成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)
高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）
Ⅰ、函数、极限
一、基本初等函数(又称简单函数) ：
（1）常值函数：y =c （2）幂函数：y =x （3）指数函数：y =a (a 〉0, 且a ≠1) （4）对数函数：y =log a x (a 〉0, 且a ≠1)
（5）三角函数：y =sin x ，y =cos x ，y =tan x ，y =cot x
（6）反三角函数：y =arcsin x ，y =arccos x ，y =arctan x ，y =arc cot x
a
x
二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。
y =ln cos x 是由y =ln u ，u =cos x 这两个个简单函数复合而成.
y =arctan e 是由y =arctan u ，u =e 和v =3x 这三个简单函数复合而成. 该部分是后面求导的关键！
3x
v
三、极限的计算
1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将x 0代
入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim f (x ) =f (x 0) 。
x →x 0
注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即lim C =C 。 （2）该方法的使用前提是当x →x 0的时候，而x →∞时则不能用此方法。
lim 4=4，lim -3=-3，lim lg 2=lg 2，lim π=π，
→-∞
x →-1
x →∞
x →
π
6
x 2+3x -102+3∙0-1
==-1 x →0x +10+
1
tan(x -1) tan(2-1)
==tan1 （非特殊角的三角函数值不用计算出来）
x →2x -12-1
2、未定式极限的运算法
（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将x 0代入后函数值即是
极限值。
x 2-90
lim . „„„未定式，提取公因式
x →3x -30
解：原式= lim
(x -3)(x +3)
=lim(x +3) =6
x →3x →3x
-3
x 2-2x +10
lim . „„„未定式，提取公因式 2x →1x -10x -1)0(x -1)(lim 解：原式==lim ==0
x →1x -1x +1x →1x +12
（2）对于
2
∞
未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无∞
穷小的这一关系进行计算。
2n -3∞
„„„未定式，分子分母同时除以n
n →∞3n +1∞
32-
=2-0=2
„„„无穷大倒数是无穷小 解：原式=lim
n →∞13+03
3+n
lim
3x 2-2x -1∞3
lim 3. „„„未定式，分子分母同除以x 2x →∞2x -x +5∞
321
-2-3=0=0 „„„无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2 解：原式=lim x →∞15
2-+32
x x
3、利用等价无穷小的代换求极限
（1）定义：设α和β是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim 无穷小，记作β～α.
（2）定理：设α、α、β、β均为无穷小，又α～α，β～β，且lim
'
'
β
=1，称β与α是等价α
' '
β'
存在 α'
则lim
ββ' ' '
=lim 或 lim α∙β=lim α∙β αα'
（3）常用的等价无穷小代换：当x →0时，
sin x ～x , tan x ～x x →0时，sin 2x ～2x ，tan(-3x ) ～-3x
sin 2x 2x 22=lim =lim = „„„sin 2x 用2x 等价代换
x →0x →05x x →055x 5tan 3x 3x
lim =lim =lim 3=3 „„„tan3x 用3x 等价代换
x →0x →0x x x →0
lim
Ⅱ、一元函数的微分学
一、导数的表示符号
（1）函数f (x ) 在点x 0处的导数记作：
f ' (x 0) ，y '
x =x 0
或
dy dx
x =x 0
（2）函数f (x ) 在区间（a,b ）内的导数记作：
f '(x ) ，y ' 或
dy dx
二、求导公式（必须熟记）
（1）(c ) =0 （C 为常数） （2）(x ) =αx （3）(e ) =e （4）(lnx ) ' =
'
'
' α' α-1
x ' x
1 x
（5）(sinx ) =cos x （6）(cosx ) =-sin x （7
）(arcsinx ) =
'
（8）(arctanx ) =
'
1
1+x 2
'
、x
()=3x
3’
2
2、
'
π⎫1-1⎛
=x 2 3、 sin ⎪=0
6⎭2⎝
'
⎛1⎫-2' -3' '
4、π=0 5、 2⎪=(x )=-2x 6、x =1
⎝x ⎭
三、导数的四则运算
运算公式（设U ，V 是关于X 的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U 和V 即
可，代入后用导数公式求解. ）
（1）(u ±v ) =u ±v
（2）(u ∙v ) =u v +uv 特别地
(Cu ) =Cu （C 为常数）
'
'
'
' ' '
' '
u ' u ' v -uv '
（3）() = 2
v v
y =x +3cos x -2，求y .
4
'
4' ' 33
解：y =x +3(cos x )-2=4x -3sin x -0=4x -3sin x
()
'
'
f (x ) =x ln x ，求f '(x ) 和f (e ) .
