高数常用公式定理

高等数学公式

导数公式：

(tgx ) '=sec 2x

(ctgx ) '=-csc x (secx ) '=sec x ⋅tgx (cscx ) '=-csc x ⋅ctgx (a x ) '=a x ln a

1

(loga x ) '=

x ln a

2

(arcsinx ) '=

1

-x 2

1

(arccosx ) '=-

-x 21

(arctgx ) '=

1+x 2

1

(arcctgx ) '=-

1+x 2

基本积分表：

三角函数的有理式积分：

⎰tgxdx =-ln cos x +C ⎰ctgxdx =ln sin x +C

⎰sec xdx =ln sec x +tgx +C ⎰csc xdx =ln csc x -ctgx +C

dx 1x

=arctg +C ⎰a 2+x 2a a dx 1x -a

=ln ⎰x 2-a 22a x +a +C dx 1a +x

=⎰a 2-x 22a ln a -x +C dx x

=arcsin +C ⎰a 2-x 2

a

π

2

n

dx 2

⎰cos 2x =⎰sec xdx =tgx +C dx 2

=csc 2⎰sin x ⎰xdx =-ctgx +C

⎰sec x ⋅tgx dx =sec x +C

⎰csc x ⋅ctgxdx =-csc x +C

a x

⎰a dx =ln a +C

x

⎰shxdx =chx +C ⎰chxdx =shx +C ⎰

dx x 2±a 2

=ln(x +x 2±a 2) +C

π

2

I n =⎰sin xdx =⎰cos n xdx =

n -1

I n -2n

⎰⎰⎰

x 2a 22

x +a dx =x +a +ln(x +x 2+a 2) +C

22x 2a 2222

x -a dx =x -a -ln x +x 2-a 2+C

22x 2a 2x 222

a -x dx =a -x +arcsin +C

22a

2

2

2u 1-u 2x 2du

sin x =，　cos x =，　u =tg ，　dx = 222

21+u 1+u 1+u

一些初等函数： 两个重要极限：

e x -e -x

双曲正弦:shx =

2e x +e -x

双曲余弦:chx =

2

shx e x -e -x

双曲正切:thx ==

chx e x +e -x arshx =ln(x +x 2+1）archx =±ln(x +x 2-1)

11+x

arthx =ln

21-x

sin x lim =1x →0x

1

lim (1+) x =e =2. [**************]... x →∞ x

三角函数公式：

·和差角公式： ·和差化积公式：

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin βcos(α±β) =cos αcos β sin αsin βtg (α±β) =

tg α±tg β1 tg α⋅tg βctg α⋅ctg β 1

ctg (α±β) =

ctg β±ctg α

sin α+sin β=2sin

α+β

22α+βα-β

sin α-sin β=2cos sin

22α+βα-β

cos α+cos β=2cos cos

22α+βα-β

cos α-cos β=2sin sin

22

cos

α-β

·倍角公式：

sin 2α=2sin αcos α

cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α=cos 2α-sin 2αctg 2α-1

ctg 2α=

2ctg α2tg α

tg 2α=

1-tg 2α

·半角公式：

sin 3α=3sin α-4sin 3αcos 3α=4cos 3α-3cos α3tg α-tg 3αtg 3α=

1-3tg 2α

sin tg

α

2

=±=±

-cos α+cos 　　　　　　　　　　　　cos =±222

1-cos α1-cos αsin αα+cos α1+cos αsin α

==　　ctg =±==

1+cos αsin α1+cos α21-cos αsin α1-cos α

α

2

★高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：

(uv )

(n )

k (n -k ) (k )

=∑C n u v k =0

n

=u (n ) v +nu (n -1) v '+

n (n -1) (n -2) n (n -1) (n -k +1) (n -k ) (k )

u v ''+ +u v + +uv (n )

2! k !

