函数压轴题

1．如下图，抛物线y =(x +1) 2+k 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C (0，-3) ． （1）求抛物线的对称轴及k 的值；

（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PA +PC 的值最小，求此时点P 的坐标； （3）设点M 是抛物线上的一动点，且在第三象限．当M 点运动到何处时，△AMB 的面积最大？求出△AMB 的最大面积及此时点M 的坐标. 解：（1）

（2）

2．已知二次函数y =x 2-(2m +2) x +(m 2+4m -3) 中，m 为不小于0的整数，它的图

像与x 轴交于点A 和点B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边． （1）求这个二次函数的解析式；

（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，已知AD=AC（D 在线段AB 上），有一动点P 从点A 出发，沿线段AB 以每秒1个单位长度的速度移动，同时，另一动点Q 从点C 出发，以某一速度沿线段CB 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被CD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的情况下，求四边形ACQD 的面积．

2

3．平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax -4ax +4a +c 与x 轴交于点A 、点B ，与y 轴的

正半轴交于点C ，点 A 的坐标为(1, 0)，OB =OC ，抛物线的顶点为D ． (1) 求此抛物线的解析式；

(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足∠APB =∠ACB ，求点P 的坐标；

(3) Q 为线段BD 上一点，点A 关于∠AQB 的平分线的对称点为A '，若QA -QB =2，

求点Q 的坐标和此时△QAA '的面积．

4、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =mx 2+2mx +n 经过点A （-4，0）和点B （0，

3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）向右平移上述抛物线，若平移后的抛物线仍经过点B ，求平移后抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，记平移后点A 的对应点为A’，点B 的对应点为B’，试问：在

A P ' 的面积与四边形AA ’B ’B 的面积相平移后的抛物线上是否存在一点P ，使△O

等，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．

E

A C D B 图1

（门头沟二）5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴交于点A ， 与y 轴交于点B ， 且

OA = 3，AB = 5．点P 从点O 出发沿OA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AO 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB －BO －OP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）求直线AB 的解析式；

（2）在点P 从O 向A 运动的过程中，求△APQ 的面

积S 与t 之间的函数关系式（不必写出t 的取值 范围）；

（3）在点E 从B 向O 运动的过程中，四边形QBED

（东城二）6. 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，直角梯形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝AB ＝2，OC ＝3，过点B 作BD ⊥BC ，交OA 于点D ．将∠DBC 绕点B 按顺时针方向旋转，角的两边分别交y 轴的正半轴、x 轴的正半轴于点E 和F ． （1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线的解析式；

（2）当BE 经过（1）中抛物线的顶点时，求CF 的长；

（3）在抛物线的对称轴上取两点P 、Q （点Q 在点P 的上方），且PQ ＝1，要使四边形

BCPQ 的周长最小，求出P 、Q 两点的坐标．

7．如图，已知抛物线与x 轴交于点A （-2，0），B （4，0），与y 轴交于点C （0，8）． （1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；

（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得点P 到直线CD 的距离等于点P 到原点O 的距离？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多少个单位长度？向下最多可平移多少

个单位长度？

8（海淀2模）、如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，等边三角形OAB 的一个

顶点为A (2,0)，另一个顶点B 在第一象限内. （1）求经过O 、A 、B 三点的抛物线的解析式； （2）如果一个四边形是以它的一条对角线为对称轴的轴对称图形，那么我们称这样的四边形为“筝形”.

点Q 在（1）中的抛物线上，且以O 、A 、B 、Q 为顶点的四边形是“筝形”，求点Q

的坐标；

（3）设△OAB 的外接圆为M ，试判断（2）中的点Q 与M 的位置关系，并通过计算说明理由.

9．已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线y =ax 2-(a +1) x 与直线y =kx 的一个公共点为A (4,8).

（1）求此抛物线和直线的解析式；

（2）若点P 在线段OA 上，过点P 作y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q ，求线段PQ 长度的最大值；

（3）记（1）中抛物线的顶点为M ，点N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，

求点N 的坐标及梯形AOMN 的面积.