22'
解：f (x ) =x ln x +x (ln x )=2x ⋅ln x +x 2⋅
2'
()
'
'
1
=2x ⋅ln x +x x
所以f (e ) =2e ⋅ln e +e =2e +e =3e
（注意：lne=1,ln1=0） f (x ) =
'
'
x
，求f '(x ) . 2
1+x
'
解：f (x ) =
'
(x )(1+x 2)-x (1+x 2)
(1+x )
22
1+x )-x ⋅2x 1-x (==(1+x )(1
+x )
2
2
2222
四、复合函数的求导 1、方 法 一：
y =sin x 的导数.
（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的. 如y =sin x 由y =sin u 和u =x 这两个简单函数复合而成 （2）用导数公式求出每个简单函数的导数. 即
2
2
2
dy du
=cos u ，=2x du dx
dy dy du 2
=2x cos u =2x cos x =∙
dx du dx
复合函数的导数 等于 构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，
（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量x 替代回去. ∴
2、方 法 二（直接求导法）：
对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数
从外往里求导. y =cos(-3x ) ，求y .
解：y =(cox (-3x ) )=-sin(-3x ) ·(-3x ) =-
sin(-3x ) ·(-3) =3sin(-3x )
'
'
'
'
y =e 解：y =e
'
ln x
，求y .
'
'
()=e
ln x '
ln x
·(lnx ) =
1ln x
e x
注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。
五、高阶导数
d 2y '' 1、二阶导数记作：y ，f (x ) 或 2
''
dx
我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.
2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导
（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导
y =5sin x ，求y . 解：∵y =5cos x ，∴y =-5sin x
y =e ，求y 解：∵y ' =e 即y
''
x =0
''
'
''
2x
''
x =0
.
'
2x
⋅(2x )=2e 2x ，∴y '' =2⋅e 2x ⋅(2x )=4e 2x
'
=4
六、微分的求法：
（1）求出函数y =f (x ) 的导数f '(x ) . （2）再乘以dx 即可. 即dy
=f (x ) dx . y =ln x ，求dy .
2'
解：∵y =ln x =
'
2
()
'
1122'
== ⋅x ⋅2x )2(2
x x x
∴dy =
2
dx x
4
y =x ⋅cos x ，求dy .
44' 34
解：∵y =x cos x +x (cos x )=4x cos x -x sin x
()
3
'
'
∴dy =4x cos x -x sin x dx
(
4
)
Ⅲ、二元函数的微分学
一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自．．．．
变量的变化范围称为定义域，通常记作D 。 ．．．
例如：二元函数通常记作：z =f (x , y ) ，(x , y ) ∈D
二、二元函数的偏导数 1、偏导数的表示方法：
（1）设二元函数z =f (x , y ) ，则函数z 在区域D 内对x 和对y 的偏导数记为：
∂z ∂z ' ' ' '
，f x (x , y ) ，z x ； ，f y (x , y ) ，z y
∂y ∂x
（2）设二元函数z =f (x , y ) ，则函数z 在点(x 0, y 0)处对x 和对y 的偏导数记为：
∂z
∂x
(x 0, y 0)，f
'
'
x (x 0, y 0)，z x
(x 0, y 0
) ；
∂z ∂y
(x 0, y 0)
，f
' y
(x 0, y 0)，z ' y
(x 0, y 0)；
2、偏导数的求法
（1）对x 求偏导时，只要将y 看成是常量，将x 看成是变量，直接对x 求导即可. （2）对y 求偏导时，只要将x 看成是常量，将y 看成是变量，直接对y 求导即可. 如果要求函数在点(x 0, y 0)处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将x 0和y 0代入即可.
z =x y -2y x ，求
3
2
∂z ∂z 和. ∂x ∂y
解：
∂z 3∂z 22
=3x y -2y ，=x -
4xy
∂y ∂x
2
z =x sin 2y ， 求
∂z ∂z
和. ∂x ∂y
解：
∂z ∂z 2
=2x sin 2y ，=2x cos 2y
∂y ∂x
三、全微分
1、全微分公式：函数z =f (x , y ) 在点(x , y ) 处全微分公式为：dz =
∂z ∂z dx +dy ∂x ∂y
2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数
2
∂z ∂z
和. （2）、然后代入上述公式即可.
∂x ∂y
z =sin(x ⋅y ) +3x +y -1，求dz . 解：∵
∂z ∂z
=y cos(x ⋅y ) +6x ，=x cos(x ⋅y ) +1
∂y ∂x
∂z ∂z
dx +dy =
[y cos(x ⋅y ) +6x ]dx +[x cos(x ⋅y ) +1]dy ∂x ∂y
2x +y
∴dz =
z =e 解：∵
，求dz .