平面的方程：

1、点法式：A (x -x 0) +B (y -y 0) +C (z -z 0) =0，其中n ={A , B , C },M 0(x 0, y 0, z 0) 2、一般方程：Ax +By +Cz +D =0x y z

3++=1

a b c

平面外任意一点到该平面的距离：d =

Ax 0+By 0+Cz 0+D

A 2+B 2+C 2

⎧x =x 0+m t

x -x 0y -y 0z -z 0 ⎪

===t , 其中s ={m , n , p };参数方程：⎨y =y 0+nt

m n p ⎪z =z +pt

0⎩

二次曲面：

x 2y 2z 2

12+2+2=1

a b c x 2y 2

2+=z （, p , q 同号）

2p 2q 3、双曲面：

x 2y 2z 2

2+2-2=1

a b c x 2y 2z 2

2-2+2=（马鞍面）1

a b c

多元函数微分法及应用

全微分：dz =

∂z ∂z ∂u ∂u ∂u dx +dy 　　　du =dx +dy +dz ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z

全微分的近似计算：∆z ≈dz =f x (x , y ) ∆x +f y (x , y ) ∆y 多元复合函数的求导法：

dz ∂z ∂u ∂z ∂v

z =f [u (t ), v (t )]=⋅+⋅　

dt ∂u ∂t ∂v ∂t

∂z ∂z ∂u ∂z ∂v

z =f [u (x , y ), v (x , y )]=⋅+⋅

∂x ∂u ∂x ∂v ∂x

当u =u (x , y ) ，v =v (x , y ) 时，du =

∂u ∂u ∂v ∂v dx +dy 　　　dv =dx +dy 　∂x ∂y ∂x ∂y

隐函数的求导公式：

F x F F dy dy d 2y ∂∂

隐函数F (x , y ) =0=-2=(-x ) ＋(-x ) ⋅

dx F y ∂x F y ∂y F y dx dx F y F x ∂z ∂z

隐函数F (x , y , z ) =0=-=-

∂x F z ∂y F z

∂F

⎧F (x , y , u , v ) =0∂(F , G ) ∂u

隐函数方程组：　　　J ==⎨∂G ∂(u , v ) ⎩G (x , y , u , v ) =0

∂u

∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂x J ∂(x , v ) ∂x J ∂(u , x ) ∂u 1∂(F , G ) ∂v 1∂(F , G ) =-⋅=-⋅∂y J ∂(y , v ) ∂y J ∂(u , y )

微分法在几何上的应用：

∂F

∂v =F u ∂G G u ∂v

F v G v

⎧x =ϕ(t )

x -x y -y 0z -z 0⎪

空间曲线⎨y =ψ(t ) 在点M (x 0, y 0, z 0) 0==

''ϕ(t 0) ψ(t 0) ω'(t 0) ⎪z =ω(t )

⎩

在点M 处的法平面方程：ϕ'(t 0)(x -x 0) +ψ'(t 0)(y -y 0) +ω'(t 0)(z -z 0) =0⎧ F y F z F z F x F x ⎪F (x , y , z ) =0若空间曲线方程为：, 则切向量T ={, , ⎨

G G G x G G G (x , y , z ) =0⎪y z z x ⎩

曲面F (x , y , z ) =0上一点M (x 0, y 0, z 0) ，则：

1、过此点的法向量：n ={F x (x 0, y 0, z 0), F y (x 0, y 0, z 0), F z (x 0, y 0, z 0)}x -x 0y -y 0z -z 03==

F x (x 0, y 0, z 0) F y (x 0, y 0, z 0) F z (x 0, y 0, z 0)

方向导数与梯度：

F y

G y

2、过此点的切平面方程：F x (x 0, y 0, z 0)(x -x 0) +F y (x 0, y 0, z 0)(y -y 0) +F z (x 0, y 0, z 0)(z -z 0) =0