（备图1

）（备图2）

10、. 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，A （23，2），B （4，0）。将∆OAB 绕点O 顺时针旋转α(0︒0，O ，A ，B 的对应点分别为E ，F ，G ），．．．

α，m 的值恰好使点C ，D ，F 落在同一反比例函数y =(k ≠0) 的图象上.

(1) ∠AOB =______︒，α=______︒

(2)求经过点A ，B ，F 的抛物线的解析式；

(3)若(2)中抛物线的顶点为M ，抛物线与直线EF 的另一个交点为H ，抛物线上的点P 满足以P ，M ，F ，A 为顶点的四边形面积与四边形MF AH 的面积相等，（点P 不与点H 重合），请直接写出满足条件点P 的个数，并求位于直线EF 上方的点P 坐标。

k x

11、在平面直角坐标系中，将直线l ：y =-

33

x -沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交42

22

于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线C 1：y =x 沿x 轴平移，得到一条新抛物线C 2

3

与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线C 2的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于

点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．

12、如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y=x+3的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点C 的坐标为（3，0），连接BC ． （1）求证：△ABC 是等边三角形；

（2）点P 在线段BC 的延长线上，连接AP ，作AP 的垂直平分线，垂足为点D ，并与y 轴交于点E ，分别连接EA 、EP ． ①若CP=6，直接写出∠AEP 的度数； ②若点P 在线段BC 的延长线上运动（P 不与点C 重合），∠AEP 的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠AEP 的度数；

（3）在（2）的条件下，若点P 从C 点出发在BC 的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC 与AP 交于点F ，设△AEF 的面积为S 1，△CFP 的面积为S 2，y=S1﹣S 2，运动时间为t （t ＞0）秒时，求y 关于t 的函数关系式．

13、点P 为抛物线y =x 2-2mx +m 2(m 为常数，m >0) 上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），点Q 为点P 旋转后的对应点.

（1）当m =2，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； （2）设点Q (a , b ) ，用含m 、b 的代数式表示a ；

（3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分∠AQC ，AQ =2QC ，当QD =m 时，求m 的值.

14、如图，在平面直角坐标系xOy

中，点A ,1) 关于x 轴的对称点为C ，AC 与x 轴

交于点B ，将△OCB 沿OC 翻折后，点B 落在点D 处． （1）求点C 、D 的坐标；

（2）求经过O 、D 、B 三点的抛物线的解析式； （3）若抛物线的对称轴与OC 交于点E ，点P 为

线段OC 上一点，过点P 作y 轴的平行线， 交抛物线于点Q .

① 当四边形EDQP 为等腰梯形时，求出点

P 的坐标；

② 当四边形EDQP 为平行四边形时，直接写出点P 的坐标.

15、．抛物线y =ax 2+bx -4a 经过A (1, 0) 、C (0, 4) 两点，与x 轴交于另一点B ． （1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D (m ,1-m ) 在第二象限的抛物线上，

求点D 关于直线BC 的对称点的坐标； （3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线

上一点，且∠DBP =45，求出点P 的坐标．

16、如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a ≠0）的图像与x 轴交于点A （-2，0），B ，与y 轴

交于点C ，tan ∠ABC =2．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D 的坐标；

（2）设直线CD 交x 轴于点E ．在线段OB 的垂直平分线上是否存在点P ，使得经过点P

的直线PM 垂直于直线CD ，且与直线OP 的夹角为75°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过点B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点F ，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物

线与线段EF 总有公共点．试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？

17、如图，在平面直角坐标系中，A

（0），B

（2）. 把矩形OABC 逆时针旋转30︒得到矩形OA 1B 1C 1. （1）求B 1点的坐标； （2）求过点（2，0）且平分矩形OA 1B 1C 1面积的直线l 方程；（3）设（2）中直线l 交y 轴于点P ，直接写出∆PC O 与∆PB A 的面积和的值及∆POA 1与∆PBC 11的面积差的值.

