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无穷小的乘积问题

10-26

《高等数学起跑第一步》P107-108，例6，龚成通主编，华东理工大学出版社，2004年 构造函数序列如下：

[0,1)

f 1(x ) f 2(x ) f 3(x ) f 4(x ) f 5(x ) f n (x )

1⨯1! 1111 1

[1,2)

2

[2,3)

32

[3,4)

432

[4,5)

54312

1

[n -1, n )

n n -1n -21n -3

2⨯2! 111 1

3⨯3! 11 1

4⨯4! 1 1

5⨯5!

12

n ⨯n !

显然x lim

→+∞令F n (x ) =

f k (x ) =0

(k =1, 2, ) 。

f 1(x ) f 2(x ) f n (x ) ，所以F n (x ) 是有限个无穷小的乘积，

F (x ) =lim F n (x ) ，所以F (x ) 是无限个无穷小的乘积。

n →∞

由于

x F n (x ) F (x )

[0,1)11

[1,2) 22

[2,3) 33

[n -1, n )

n n

[n , n +1)

1(n +1)!

[n +1, n +2)

2! (n +2)!

[n +2, n +3)

3! (n +3)!

n +1n +2n +3

F n (x ) =0, lim F (x ) =+∞. 显然x lim →+∞x →+∞


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