弧度制及其应用
弧度制及其应用
山东 刘乃东
一、要点梳理
1.弧度制
长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制;在弧度制下,1弧度记做1rad ,读作弧度。
2.弧度数
一般地,正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0。如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,那么,角α的弧度数的绝对值是α=l ,这里,α的正负由角α的终边的旋转方向决定。 r
3.角度与弧度之间的转化
(1)将角度化为弧度
3600=2πrad ;1800=πrad ;
10=π
180rad ≈0. 017rad 45。
(2)将弧度化为角度
2πr a d =3600;πrad =1800;
⎛180⎫00/ 11rad = ⎪≈57.30=5718。 ⎝π⎭
注意:“弧度制”与“角度制”是度量角的两种制度。引进了弧度制,使得每一个角都对应一个实数(即这个角的弧度数),反过来每一个实数都对应一个弧度数(角的弧度数等于这个实数),从而角的集合与实数集之间建立了一一对应关系。因此角的几何表示可以在坐标系中以终边位置描述,也可以用数轴上的点描述(即其弧度数对应实数所对应的点)。 3.弧长公式和扇形面积公式
(1)在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式分别为
11 l =⋅R ; S =l ⋅R =α⋅R 2。 220
(2)在角度制下,弧长公式和扇形面积公式分别为
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n πR πn 2R ; S = l =。 180360注意:①用公式α=l 求圆心角时,应注意其结果是圆心角的弧度数的绝对值,r
具体应用时,既要注意其大小,又要注意其正负;
②使用弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有诸多优越性,但是如果已知的角是以“度”为单位,则必须先把它化成弧度后再计算,这样可避免计算过程或结果出错。
二、范例剖析
例1 将-14850表示成2k π+α,k ∈Z 的形式,且0≤α
分析:在书写角时,“弧度”两个字常省略不写,但用“角度”表示时,“度”或“0”不能省略。 解析:∵-14850=-5⨯3600+3150,又3150=315⨯
∴-14850=-10π+7π。 4
7π,可直接写出结果。 4π180=7π, 4评注:要记住πrad =1800,如果能记住特殊角3150=
例2 已知0
分析:利用终边相同的角先表示出θ与7θ的关系,然后求解。
解析:由已知有7θ=2k π+θ,k ∈Z ,
k ∴6θ=2k π,∴θ=π。 3
∵k ∈Z ,∴当k =1、2、3、4、5时,θ=π
3、2π4π5π、π、、为所求。 333
评注:在一定的约束条件下,求与角α终边相同的角,一般地,首先将这样的角表示为2k π+α(k ∈Z )的形式,然后在约束条件下确定k 值,进而求适合条件的角。
例3 已知扇形OAB 的圆心角α为1200,半径长为6。
(1)求 AB 的弧长;
(2)求弓形OAB 的面积。
分析:将圆心角α用弧度表示,然后利用弧长公式、扇形面积公式、三角形面
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积公式可得解。
解析:(1)∵α=1200=2πrad , R =6, 32π⨯6=4π。 ∴ AB 的弧长为l =311 (2)∵S 扇形OAB =lR =⨯4π⨯
6=12π, 22
S ∆ABO =
122π12R ⨯sin =⨯6= 232 ∴S 弓形OAB =S 扇形OAB -S ∆OAB =12π-。
评注:记准、记熟弧长公式和扇形面积公式是解决该类问题的关键。
三、知能展示
1.若四边形的四个内角之比分别为1:3:5:6,则这四个内角的弧度数依次为________;
2.在1点15分时,时针与分针所成的最小正角是多少弧度?
3.已知一扇形的圆心角为720,半径等于20cm ,求扇形的面积;
4.已知一扇形的周长为40cm ,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
5.用30cm 长的铁丝围成一个扇形,应怎样设计,才能使扇形的面积最大?最大面积是多少?
参考答案:
2224π,π,π,π; 15535
72.π; 241.3.80πcm 2
4.半径R =10cm 时,扇形的面积最大,最大值为100cm 2,此时圆心角为2rad 。
5.当扇形半径为
积为2252cm 。 415cm ,扇形的圆心角为2弧度时,扇形的面积最大,最大面2
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