111

18、如图，二次函数过A （0，m ）、B （-3，0）、C （12，0），过A 点作x 轴的平行线交抛物线于一点D ，线段OC 上有一动点P ，连结DP ，作PE ⊥DP ，交y 轴于点E ． （1）求AD 的长；

（2）若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点E 1、E 2都与点A 重合，试求m

的取值范围．

（3）设抛物线的顶点为点Q ，当60︒≤∠BQC ≤90︒时，

求m 的变化范围．

（第24题图）

19、已知：如图，抛物线y =ax 2+bx -2交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，OC =OA ，△ABC 的面积为2． （1）求抛物线的解析式；

（2）若平行于x 轴的动直线DE 从点C 开始，以每秒1个单位的速度沿y 轴正方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于点E 、点D ，同时动点P 从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动．当点P 运动到点O 时，直线DE 与点P 都停止运动．联结

DP ，设点P 的运动时间为t 秒．

11

+的值最小，并求出最小值； ED OP

②是否存在t 的值，使以P , B , D 为顶点的三角形与△ABC 相似．若存在，求出t 的值；

①当t 为何值时，

若不存在，请说明理由． 解：

20．已知：如图1，等边∆ABC 的边长为2，一边在x 轴上且A 1-, 0，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ． （1）直接写出点B 、C 的坐标；

（2）若直线y =kx -1(k ≠0)将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；

（3）如图2，过点A 、B 、C 的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点G (-2, 0)作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：

① ∠GNM =∠CDM ②∠MGN =∠DCM ，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．

图1 图

2

()

21、已知：如图，四边形OABC 是矩形，OA =4，OC =8，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在点D 处，AD 交OC 于点E ． （1）求OE 的长；（2）求过O ，D ，C 三点的抛物线的解析式；

（3）若F 为过O ，D ，C 三点的抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每

秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把△FAC 分成面积之比为1:3的两部分？

22、已知抛物线y =x 2-x -2． （1）求抛物线顶点M 的坐标；

（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点

N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；

（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△P AC 为直角三角形? 若存在，求出所有

符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

23、已知：如图，在□ EFGH 中，点F 的坐标是（-2，-1），∠EFG=45°． （1）求点H 的坐标;

（2）抛物线C 1经过点E 、G 、H , 现将C 1向左平移使之经过点F ，得到抛物线C 2, 求抛物

线C 2的解析式；

（3）若抛物线C 2与y 轴交于点A ，点P 在抛物线C 2的对称轴上运动．请问：是否存在

以AG 为腰的等腰三角形AGP ？若存在，求出点P 的坐标；理由．

x

24、已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C (1,-2)，直线y =kx +m 的图象与该二次函

数的图象交于A 、B 两点，其中A 点坐标为(3,0)，B 点在y 轴上．点P 为线段AB 上的一个动点（点P 与点A 、B 不重合），过点P 且垂直于x 轴的直线与这个二次函数的图象交于点E ．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）设点P 的横坐标为x , 求线段PE 的长(用含x

（3）点D 为直线AB 三角形与△AOB

相似，请求出P 点的坐标．

25、．（本小题满分8分）如图，抛物线y =mx 2+3mx -3（m ＞0）与y 轴交于点

C, 与x 轴交于A 、B 两点，点 A 在点B 的左侧，且tan ∠OCB =

1

． 3

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如果点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，设D 点的横坐标为x ， △ACD 的面积为S ，求S 与x 的关系式，并求当S 最大时点D 的坐标；

（3）若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点的平行四边形？若存在求点P 坐标；若不存在，请说明理由．

26、．（本小题满分7分）如图，已知二次函数y =ax 2-2ax +c (a

轴负半轴交于点A （-1，0），与y 轴正半轴交与点B ，顶点为P ，且OB=3OA，一次函数y=kx+b的图象经过A 、B ． （1）求一次函数解析式； （2）求顶点P 的坐标；

（3）平移直线AB 使其过点P ，如果点Ｍ在平移后的直线上，且

3

tan ∠OAM =，求点M 坐标；

2

（４）设抛物线的对称轴交x 轴与点E ，联结AP 交y 轴与点D ，若点Q 、N 分别为两线段PE 、PD 上的动点，联结QD 、QN ，请直接写出QD+QN的最小值． 解：（1）