∂f ∂f ∂f

函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 沿任一方向l =cos ϕ+sin ϕ

∂l ∂x ∂y 其中ϕ为x 轴到方向l 的转角。

∂f ∂f i +j ∂x ∂y

∂f

它与方向导数的关系是=grad f (x , y ) ⋅e ，其中e =cos ϕ⋅i +sin ϕ⋅j ，为l 方向上的

∂l

单位向量。∂f

∴是grad f (x , y ) 在l 上的投影。∂l 函数z =f (x , y ) 在一点p (x , y ) 的梯度：grad f (x , y ) =

多元函数的极值及其求法：

设f x (x 0, y 0) =f y (x 0, y 0) =0，令：f xx (x 0, y 0) =A , 　f xy (x 0, y 0) =B , 　f yy (x 0, y 0) =C ⎧⎧A

⎨⎪AC -B >0时，

⎩A >0, (x 0, y 0) 为极小值⎪⎪2

则：值⎨AC -B

重积分及其应用：

⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰⎰f (r cos θ, r sin θ) rdrd θ

D

D '

曲面z =f (x , y ) 的面积A =⎰⎰

D

⎛∂z ⎫⎛∂z ⎫

⎪1+ ⎪+ dxdy ⎪

⎝∂x ⎭⎝∂y ⎭

2

2

=

M x

=M

⎰⎰x ρ(x , y ) d σ

D

⎰⎰ρ(x , y ) d σ

D

D

, =

M y M

=

⎰⎰y ρ(x , y ) d σ

D

⎰⎰ρ(x , y ) d σ

D

D

平面薄片的转动惯量：对于x 轴I x =⎰⎰y 2ρ(x , y ) d σ, 　　对于y 轴I y =⎰⎰x 2ρ(x , y ) d σ平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点M (0, 0, a ), (a >0) 的引力：F ={F x , F y , F z }，其中：F x =f ⎰⎰

D

ρ(x , y ) xd σ

(x +y +a )

2

2

22

F y =f ⎰⎰3

D

ρ(x , y ) yd σ

(x +y +a )

2

2

22

F z =-fa ⎰⎰3

D

ρ(x , y ) xd σ

(x +y +a )

2

2

3

22

柱面坐标和球面坐标：

⎧x =r cos θ⎪

柱面坐标：f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , θ, z ) rdrd θdz , ⎨y =r sin θ, 　　　⎰⎰⎰ΩΩ⎪z =z

⎩其中：F (r , θ, z ) =f (r cos θ, r sin θ, z )

⎧x =r sin ϕcos θ⎪2

球面坐标：⎨y =r sin ϕsin θ，　　dv =rd ϕ⋅r sin ϕ⋅d θ⋅dr =r sin ϕdrd ϕd θ

⎪z =r cos ϕ⎩

2π

πr (ϕ, θ)

⎰⎰⎰f (x , y , z ) dxdydz =⎰⎰⎰F (r , ϕ, θ) r

Ω

Ω

2

sin ϕdrd ϕd θ=⎰d θ⎰d ϕ

⎰F (r , ϕ, θ) r

2

sin ϕdr

=

1M

⎰⎰⎰x ρdv , 　　=

Ω

Ω

1M

⎰⎰⎰y ρdv , 　　=

Ω

Ω

1M

⎰⎰⎰z ρdv ，　　其中M ==⎰⎰⎰ρdv

Ω

Ω

Ω

转动惯量：I x =⎰⎰⎰(y 2+z 2) ρdv ，　　I y =⎰⎰⎰(x 2+z 2) ρdv ，　　I z =⎰⎰⎰(x 2+y 2) ρdv

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

⎧x =ϕ(t ) 设f (x , y ) 在L 上连续，L 的参数方程为：, 　　(α≤t ≤β), 则：⎨

⎩y =ψ(t )

⎰

L

⎧x =t 22

''f (x , y ) ds =⎰f [ϕ(t ), ψ(t (t ) +ψ(t ) dt 　　(α

⎩y =ϕ(t ) α

β

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：⎧x =ϕ(t ) 设L 的参数方程为，则：⎨

⎩y =ψ(t )

β

⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =α⎰{P [ϕ(t ), ψ(t )]ϕ'(t ) +Q [ϕ(t ), ψ(t )]ψ'(t )}dt

