转的兴趣
二、优化整合
培养学生旋转创新的意识
在解题过程中
我们会遇到各种各样的疑难
问题
题目的条件比较分散
线段、角、图形的面积又不在同一个图形中
要求解
就在我们感到束手无策的时候
应马上增加一些旋转变化的意识
旋转变化的思想在几何解题中有着不可替代的作用
这种数学思维体现了思维的多样性
也是我们学习几何的一个可循的规律
【例3】如图3
P是等边△ABC内的一点
PB=2
PC=1
∠BPC=150°
求PA的长度
图3
（思维展示）图形中PA、PB、PC三条线段是绕点P向外呈射状形
条件十分分散不易直接求出PA的值
如何将PA、PB、PC集中在一个三角形中
这是解决本题关键
由于△ABC是等边三角形
所以将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°到△BCD的位置
则PA=BD,连接PD
这样把PA、PB、PC集中到一个△BPD中
问题即可解决
解：将△ACP绕点C按逆时针方向旋转60°到△BPD的位置
连接PD,
则CP=CD
PA=DB, ∠BCD=∠ACP
又∵ ∠ACP+∠BCP=60°
∴∠BCP+∠BCD=∠PCD=60°
∴△PCD是等边三角形
∴PC=PD=1, ∠CPD=60°
又∵∠BPD=∠BPC-∠CPD=150°-60°=90°
∴△BPD是直角三角形
又∵PB=2
PC=1
∴BD=√BP2+PD2=√22+12=√5
∴PA=√5
探究1：如图4
在正方形ABCD中
PA=1
PB=2
PC=3
点P在正方形ABCD的内部
试求∠APB的度数
图4
三、 掌握方法
提高学生旋转解题的能力
我们知道旋转变化的性质
在教学工作中
平时多注意培养学生运用旋转变换思想进行解题
把一个图形怎样旋转、旋转多少度可以达到求解的目的；如何掌握旋转的方法
可以减少几何中的一些难点和压力
使学生逐步添加辅助线
这些都是有规律可循的
从而使解题的速度和质量大大提高
【例4】如图5
在△ABC中
∠ACB =90°
AC=BC
M、N为AB上的两点
且满足AM2+BN2=MN2
求∠MCN的度数
图5
(思维展示)因为题目所给的条件AM、BN、MN三条线段在同一条直线上
并且满足AM2+BN2=MN2
那我们想想
在怎么样的三角形中满足两条边的平方的和等于第三条边的平方
只有在直角三角形中
运用勾股定理可得
因为我们必须把线段AM、BN、MN想办法转移到一个直角三角形中
去探索它们之间的关系
因为题目条件中∠ACB =90°
AC=BC
△ABC是等腰直角三角形
所以把△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°到△ACD的位置
连接DM
运用勾股定理的逆定理
及三角形全等知识
即可求∠MCN的度数
解：将△BCN绕点C按顺时针方向旋转90°到△ACD的位置
连接DM
∴AD=BN
CD=CN
∵∠ACB
=90°
AC=AB
∴△ABC是等腰直角三角形
∴∠B=∠DAC=∠CAB=45°
∴∠DAB=90°
∴△ADM是直角三角形
∴AM2+ AD2=DM2（1）
又∵AM2+BN2=MN2
∴AM2+ AD2=MN2（2）
由（1）（2）得
DM2=MN2
∴DM=MN
在△CDM和△MCN中
CD=CN
∵ DM=MN
CM=CN
∴△CDM≌△MCN
∴∠DCM=∠MCN
∵∠DCM+∠MCN =90°
∴∠MCN=45°
四、大胆猜想
利用旋转化难为易
数学猜想是数学发展中最活动、最主动、最积极的因素之一
是根据题目中的条件、图形特点
进行大胆的探索猜想
数学猜想是有一定规律的
例如
我们利用旋转
大胆猜想解一道数学竞赛题
【例5】（2011全国初中数学竞赛题）如图6
正方形ABCD的边长为1
点P、Q分别是其内两点
且∠PAQ=∠PCQ=45°