（2）

（3）

（4）

27、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1

：y =+x 轴、y 轴于A 、B 两点，点M(m,n)是线段AB 上一动点, 点C 是线段OA 的三等分点． （1）求点C 的坐标；

（2）连接CM ，将△ACM 绕点M 旋转180°，得到△A ’C ’M. ①当BM=

1

2

AM 时，连结A ’C 、AC ’, 若过原点O 的直线l 2将四边形A ’CAC ’分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

②过点A ’作A ’H ⊥x 轴于H ，当点M 的坐标为何值时，由点A ’、H 、C 、M 构成的四边形为梯形？

28、如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y 1=-x 上一点A(-1,1)，过点A 作AB ⊥x 轴于B. 在图中画图探究：将一把三角尺的直角顶点P 放在线段AO 上滑行，直角的一边始终经过点B ，另一边与y 轴相交于点Q ．

(1) 判断线段PQ 与线段PB 的数量关系，就点P 运动到图1所示位置时证明你的结论； （2）当点P 在线段AO 上滑行时，△POQ 是否可能成为等腰三角形，如果可能，求出所有能使△POQ 成为等腰三角形的点P 的坐标；如果不可能，请说明理由． (3) 猜想OB 、OQ 与OP 之间的数量关系：

图1

（备用图）

29、 ．在平面直角坐标系xOy 中，关于y 轴对称的抛物线y =-

m -12

x +(m -2) x +4m -7 与3

x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是这条抛物线上的一点（点P 不在坐标轴上），且点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，D （0，3）是y 轴上的

一点．

（1）求抛物线的解析式及点P 的坐标； （2）若E 、F 是 y

在点F 的上面），且EF ＝2，当四边形的周长最小时，求点E 、F 的坐标；

（3）若Q 是线段AC 上一点, 且S ΔCOQ =2S Δx

M 是直线DQ 上的一个动点，在x 平面内存在一点N ，使得以 O 、D 、M 的坐标．

30、如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x +1与y =-

3

x +3交于点A ，分别交x 轴4

于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点． （1）求点A 的坐标．

（2）当△CBD 为等腰三角形时，求点D 的坐标．

（3）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E ，D ，O ，A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出有几种情况.

31、如图：抛物线经过A （－3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点． （1）求抛物线的解析式．

（2）已知AD ＝AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；

（3）在（2）的条件下， M为抛物线的对称轴上一动点，当MQ ＋MC 的值最小时，请求出点M 的坐标．

32、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =ax 2+bx +3经过点N （2, －5），过点N 作x 轴

的平行线交此抛物线左侧于点M ，MN =6. （1）求此抛物线的解析式；

（2）点P （x , y ）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D ，当△DMN 为

直角三角形时，求点P 的坐标；

（3）设此抛物线与y 轴交于点C ，在此抛物线上是否存在点Q ，使∠QMN =∠CNM ？若存在，

求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.

33、已知在同一直角坐标系中，直线l ：y=x-3k+6与y 轴交于点P ，M 是抛物线C ：

y=x2-2 (k+2) x+8k的顶点.

（1）求证：当k ≠2时，抛物线C 与x 轴必定交于两点；

（2）A 、B 是抛物线c 与x 轴的两交点，A 、B 在y 轴两侧，且A 在B 的左边，判断：

直线l 能经过点B 吗？（需写出判断的过程）

（3）在(2)的条件下，是否存在实数k ，使△ABP 和△ABM 的面积相等？如果存在，请求

出此时抛物线C 的解析式；若不存在，请说明理由.

34、已知：如图，等边△ABC 中，AB=1，P 是AB 边 上一动点，作PE ⊥BC ，垂足为E ；作EF ⊥AC ， 垂足为F ；作FQ ⊥AB ，垂足为Q.

（1）设BP=x，AQ=y，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当点P 和点Q 重合时，求线段EF 的长； （3）当点P 和点Q 不重合，但线段PE 、FQ

相交时，求它们与线段EF 围成的三角形 周长的取值范围.

35、已知抛物线y =x 2+bx +c 的顶点为P ，与y 轴交于点A ，与直线OP 交于点B . （1）如图1，若点P 的横坐标为1，点B 的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，若点M 是直线AB 下方抛物线上的一点，且S ∆ABM =3，求点M 的坐标；

（3）如图2，若点P 在第一象限，且P A=PO，过点P 作PD ⊥x 轴于点D . 将抛物线y =x 2+bx +c 平移，平移后的抛物线经过点A 、D ，该抛物线与x 轴的另一个交点为C ，请探究四边形OABC 的形状，并说明理由.