L

两类曲线积分之间的关系：⎰Pdx +Qdy =⎰(P cos α+Q cos β) ds ，其中α和β分别为

L

L

L 上积分起止点处切向量的方向角。

∂Q ∂P ∂Q ∂P

格林公式：(-) dxdy =Pdx +Qdy 格林公式：(-) dxdy =Pdx +Qdy ⎰⎰⎰⎰∂x ∂y ∂x ∂y D L D L ∂Q ∂P 1当P =-y , Q =x -=2时，得到D 的面积：A =⎰⎰dxdy =xdy -ydx

∂x ∂y 2L

D ·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G 是一个单连通区域；

2、P (x , y ) ，Q (x , y ) 在G 内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：∂Q ∂P

在＝时，Pdx +Qdy 才是二元函数u (x , y ) 的全微分，其中：∂x ∂y

(x , y )

∂Q ∂P

＝。注意奇点，如(0, 0) ，应∂x ∂y

u (x , y ) =

(x 0, y 0)

⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ，通常设x

=y 0=0。

曲面积分：

22

对面积的曲面积分：⎰⎰f (x , y , z ) ds =⎰⎰f [x , y , z (x , y +z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy

∑

D xy

对坐标的曲面积分：，其中：⎰⎰P (x , y , z ) dydz +Q (x , y , z ) dzdx +R (x , y , z ) dxdy

∑

号；⎰⎰R (x , y , z ) dxdy =±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy ，取曲面的上侧时取正

∑

D xy

号；⎰⎰P (x , y , z ) dydz =±⎰⎰P [x (y , z ), y , z ]dydz ，取曲面的前侧时取正

∑

D yz

号。⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx =±⎰⎰Q [x , y (z , x ), z ]dzdx ，取曲面的右侧时取正

∑

D zx

两类曲面积分之间的关系：⎰⎰Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds

∑

∑

★★★高斯公式：

⎰⎰⎰(

Ω

∂P ∂Q ∂R ++) dv =Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds ∂x ∂y ∂z ∑∑

常数项级数：

1-q n

等比数列：1+q +q + +q =

1-q (n +1) n

等差数列：1+2+3+ +n =

2

111

调和级数：1+++ +是发散的

23n

2

n -1

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：⎧ρ

⎪

设：ρ=lim u n ，则⎨ρ>1时，级数发散

n →∞

⎪ρ=1时，不确定⎩2、比值审敛法：

⎧ρ

U ⎪

设：ρ=lim n +1，则⎨ρ>1时，级数发散

n →∞U n ⎪ρ=1时，不确定

⎩3、定义法：

s n =u 1+u 2+ +u n ; lim s n 存在，则收敛；否则发散。

n →∞

交错级数u 1-u 2+u 3-u 4+ (或-u 1+u 2-u 3+ , u n >0) 的审敛法——莱布尼兹定理：⎧ ⎪u n ≥u n +1如果交错级数满足s ≤u 1, 其余项r n r n ≤u n +1。⎨lim u =0，那么级数收敛且其和

⎪⎩n →∞n

绝对收敛与条件收敛：

(1) u 1+u 2+ +u n + ，其中u n 为任意实数；(2) u 1+u 2+u 3+ +u n +

如果(2) 收敛，则(1) 肯定收敛，且称为绝对收敛级数；

如果(2) 发散，而(1) 收敛，则称(1) 为条件收敛级数。1(-1) n

调和级数：∑n 发散，而∑n 1

　　级数：∑n 2收敛；

≤１时发散1

　　p 级数：∑n p

p >1时收敛

幂级数：

1

x

对于级数(3) a 0+a 1x 　+a 2x 2+ +a n x n + ，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

x

数轴上都收敛，则必存在R ，使x >R 时发散，其中R 称为收敛半径。

x =R 时不定

1

ρ≠0时，R =

求收敛半径的方法：设lim

a n +1

=ρ，其中a n ，a n +1是(3) ρ=0时，R =+∞

n →∞a n

ρ=+∞时，R =0

ρ

函数展开成幂级数：

f ''(x 0) f (n ) (x 0) 2

函数展开成泰勒级数：f (x ) =f (x 0)(x -x 0) +(x -x 0) + +(x -x 0) n +

2! n !

f (n +1) (ξ)

余项：R n =(x -x 0) n +1, f (x ) 可以展开成泰勒级数的充要条件是：lim R n =0

n →∞(n +1)! f ''(0) 2f (n ) (0) n

x 0=0时即为麦克劳林公式：f (x ) =f (0) +f '(0) x +x + +x +

2! n !

