拉格朗日中值定理证明中辅助函数的构造
第
卷第
期
二
昌滩 师 专 学报
七
"
年
月
拉 格 朗 日 中 值 定理证 明 中 辅 助 函 数 的 构 造
傅
,
答
,
潍 坊市 职工大学 山东潍坊
摘
要
本 文 通 过 对 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 中值 定 理 几 何 特 性 的 比 较 提 出 拉 格 朗 日 中 值 定 理 证 明 中
.
的辅 助 函 数 的构 造 方 法
关键 词
罗 尔 定理 拉 格 朗
日
中值 定 理 辅 助 函 数
问题 的提 出
我 们知 道 罗 尔 定理 中
,
, ,
这个 条 件是很 特殊 的 它 使 罗 尔定 理 的应 用 受到 限 制
,
,
.
如果 把这
.
,
个 条 件 取 消 但 仍 保 留 另 外 两 个 条 件 并 相 应 改变 结 论 即得 微分 学 中十 分 重 要 的 拉 格 朗 日 中值 定 理
拉 格 朗 日 中值 定 理
至少有一 点 以
右
,
如果函数
在 闭 区 间【 司 上 连 续 在 开 区 间
, ,
,
内 可导 那 么 在
,
内
使等式
一
言
一
成立
.
通 常 利 用 罗 尔定理 来证 明拉 格 朗 日 中 值 定 理
.
即构造 一 个 与
, ,
有密切联 系 的 函 数
.
到
,
,
使 其 满 足 罗 尔 定理 中 的 三 个 条 件 然 后 对
,
,
.
应 用 罗 尔 定 理 再把 对 中
.
— 所 得 结 论 转 化到
辅助 函 数
上 证得 所需结果
,
.
其中 辅助 函 数 的构 造 对 初 学 者来说 是 一 个 难题
, ,
如何简单 明 了地构造辅 助 函
数 弄 清其 来龙去脉 并 能有 效 直 观 的 揭 示 其 几 何意 义 就 成 为 一个 不 容忽 视 的 问题
罗尔 定 理 与 拉格 朗 日 中 值 定 理 几 何 意 义 的 比较
罗 尔 定 理 的 几 何意 义 是 如 果 连 续 曲线
, ,
,
蕊 簇
,
的 弧 月 上 除端 点外 处 处 具 有 不 垂 直 于 在 该 点 处 曲线 的 切 线 是 水 平 的 如 图
. .
轴 的 切 线 且 两 端 点 处 的纵 坐 标 相 等 那 么 其 上 至 少有 一 点 由图
,
因 罗 尔 定理 条 件 中要 求
,
故弦
平行 于
工
轴 点
,
处 的切 线 平 行 于 弦
拉 格 朗 日中值 定 理 的几 何 意 义 是 如 果 连 续 曲 线 轴的切 线 那么这 弧 上至 少有一 点
由图
不平行于
尸
,
, , ,
的弧
二
上 除端 点 外处 处 具 有 不 垂 直 于
二
使 曲线 在
点 处 的 切 线平行 于 弦 八
不一定具 备
.
如图
.
处 切 线平 行 于 弦
.
,
,
由于 函 数
这个 条件 故 一 般 情 况 下
,
,
,
轴 由此 认 为 图
到弦
中的 图 形 若 使 之 绕
的距 离
必
旋 转 某 个 角度 可 得 图
,
在 此 过 程 中 曲线 弧
上 的任一 点
不变
.
辅 助 函 数 的 构造
按 照 上述分 析 图
显然 中
, ,
中
.
'
一
或
.
中
一
在「
,
,
上满 足 罗 尔定 理 的 三个 条件
,
由此 得 结 论 在 拉 格 朗 日中 值 定 理 中 曲 线
幼
镇 毛
上 的 任一 点
尸
,
到弦
所引垂
收 稿 日期
一
一
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第
期
中
傅 荃 拉格 朗 日 中值 定 理证 明 中 辅 助 函 数的构 造
线 段 的 数量
亦 满足 罗尔定理
.
十 直
"
」
一卜 工
七
图
图
实 际 上 由图
,
,
月刀
所在直线 方程为
夕一
一 夕
一 一
其中
毋
卫 工 五 二 丈互 立 互鱼
一 一 一
丫
易验 证
, ,
无
.
少
在【
,
司 上 满 足 罗 尔 定理 的 三 个 条 件
币
一
'
因 此 至 少 存 在 一 点 右任
,
,
,
使得 丁 勃
而
' 一 ,一
'
二 鱼 艾丛 生
一
'
厂西 沪
一
了 右
乏
,
二
分
一 一
即
一
' 右
一
,
故 可 引入 辅 助 函 数
,
中
二
丫
,
无
证 明 拉 格 朗 日 中值 定 理
.
类似 地 易 引入 其 它形 式的辅 助 函 数 如
一
一
一
一
,
二
一
,
二
卜
工
斗乎
献
旦
工
等
参
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考
文
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