空间几何经典例题老师

空间线线、线面平行及垂直练习题

……证明中的找线技巧

一 、线面垂直

定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面αl 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面, 直线与平面的交点叫做垂足。直线l 与平面α垂直记作：l ⊥α。

直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面, 那么这两条直线平行。

通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直

1 如图1，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为CC 1 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：

AO ⊥平面MBD ． 1

证明：连结MO ，A 1M ，∵DB ⊥，DB ⊥AC ，A ， A A C =A 1∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而A 1O ⊂平面A 1ACC 1 ∴DB ⊥A 1O ．

323

a ，MO 2=a 2． 249222

在Rt △A 1C 1M 中，A 1M 2=a 2．∵A ，∴O +M O =A M 11

4

设正方体棱长为a ，则A 1O 2=

A O ⊥O M ． ∵OM ∩DB =O ，∴ A 1O ⊥平面MBD ． 1

注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．

2 如图在ΔABC 中， AD ⊥BC ， ED=2AE， 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔAFG 沿FG 折起，使∠A ' ED=60°，求证:A' E ⊥平面A ' BC

C

D

G

E

A

B

−−−→线面垂直 线线垂直←−−−

性质

判定

F

3 如图１所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面ABCD ，过A

，SC ，SD 于E ，F ，G ．求证：AE ⊥SB ，且垂直于SC 的平面分别交SB

AG ⊥SD ．

证明：∵SA ⊥平面ABCD ，

A ⊥B C ．∵A B ⊥B C ∴S ，∴BC ⊥平面SAB ．又∵

C ⊥A E ．∵SC ⊥平面AEFG ，∴AE ⊂平面SAB ，∴B

S C ⊥A E ．∴AE ⊥平面SBC ．∴A E ⊥S B ．同理可证A G ⊥S D ．

注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用

4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD 中，BC ＝AC ，AD ＝BD ，

作BE ⊥CD ，Ｅ为垂足，作AH ⊥BE 于Ｈ．求证：AH ⊥平面BCD ． 证明：取AB 的中点Ｆ，连结CF ，DF ． ∵A ，∴C ． C =B C F ⊥A B

∵A ，∴D ． D =B D F ⊥A B 又C ，∴AB ⊥平面CDF ． F D F =F ∵CD ⊂平面CDF ，∴C D ⊥A B ．

EA BB =， 又C ，B D ⊥B E

∴CD ⊥平面ABE ，C ． D ⊥A H

D B EE =， ∵A ，A ，C H ⊥C D H ⊥B E

∴ AH ⊥平面BCD ．

A ⊥平面ABCD ，ABCD 是矩形，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：M N ⊥A B 5如图，P

C

A

6如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面ABC , ∠ABC = 90︒, AN ⊥SB 于N , AM ⊥SC 于M 。求证: ①AN ⊥BC; ②SC ⊥平面ANM

①∵SA ⊥平面ABC ∴SA ⊥BC 又∵BC ⊥AB , 且AB SA = A

∴BC ⊥平面SAB ∵AN ⊂平面SAB ∴AN ⊥BC

②∵AN ⊥BC , AN ⊥SB , 且SB BC = B ∴AN ⊥平面SBC ∵SCC 平面SBC ∴AN ⊥SC

又∵AM ⊥SC , 且AM ∴SC ⊥平面ANM

7 以AB 为直径的圆在平面αE ，AF ⊥PC 于F

定义求线面垂直

8．（1）（2006北京文，17）如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱， 求证：BD ⊥平面ACC 1A 1。 （2）（2006天津文，19）如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱EF ∥BC 。 （I ）证明FO ∥平面CDE ; ；

（II

）设BC =, 证明EO ⊥平面。 证明：（1）∵ABCD —A 1B 1C 1D 1是正四棱柱， ∴CC 1⊥平面ADCD, ∴BD ⊥CC 1

∵ABCD 是正方形 ∴BD ⊥AC

又∵AC ，CC 1⊂平面ACC 1A 1, 且AC ∩CC 1=C,

∴BD ⊥平面ACC 1A 1。 （2）证明：

（I ）取CD 中点M ，连结OM 。

在矩形ABCD 中，

A

B

M

D

F

E

12

1

11

OM BC , 又EF BC ,

22

则EF ∥OM . 连结EM ，于是四边形EFOM 为平行四边形。

∴F O ∥E M .

F 又 平面CDE ，且E M ⊂平面CDE ，

∴F O ∥平面CDE 。

（II ）连结FM 。

由（I ）和已知条件，在等边∆CDE 中，C

M ⊥C D M =D M , E

且E M

1

D B C =E F . 2

O ⊥F M 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而E 。

D ⊥E O . 平面EOM ，从而C C D ⊥O M , C D ⊥E M , ∴C D ⊥

M C D =M , 而F 所以EO ⊥平面C D F .

注：本题考查直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力

9 如图（1），已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直， AB=2，AF=1，M 是线段EF （Ⅰ）求证AM ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证AM ⊥平面BDF ；

B

【解析】(Ⅰ) 记AC 与BD 的交点为O, 连接OE, 如图（2） 图（1）∵O 、M 分别是AC 、EF 的

中点，ACEF 是矩形，

∴四边形AOEM 是平行四边形， ∴AM ∥∵OE ⊂平面BDE ， ∴AM ∥平面AM ⊄平面BDE ，

B

图（2） 图（3）

（Ⅱ）如图（3），∵BD ⊥AC ，BD ⊥AF ，且AC 交AF 于A ， ∴BD ⊥平面AE ，又因为AM ⊂平面AE ， ∴BD ⊥AM. ∵AD=

2

，AF=1，OA=1，

∴AOMF 是正方形，

∴AM ⊥OF ，又AM ⊥BD ，且OF ∩BD=O. ∴AM ⊥平面BDF.

【点评】 线面平行只要平面外一条直线与平面内的一条直线平行就能判定，即最终于由两条直线决定；而线面垂直时，需要平面外一直线与平面内两条直线垂直，而且这两条直线必须相交，即需要三条直线决定.

⊥b , b ⊥c , 则a //c 10已知a 、b 、c 是直线，β是平面，给出下列命题：①若a ；②若

a //b , b ⊥c , 则a ⊥c //β, b ⊂β, 则a //b //β, 则b 与β；③若a ；④若a 与b 异面，且a

相交； ⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直. 其中真命题的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【提示】 举反例，找模型，线离不开面，因此我们选择了一个适当的模型，线与线的关系

一目了然. 五．【总结】一条直线和一个平面的位置关系有三种：①直线在平面内——有无数个公共点；②直线和平面相交——有且只有一个公共点；③直线和平面平行——没有公共点证明线面垂直的关键在于寻找直线与平面内的两条相交直线垂直，寻找途径可由等腰三角形底边上的中线与底边垂直，可由勾股定理进行计算，可由线面垂直得线线垂直

11 如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、E

、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.