导数基本概念及导数的几何意义典型例题解析
导数的概念及几何意义
一、导数的概念
设函数y =f (x ) 在x =x 0_____有定义,当自变量在x =x 0处有_________时,则函数y =f (x ) 相应地有_____________________,如果_________时,_______________________, 即____________________________________________________________
_____________________________________________________________
注意:①
②
③
④
⑤
例1.若f '(x 0) =2,则lim k →0f (x 0-k ) -f (x 0) =_____ 2k
∆x →0例2.如果函数y =f (x ) 可导,那么lim f (1+∆x ) -f (1) 的值为_____ 3∆x
1f '(1) D. f '(3) 3A. f '(1) B. 3f '(1) C.
例3.设函数y =f (x ) 可导,满足lim x →0f (1) -f (1-x ) =-1,则过曲线y =f (x ) 上的点(1, f (1)) 2x
处切线斜率为_____
二、导函数
如果函数y =f (x ) 在开区间(a , b ) 内的各点处________,此时,_________________,______________________________,称这个函数f '(x ) 为函数y =f (x ) 在开区间内的导函数。 即______________________________________________________
三、导数运算
1.基本函数的导数公式
①f (x ) =C (C 为常数),则_________;②f (x ) =x n ,则_____________
③f (x ) =sin x ,则_______________;④f (x ) =cos x ,则___________
⑤f (x ) =a x ,则_______________;⑥f (x ) =e x ,则___________
⑦f (x ) =log a x ,则_____________;⑧f (x ) =ln x ,则___________
2.导数的运算法则
[f (x ) ±g (x ) ]'=_________________
[f (x ) ⋅g (x ) ]'=_________________
[f (x ) ]'=_________________g (x )
3. 复合函数求导__________________________
例1.求下列函数的导数
①y =x 4-3x 2-5x +6 ②y =x sin x ③y =x -1 x +1
④y =sin(2x +π ⑤y =log 2(3x ) ) 3
例2.已知函数y =f (x ) 在R 上可导,若函数F (x ) =f (x 2-4) +f (4-x 2) ,则F '(2) =_____ 例3.(10江西)等比数列{a n }中,a 1=2, a 8=4,函数f (x ) =x (x -a 1)(x -a 2) (x -a 8) ,则f '(0) =______
A. 26 B. 29 C. 212 D. 215
四、导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点(x 0, f (x 0)) 处的导数的几何意义是______________________________。 切线方程为______________________________________________
注意:①______________________________________________________________________ ②____________________________________________________________________________ 例:求函数y =1过(4, 0) 处的切线方程。 x
③考点分析_________________________________________________
典型例题:
例1.过点(1,0)作曲线y =e x 的切线,则切线方程为________
x 在点(1, 1) 处的切线方程为____________________ 2x -1
A. x -y -2=0 B. x +y -2=0 C. x +4y -5=0 D. x -4y -5=0 例2.(09全国)曲线y =例3.(09全国)设曲线y =ax 2在点(1, a ) 处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a 的值为____
x +1在点(3, 2) 处的切线与直线ax +y +1=0垂直,则a 的值为____ x -1
例5.直线y =kx +b 与曲线y =ax 2+2+ln x 相切于点P (1,4),则b 的值为________. 例4.设曲线y =
π例6.若曲线f (x ) =x sin x +1在x =处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a =2
________.
例7.(09安徽)已知函数f (x ) 在R 上满足f (x ) =2f (2-x ) -x 2+8x -8,则曲线y =f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程为______
A. y =2x -1 B. y =x C. y =3x -2 D. y =-2x +3
例8.(08辽宁)设P 为曲线C :y =x 2+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为⎡0, π⎤,则点P 的横坐标为____ ⎢4⎥⎣⎦
A. ⎡-1, -1⎤ B. [-1, 0] C. [0, 1] D. ⎡1, 1⎤ ⎢⎢2⎥2⎥⎣⎦⎣⎦
4例9.(10辽宁)已知点P 在曲线y =x 上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,则α的e +1
取值范围_____
A. ⎡0, π⎫ B. ⎢4⎪⎣⎭⎡ππ⎫ C. ⎛π3π⎤ D. ⎡3π⎫ , ⎪, π⎪ , ⎥⎢⎢42244⎣⎭⎝⎦⎣⎭例10(.10江苏)函数y =x 2(x >0) 的图象在点(a k , a k 2) 处的切线与x 轴的交点横坐标为a k +1,其中k ∈N *,若a 1=16,则a 1+a 3+a 5=______
例11.(09福建)若曲线f (x ) =ax 2+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是____
例12.点P 是曲线x 2-y -2ln x =0上任意一点,则点P 到直线4x +4y +1=0的最小距离为_________
例13.(07江苏)已知二次函数f (x ) =ax 2+bx +c 的导数为f '(x ), f '(0) >0,对任意实数x ,都有f (x ) ≥0,则f (1) 的最小值为_______ f '(0)