求S△ABP+S△PCQ+S△QAD的值
（思维展示）根据题目所给的条件,正方形ABCD的边长为1,且∠PAQ=∠PCQ=45°.图中没有全等的三角形
除了正方形ABCD之外
也没有平行四边形
而点P、Q与正方形各个顶点的连线把正方形分成六个三角形
现在要我们求S△ABP+S△PCQ+S△QAD的值
我们根据这三个三角形在正方形ABCD位置恰好交错这一特点
进行大胆的猜想
即S△ABP+S△PCQ+S△QAD=1/2S正方形ABCD=1/2
根据这一猜想
我们去寻找解决这一个问题的途径
因为我们不知道这个三角形中的任何一条底边和底边上的高
图形中的线段多
三角形也多
条件复杂
难度非常大
不通过添加辅助线来解决是根本不可能的
又因为四边形ABCD是正方形
∠PAQ=∠PCQ=45°,我们不妨把图中某个三角形或者两个三角形按照一定的方向旋转90°
将三角形进行优化整合
把这个三角形转化到与正方形面积相等的的一个多边形AEFCQ中
再运用我们所学的知识
进行求解即可
图6
解：将△ADQ绕点A按顺时针旋转90°到△ABE的位置
将△CDQ绕点C按逆时针旋转90°到△BCF的位置
连接EQ、FQ,
∴AE=AQ CF=CQ ∠FBC=∠CDQ ∠ABE=∠ADQ
∵四边形ABCD是正方形
∴∠FBC+∠ABE=∠CDQ+∠ADQ=90°
∵∠ABC=90°
∴∠FBC+∠ABE+∠ABC=180°
∴B、E、F三点共线
∴BE=DQ=BF
又连接EP、FP
∴S△PBF=S△PBE
∵∠PAQ=∠PCQ=45°, ∠1=∠3
∠4=∠6
∴∠2+∠3=∠5+∠6=45°
可证 △CFP≌△CPQ △AEP≌△APQ
∴S△AEP= S△APQ S△CFP= S△CPQ
S正方形ABCD=S五边形AEFCQ
∵S△ABP+S△PCQ+S△QAD
=1/2×2(S△AEP+S△EBP+ S△CFP)
=1/2×2×1/2=1/2
∴S△ABP+S△PCQ+S△QAD=1/2
通过上题的猜想
和解答
我们验证了猜想的正确性
大胆猜想
有利于激发学生学习的兴趣和增强学习动力
有利于更为透彻地理解和掌握数学知识
有利于更快捷的寻找解题思路
大胆猜想是创造数学思维的重要途径
通过猜想
我们始终围绕旋转变换这一特点
把图形的位置进行变换
优化图形结构
进一步整合图形
逐步培养学生分析问题和解决问题的能力
使较为复杂的问题得到顺利解决
探究2：如图7
P为等边三角形ABC内的一点
PA=2
PB=2√3. (1)、求△ABC的边长；（2）、求△ABC的面积
图7
通过以上例题的详解和探究
使我们进一步了解了图形的旋转变换由旋转中心、旋转角和旋转方向所决定
探究旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等
对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等
旋转前后的图形全等
由此
我们得出旋转变化解题的一般规律：
1. 当题目的图形是等边三角形、等腰直角三角形、正方形时
所给的条件十分分散
需要我们计算边、角、面积
此时
又很难于求解
应考虑用旋转变换解题
2. 旋转的角度
题目图形是等边三角形、等腰直角三角形、正方形时
一般旋转60°、45°、90°
3. 旋转后
进一步将图形优化整合
运用所学知识求解
在今后的教学工作中
我们要着重培养学生的观察、思考、猜想、探究、创新的能力
培养学生将知识转化迁移的思维能力
提高学生分析问题和解决问题的能力
并让学生在实际操作中体会参与的重要性
多给学生以获得成功体验的空间
使学生真正体会到数学的生动性、灵活性、实用性、创造性
激发学生学习数学的积极性
建立学好数学的自信心
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