平方差公式和完全平方公的提高练习
平方差公式和完全平方公的提高练习
一、平方差公式和完全平方公式的适用条件(准确运用两个公式) 1、平方差公式:是两项的符号一项相同,另一项相异。 例如(a+b)(a-b )=a2-b 2可以有如下变化:
(1)、(-a+b)(-a-b )=a2-b 2(2)(-a+b)(a+b)=b2-a 2等变化,注意:符号相同的一项相当于公式中的a ,
4、 (2m +n -p )(2m -n +p ) 5、(a +4b -3c )(a -4b -3c )6、(3x +y -2)2 而符号相异的项相当于公式中的b 。归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式: ① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2
-y
2 ② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2
-y 2
= x2
-y 2
③ 指数变化,(x 2
+y 2
)(x 2
-y 2
)=x 4-y 4
④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2
-b 2
2、完全平方公式:是两项的符号完全相同或完全相异。 例如(a ±b )2=a2±2ab+b2可以有如下变化:
(1)(a+b)(-a-b )=_____________________。(2)(a-b )(-a+b)=_____________________
对应练习:
1、下列式子可用平方差公式计算的是: (A ) (a -b )(b -a ); (B ) (-x+1)(x -1); (C ) (-a -b )(-a+b); (D ) (-x -1)(x+1); 2、计算:(-2x -1)(2x -1) = 3、下列各式中, 能用完全平方公式计算的是( )
A.(4x -3y )(-3y -4x ) B.(2x 2
-y 2
)(2x 2
+y 2
) C.(a +b -c )(-c -b +a ) D .(-x +y )(x -y )
4、下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是 ( ) A .(a 3
+b 3
)(a 3
-b 3
) B .(a 2
+b 2
)(b 2
-a 2
) C .(2x 2y +1)(2x 2y -1) D .(x 2-2y )(2x +y 2) 5、下列关系式中,正确..
的是( ) A . (a -b )2
=a 2-b 2 B.(a +b )(a -b )=a 2
-b 2
C . (a +b )2
=a 2+b 2 D. (a +b )2
=a 2-2ab +b 2
6、4⎛ x ⎫⎛x ⎝-2-y ⎪⎭ ⎝-2
+
y ⎫
⎪⎭
=____________。(-2x 2-5)(2x 2-5)=____________。 7、 7、(-a 2
+4b ) 2
=____________。 (-3a 2
-2b )2
=____________。
二、两个公式的综合应用
特点:两个三项的多项式相乘时,先用平方差公式再用完全平方公式。 例题:1、(a+2b+3c)(a+2b-3c) 2、(a-2b+3c)(a+2b-3c) 3、(3m +n -p )2
乘法公式的提高应用 第 页(共4页)
三、利用两个公式进行简便运算
例题:1、20152
-2014×2016 2、98×102 3、10. 3⨯9. 7
4、982
5、
1032 6、20152+20162-2015·4032;
四、综合两个公式的运算(注意括号的作用)
1、(2a +1) 2-(2a +1)(-1+2a ) 2、[(x +2y )(x -2y )-4(x -y ) 2-6x ]÷6x .
3、先化简(2x -1)2
-(3x +1)(3x -1)+5x (x -1), 其中X=-2
4、化简求值:已知x 、y 满足:x 2
+y 2
-4x +6y +13=0 求代数式(3x+y) 2
-3(3x-y)(x+y) -(x-3y)(x+3y) 的值.
五、a 2
+b2
、(a+b)2、(a-b )2、ab 四项之间的关系
1
1. (a +b )-2ab =a 2+b 2
2
恒等式为( )
2. (a -b )+2ab =a 2+b 2
2
3. (a +b )+(a -b )=2a 2+b 2
2
2
()
4. (a +b )-(a -b )=4ab
2
2
A. (a -b )2=a 2-2ab +b 2 B. (a +b )2=a 2+2ab +b 2 C. (a +b )(a -b )=a 2-b 2 D. a (a -b )=a 2-ab
2、如图是由四张全等的矩形纸片拼成的图形,请利用图中空白部分面积的 不同表示法,写出一个关于a 、b 的恒等式。
3
、
(2012•遵义)如图,
从边长为
(a+1
)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a-1)
cm 的正方形(a >1),
剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则该矩形的面积是( )
例题:1、已知a +b =3,且a -b =-1,则a 2+b 2=。 2、已知:xy =9, 3、已知
x -y =-3,则x 2+3xy +y 2=__________
,求
22
的值。4、已知a +b =2,ab =1,求a +b 的值。
A .2cm B2acm C .4acm D .(a -1)cm
4(2012•白银)如图,边长为(
m+3)的正方形纸片,剪出一个边长为m 的正方形之后,剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),若拼成的矩形一边长为3,则另一边长是( ) A .m+3B.m+6C.2m+3D.2m+6
5. (2012四川绵阳)图(1)是一个长为2m ,宽为2n (m >n )的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图(2)那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积是( )
2
2
2
2
2
5.已知a +b =8,ab =2,求(a -b ) 2的值
22
6.已知x +y =4,xy =1,求代数式(x +1)(y +1) 的值
7、解下列各式
(1)已知a +b =13,ab =6,求(a +b ),(a -b )的值。 (2)已知(a +b )=7,(a -b )=4,求a +b ,ab 的值。
2
2
2
2
2
2
2
2
A .2mnB .(m+n)C .(m-n )D .m -n
6. 如图所示,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形(a >b ),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( C )
A .(a-b )=a-2ab+bB .(a+b)=a+2ab+bC .a -b =(a+b)(a-b )D .a +ab=a(a+b)
7. 图①是一个边长为(m+n)的正方形,小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状,由图①和图②能验证的式子是( )
22222
A. (m+n)-(m-n )=4mnB.(m+n)-(m +n)=2mn
22222
C. (m-n )+2mn=m+nD. (m+n)(m-n )=m-n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a 2+b 2
(3)已知a (a -1)-(a -b )=2,求-ab 的值。
2
11
(4)已知x -=3,求x 4+4的值。
x x
六、两个公式的几何意义
2
1、将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,根据两个图形的面积关系可以得到一个关于a 、b 的
乘法公式的提高应用 第 页(共4页)
8. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式.例如,根据图甲,我们可以得到两数和的平方公
222
式:(a+b)=a+2ab+b.你根据图乙能得到的数学公式是.
