巧用等比数列的性质
用等比数列的性质
在计算关于等比数列的问题中,如果我们能充分合理的运用等比数列的一些性质,利用基本量,需要什么就求什么,时刻注意题目的求解目的,就可以使问题得以顺利解决.下面列举两个题目仅供参考.
例1 各项均为正实数的等比数列{a n }的前n 项和记为S n ,若S n =10,S 3n =70,则
S 4n =.
例2 等比数列{a n }的前n 项积记为T n ,若T n =1,T 2n =2,则 . 分析:这两个题看起来似有相同之处,但是否具有相同的性质呢?
例1我们并不陌生,因为等比数列{a n }公比为q ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ,…仍为等比数列,其公比为q n ,根据等比数列的这一性质,我们很容易求出S 2n =30,进而可求出S 4n =150.
例2中等比数列各项乘积又具备什么性质呢?
在等比数列{a n }中,公比为q ,T n 为其前n 项的积,下面我们来推导T n ,T 2n ,T 3n 的关系.
因为T n =a 1 a 2… a n ,
T 2n =a ·a 2·a n ·…·a n +·…·a 2n 11=(a 1a 2…a n )(a 1q ·…·a n q )
n
n
=(a ·a 2·…·a n ) q 1
2n
2
=T n q
2n
2
,
T 3n =a ·…·a 2n ·a 2n +·…·a 3n 11
=T n q ·(a 1q ·…·a n q =T n q ·(a ·…·a n ) q 1
2
n
2
2n
2
2n 2n
)
3
3n
2
2n
2
=T n q
2n
2
.
又
T 2n T n
=T n q
n
2
,
T 3n T 2n
=T n q
,
n
…成等比数列,其公比为q ,这是等比数列的又一性质. 所以T n 2n 3n ,
T T
2
T n T 2n
⎛T 2n ⎫⎛T 2n ⎫T 3n
,即=T ·T = ⎪ ⎪. n 3n
T T T 2n ⎝n ⎭⎝n ⎭
23
利用此结论,例2即可迎刃而解,即T 3n
⎛T ⎫⎛2⎫
= 2n ⎪= ⎪=8.
⎝1⎭⎝T n ⎭
3
3
我们在推导T n ,T 2n ,T 3n 之间的关系时,把所有量都用a 1和q 来表示,这是最基本的思想和方法.
当然,例2也可用特殊值法,令n =1,T 1=a 1=1,T 2=a ·a 2=1⨯2=2, 1
则T 3=a ·a 2·a 3=1⨯2⨯4=8. 1
巧用性质可以减少运算量,这在数列的计算中经常用到,但用基本量法并树立目标意识,往往也能取得与巧用性质解题相同的效果.从而可以提高思维的灵活性和对知识掌握的深刻
性.