36、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数y 1=ax2+3x+c的图像经过原点及点A （1,2）， 与x 轴相交于另一点B 。

（1）求：二次函数y 1的解析式及B 点坐标；

（2）若将抛物线y 1以x=3为对称轴向右翻折后，得到一个新的二次函数y 2, 已知二次函数y 2与x 轴交于两点，其中右边的交点为C 点. 点P 在线段OC 上，从O 点出发向C 点运动，

37、在平面直角坐标系中，二次函数y =x 2+2x -3的图象与x 轴交于A 、 B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点E . 点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行. 一次函数y =－x ＋m 的图象过点C ，交y 轴于D 点. （1）求点C 、点F 的坐标；

（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ，求线段HG 长度的最大值；

（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行

四边形，求点N 的坐标.

38、如图，抛物线y =ax +bx -3与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C ，且

2

OB =OC =3OA ．

（I ）求抛物线的解析式；

（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P , A , C 为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； （III ）直线y =-

1

x +1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC =α， 3

∠CBE =β, 求α-β的值．

39、如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（1

，点B 在x 轴的负半轴上，∠ABO=30°. （1）求过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）中x 轴下方的抛物线上是否存在一点P ，过点P 作x 轴的垂线，交直线AB 于点D ，线段OD 把△AOB 分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD 面积比为2：3 ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

40、如图，以A 为顶点的抛物线与y 轴交于点B ．已知A 、B 两点的坐标分别为(3，0) 、(0，4) ．

(1)求抛物线的解析式；

(2)设M(m，n) 是抛物线上的一点(m、n 为正整数) ，且它位于对称轴的右侧．若以M 、

B 、O 、A 为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点M 的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点P ，PA 2+PB2+PM2＞28是否

总成立? 请说明理由．

41、已知：如图，二次函数y =a (x +1)2－4的图象与x 轴分别

交于A 、B 两点，与y 轴交于点D ，点C 是二次函数

y =a (x +1)2－4的图象的顶点，CD

.

（1）求a 的值.

（2）点M 在二次函数y =a (x +1)2－4图象的对称轴上，

且∠AMC =∠BDO ，求点M 的坐标．

（3）将二次函数y =a (x +1)2－4的图象向下平移k （k ＞0）个单位，平移后的图象与直

线CD 分别交于E 、F 两点（点F 在点E 左侧），设平移后的二次函数的图象的顶点为C 1，与y 轴的交点为D 1，是否存在实数k ，使得CF ⊥FC 1，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

42、已知二次函数y =-x 2+2ax -4a +8

（1）求证：无论a 为任何实数，二次函数的图象与x 轴

总有两个交点.

（2）当x ≥2时，函数值y 随x 的增大而减小，求a 的取

值范围.

（3）以二次函数y =-x 2+2ax -4a +8图象的顶点A 为一

个顶点作该二次函数图象的内接正三角形AMN （M ，N 两点在二次函数的图象上），请问：△AMN 的面积是与a 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

43、．已知：关于x 的方程x 2+(m -4)x -3(m -1)=0有两个不相等的实数根．

（1）求m 的取值范围；

（2）抛物线C ：y =-x 2-(m -4)x +3(m -1)与x 轴交于A 、B 两点．若m ≤-1且直

m x -1经过点A , 求抛物线C 的函数解析式； 2

m （3）在（2）的条件下，直线l 1:y =-x -1绕着点A 旋转得到直线l 2：y =kx +b ，2线l 1:y =-

设直线l 2与y 轴交于点D ，与抛物线C 交于点M （M 不与点A 重合），当

时，求k 的取值范围．

MA 3≤AD 2

44、如图，抛物线y =ax +bx -3与x 轴交于A , B 两点，与y 轴交于点C ，且2

OB =OC =3OA ．

（I ）求抛物线的解析式；

（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P , A , C 为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；

（III ）直线y =-1x +1交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC =α， 3

∠CBE =β, 求α-β的值．