2
9. 阅读材料并回答问题:
我们知道,完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示,实际上还有一些代数恒等式也可以用这种
形式表示,如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2
,就可以用图(1)或图(2)等图形的面积表示.
(1)请写出图(3)所表示的代数恒等式: .
(2)试画一个几何图形,使它的面积表示:(a+b)(a+3b)=a2
+4ab+3b2
;
(3)请仿照上述方法另写一个含有a ,b 的代数恒等式,并画出与它对应的几何图形.
七、公式的连续使用
1.(2+1)(22+1)(24+1)…(22n +1)+1(n 是正整数);
2、探究拓展与应用
20.计算.
(2+1)(22+1)(24+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)=(22-1)(22+1)(24+1) =(24-1)(24+1)=(28-1).
根据上式的计算方法,请计算
1)(3+1)(32
+1)(34
+1)…(332
+1)-364
(2
的值.
4032
(2)(3+1)(32
+1)(34
+1)…(32016
+1)-32
.
八、其它类型
1、若a 2+b 2-2a +2b +2=0,则a
2015
+b 2016=________.
乘法公式的提高应用 第 页(共4页)
2、5-(a -b ) 2的最大值是________,当5-(a -b ) 2取最大值时,a 与b 的关系是________.
3. 要使式子0.36x 2+1
4
y 2成为一个完全平方式,则应加上________.
4. 已知x 2-5x +1=0,则x 2+1
x
2=________.
5. 已知(2005-a )(2003-a )=1000,请你猜想(2005-a ) 2+(2003-a ) 2=________. 6. 已知(a +b ) 2=11,ab =2,则(a -b ) 2的值是( ) A.11 B.3 C.5 D.19
7、已知a 2
+a -1=0,求a 3
+2a 2
+2007的值. 8、502
-492
+482
-472
+ +22
-12
、⎛
1⎫⎛1⎫⎛⎝1-2⎭⎝1-1⎫⎛1⎫2⎪ 32⎪⎭ ⎝1-42⎪⎭ ⎝1-20042⎪
⎭
10、(22+1)(24+1)(28+1) (264+1)
11.(规律探究题)已知x≠1,计算(1+x)(1-x )=1-x 2,(1-x )(1+x+x2)=1-x 3, (1-x )(•1+x+x2+x3)=1-x 4.
(1)观察以上各式并猜想:(1-x )(1+x+x2+…+xn )=______.(n 为正整数) (2)根据你的猜想计算:
①(1-2)(1+2+22+23+24+25)=______. ②2+22+23+…+2n =______(n 为正整数). ③(x -1)(x 99+x98+x97+…+x2+x+1)=_______. (3)通过以上规律请你进行下面的探索: ①(a -b )(a+b)=_______.
②(a -b )(a 2+ab+b2)=______.
③(a -b )(a 3+a2b+ab2+b3)=______. 12、. 如图2所示的是甲、乙、丙三种地板砖,其中甲是边长为a 的正方形,乙是长为a 宽为b 的长方形,丙是边长为b 的正方形。如果说把这三种地板装拼成一个边长为a+2b的正方形,你认为能拼吗?如果能拼成,请画出拼出后的图形并说明需要这三种地板砖各多少块,如果不能拼成,请说明理由。
3
9
13、如图,某市有一块长为(3a+b)米,宽为(2a+b)米的长方形地块,•规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像,则绿化的面积是多少平方米?•并求出当a=3,b=2时的绿化面积.
14、观察下面的几个算式,你发现了什么规律? 116×14=224=1×(1+1)×100+6×4 ○
223×27=621=2×(2+1)×100+3×7 ○
332×38=1216=3×(3+1)×100+2×8 ○
(1)按照上面的规律,仿照上面的书写格式,迅速写出81×89的结果 (2)用公式(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab证明上面所发现的规律 (提示:可设这两个两位数分别为(10n+a),(10n+b),其中a+b=10) (3)简单叙述以上所发现的规律
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