一些函数展开成幂级数：

m (m -1) 2m (m -1) (m -n +1) n

x + +x + 　　　(-1

2n -1

x 3x 5x

sin x =x -+- +(-1) n -1+ 　　　(-∞

3! 5! (2n -1)! (1+x ) m =1+mx +

三角级数：

∞

a 0

f (t ) =A 0+∑A n sin(n ωt +ϕn ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx )

2n =1n =1

其中，a 0=aA 0，a n =A n sin ϕn ，b n =A n cos ϕn ，ωt =x 。

∞

正交性：1, sin x , cos x , sin 2x , cos 2x sin nx , cos nx 任意两个不同项的乘积在[-π, π]上的积分＝0。

f (x ) =

a 0

+∑(a n cos nx +b n sin nx ) ，周期=2π2n =1

∞

π⎧1a =f (x ) cos nxdx 　　　(n =0, 1, 2 ) ⎪n

-⎰⎪π傅立叶级数：其中⎨

π

⎪b =1f (x ) sin nxdx 　　　(n =1, 2, 3 ) n ⎰⎪π-

π⎩

11π2

1+2+2+ =

835

　111π2

+++ =

24246正弦级数：a n =0，b n =余弦级数：b n =0，a n =

111π2

+++ =6223242

111π2

1-+-+ =122341+2

π

π

2

⎰f (x ) sin n xdx 　　n =1, 2, 3 　f (x ) =∑b

n

sin nx 是奇函数

π

π

⎰f (x ) cos nxdx 　　n =0, 1, 2 　f (x ) =

a 0

+∑a n cos nx 是偶函数2

微分方程的相关概念：

一阶微分方程：y '=f (x , y ) 　或　P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g (y ) dy =f (x ) dx 的形式，解法：

⎰g (y ) dy =⎰f (x ) dx 　　得：G (y ) =F (x ) +C 称为隐式通解。

dy y

=f (x , y ) =ϕ(x , y ) ，即写成的函数，解法： dx x

y dy du du dx du y 设u =，则=u +x ，u +=ϕ(u ) ，∴=代替u ，

x dx dx dx x ϕ(u ) -u x 齐次方程：一阶微分方即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy

1+P (x ) y =Q (x )

dx

-P (x ) dx

当Q (x ) =0时, 为齐次方程，y =Ce ⎰

P (x ) dx -P (x ) dx 当Q (x ) ≠0时，为非齐次方程，y =(⎰Q (x ) e ⎰dx +C ) e ⎰

dy

2+P (x ) y =Q (x ) y n ，(n ≠0, 1)

dx

全微分方程：

如果P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0中左端是某函数的全微分方程，即：

∂u ∂u

du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0=P (x , y ) =Q (x , y )

∂x ∂y ∴u (x , y ) =C 应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f (x ) ≡0时为齐次d 2y dy

+P (x ) +Q (x ) y =f (x ) 2

dx dx f (x ) ≠0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)y ''+p y '+qy =0，其中p , q 为常数；

求解步骤：

1、写出特征方程：(∆) r 2+pr +q =0，其中r 2，r 的系数及常数项恰好是(*)式中y '', y ', y 的系数；

2、求出(∆) 式的两个根r 1, r 2

3、根据r 1, r 2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

二阶常系数非齐次线性微分方程

y ''+p y '+qy =f (x ) ，p , q 为常数

f (x ) =e λx P m (x ) 型，λ为常数；

f (x ) =e λx [P l (x ) cos ωx +P n (x ) sin ωx ]型