∂z 2x +y ∂z ∂z ∂z 2x +y
=2e ， =e ∴dz =dx +dy =2e 2x +y dx +e 2x +y dy
∂x ∂y ∂y ∂x
四、二阶偏导的表示方法和求法：
∂∂z ∂2z
（1）() =2=f '' xx (x , y ) =z '' xx „„两次都对x 求偏导
∂x ∂x ∂x
∂2z ∂∂z '' ''
() =（2）=f xy (x , y ) =z xy „„先对x 求偏导，再对y 求偏导 ∂y ∂x ∂x ∂y ∂2z ∂∂z '' ''
() =（3）==f yx (x , y ) =z yx „„先对y 求偏导，再对x 求偏导 ∂x ∂y ∂y ∂x
∂∂z ∂2z
() =2=f '' yy (x , y ) =z '' yy „„两次都对y 求偏导 （4）
∂y ∂y ∂y
可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是x , y 的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对．．．变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏导）.
．．．．
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z z =x y -3xy -xy +1，求2，，和2.
∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x
3
2
3
解：∵
∂z ∂z 22332
=3x y -3y -y ， =2x y -9xy -x
∂y ∂x
∂2z ∂2z ∂2z ∂2z 222232
得2=6xy ，=6x y -9y -1，=6x y -9y -1，2=2x -18xy
∂x ∂y ∂y ∂x ∂y ∂x
∂2z ∂2z
z =y cos x ，求2，.
∂x ∂y ∂x
∂2z ∂2z ∂z
解：∵=-y sin x 得2=-y cos x ，=-sin x
∂x ∂y ∂x ∂x
Ⅳ、一元函数的积分学
一、原函数的定义：设F (x ) 是区间I 上的一个可导函数，对于区间I 上的任意一点x ，
都有F (x ) =f (x ) ，则称F (x ) 是f (x ) 在区间
I 上的一个原函数.
x ) =cos x ，因此sin x 是cos x 的一个原函数，cos x 是sin x 的导数. 由于(sinx +c )
=cos x ，可见只要函数有一个原函数，那么他的原函数就有无穷多个. f (x ) 的一个原函数为
' '
'
1'
，求f (x ) . x
'
111⎛1⎫'
解：因为是f (x ) 的一个原函数，即F (x ) =，所以f (x ) =F (x ) = ⎪=-2.
x x x ⎝x ⎭⎛1
得f (x ) = -2
⎝x
'
1⎫2
= （注：=x -1） ⎪3
x ⎭x
'
二、不定积分
（一）、定义：我们把f (x ) 的所有原函数称为f (x ) 在区间I 上的不定积分，记作：
⎰
f (x ) dx =F (x ) +C （其中F ' (x ) =f (x ) ）
注意：不定积分是原函数的的全体，因此计算结果常数勿忘！ ．．C ．．．
（二）、不定积分的性质
〈1〉
⎰[f (x ) ±g (x ) ]dx =⎰f (x ) dx ±⎰g (x ) dx ⎰
⎰
〈2〉kf (x ) dx =k f (x ) dx （其中k 为常数）
（三）、基本积分公式（和导数公式一样，必须熟记）
〈1〉0dx =C 〈2〉kdx =kx +C （k 为常数）
⎰⎰
x α+11
+C (α≠-1) 〈4〉 ⎰dx =ln x +C 〈3〉⎰x dx =
α+1x
α
〈5〉e dx =e +C 〈6〉cos xdx =sin x +C 〈7〉sin xdx =-cos x +C 〈8
〉
⎰
x x
⎰
⎰=arcsin x +C
〈9〉
dx
⎰1+x 2=arctan x +C
-3dx =-3x +C 2sin xdx =-2cos x +C
⎰
x 4
⎰x dx =+C
4
3
2
2
11=-+C
⎰x 2
x
u 3tan 3x
tan xd tan x =⎰u du =+C =+C
（利用换元法，设tan x =u ）
33
又如：cos xd cos x =ln cos x +C
⎰
-1
3
2
ln x =(ln x )2+C
3
（四）、不定积分的计算
1、直接积分法：对被积函数进行恒等变形，并用积分性质和积分公式进行积分的方法。
x 523
+x +x +
C (x +1)dx =⎰(x +2x +1)dx =⎰x dx +2⎰x dx +⎰dx =
53
2
2
4
2
4
2
(1-2sin x +) dx =1dx -2sin xdx +3
3x
⎰⎰
1
⎰x =x +2cos x +3ln x +
C
2、凑微分法
（1）适用前提：如果被积函数是两个函数相乘（或相除）或者被积函数是复合函数（通
常为较为简单的复合函数）的情况，此时可以考虑用凑微分法。
（2）凑微分法解法步骤 ．．
〈1〉凑微分 〈2〉换 元 〈3〉直接积分法 〈4〉反换元 x cos x dx 解：原式=cos x d =
⎰
2
2
⎰
1211
x =⎰cos x 2dx 2 „„（1. 凑微分）将xdx 凑成d x 2 222
12 „„（
2. 换 元）将换元成u x cos udu ⎰2
1
=sin u +C „„（3. 直接积分法）求出u 的不定积分 2122
=sin x +C „„（4. 反换元）u 再用x 反换元 2
ln 2x
⎰x
解：原式=ln xd (lnx ) „„（1. 凑微分）将
⎰
2
1
dx 凑成d ln x x
=u du „„（2. 换 元）将ln x 换元成u
⎰
2
u 3=+C „„（3. 直接积分法）求出u 的不定积分 3
ln 3x =+C „„（4. 反换元）u 再用ln x 反换元
3
e 解：原式=
⎰
3x +2
dx
13x +21
„„（1. 凑微分）将凑成e d (3x +2) d (3x +2) dx
3⎰31u
=⎰e du „„（2. 换 元）将3x +2换元成u 31u
=e +C „„（3. 直接积分法）求出u 的不定积分 313x +2=e +C „„（4. 反换元）u 再用3x +2反换元 3
注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程，此时就可以．．．不必写出中间变量，而直接进行积分。
sin 4x
1
+C （将dx 凑成d (3x +2)）sin x cos xdx
=⎰sin xd sin x =
43
3
3
31112222
=(1+x ) =(1+x )+C （将xdx 凑成d (1+x )）
322
3、分部积分法（考到概率为40℅左右，要了解的可参考重点解析“详细版”）
三、不定积分
（一）、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式
A=
⎰
b
a
f (
x ) dx （A 为曲边梯形的面积）
其中f (x ) 为被积函数，[a , b ]为积分区间，a 为积分下限，b 为积分上限。
用定积分所要注意的事项：
1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，所以对定积分求导，．．．．．．．．．导数值必为零。 ．．．．．．．
d 1
arctan xdx =0， ⎰0dx
(⎰t sin tdt )=0
22
'
1
2、当a=b时，⎰b
a f (x ) dx =0
因定积分上限b ＞a ，当b ＜a 时，
1⎰b a f (x ) dx =-⎰f (x ) dx
b a -32sin x ， =0f (x ) dx =-11+cos x ⎰2⎰-3f (x ) dx
（二）、定积分的计算
1、变上限积分的计算
（1）定义：积分上限x 为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限x 的函数， 记作φ(x ) =⎰x
a f (t ) dt
（2）变上限积分的导数：
f (x ) =
(⎰x a f (t ) dt =f (x
) „„将x 代入到f (t ) 即可 )' ⎰x 0sin tdt ，则f ' (x ) =sin x
. x 33t +t dt =x +x ()0
2、牛顿—莱布尼茨公式
（1）公式：如果F (x ) 是连续函数f (x ) 在[a , b ]上的一个原函数，则有
⎰b
a f (x ) dx =F (x ) b a =F (b ) -F (a )
（2）由公式可知：连续函数f (x ) 在[a , b ]上定积分，就是．．．．．．f (x ) 的一个原函数F (x ) 在[
a , b ]上的增量（上限值减下限值）。而连续函数f (x ) 的不定积分，就是．．．．．．．f (x ) 的全体原函数（原函数后面加常数C ）。可见定积分和不定积分的计算都是围绕求原函数进行的。 ⎰2
1x 2dx
x 3
解：原式=323
137-= =13332
π
π⎰20cos 2x sin xdx （将sin xdx 凑成-d cos x ） π
203cos x 解：原式=-⎰2cos xd cos x =-032=- 0-⎪=⎛
⎝1⎫1 3⎭3
e ⎰e 1ln x 1dx （将dx 凑成d ln x ） x x e
1ln 2x 解：原式=⎰ln xd ln x =12ln 2e ln 21101-==-= 22222
注意：用凑微分法计算定积分时，在换元时，由于引入了新的变量，故原变量的积分限要更．．．．
换成新变量的积分限; 如不想更换积分限，可省略换元步骤。
3、分部积分法（考到概率为40℅左右，要了解的可参考重点解析“详细版”）
附表：几个特殊角的三角函数值