高中高考文科数学知识点总结提纲
一、集合与逻辑
2
. 如：A ={x |y =x 2+2x +1}; B ={y |y =x 2+2x +1}; C ={(x , y ) |y =x +2x +1}.
2、条件为A ⊆B ，在讨论的时候不要忘了A =φ的情况.
3、A B ={x |x ∈A 且x ∈B }; A B ={x |x ∈A 或x ∈B }；C U A={x|x∈U 但x ∉A}. 4、A ∩B=A⇔A ∪B=B⇔A ⊆B.
n n
5、含n 个元素的集合的子集个数为2, 真子集(非空子集) 个数为2－1; 6、逻辑联结词（“或”、“且”、“非”) ：
复合命题的形式: p或q(同假为假, 否则为真);
p 且q(同真为真, 否则为假); 非p(记”┑p”, 与p 真假相反). 7、原命题:若p 则q ; 逆命题: 若q 则p ; 否命题: 若⌝p 则⌝q ； 逆否命题: 若⌝q 则⌝p ； 互为逆否的两个命题是等价的. 8、注意命题p ⇒q 的否定与它的否命题的区别:
命题p ⇒q 的否定是p ⇒⌝q ；否命题是⌝p ⇒⌝q
命题“p 或q ”的否定是“┐P且┐Q”，“p 且q ”的否定是“┐P或┐Q”. 9、若p ⇒q , 则p 是q 的充分条件; 若q ⇒p , 则p 是q 的必要条件; 若p ⇔q , 则p 是q 的充要条件.
二、不等式
1、a>b⇔a-b>0; a
2、a>b,c>d⇒a+c>b+d,a-d>b-c; 3、a>b,c>0⇒ac>bc, a>b,cb>0,c>d>0⇒ac>bd,
a b n n n n
>; 5、a >b >0⇒a >b , a >,n ∈N + d c
2
2
a 2+b 2a +b 2
≥() ; 6、重要不等式：①a , b ∈R , 则a +b ≥2ab ; ②
22
③a , b ∈R , 则a +b ≥2
+
ab ;ab ≤(a +b ) 2.
2
求最值: ① 一正二定三取等，若等号取不到则用单调性；② 积定和最小, 和定积最大.
7、证法:①比较法（差法）: 作差--变形(分解或通分配方) ---定号，常用来比较两式的大小。 ② 综合法--由因导果; ③ 分析法--执果索因; ④ 反证法--正难则反。
2
8、ax +bx+c>0(a>0)若△>0,x1x2}; 若△
2
ax +bx+c0)若△>0,x1
当A>0时,Ax+By+C>0表示直线的斜右侧区域;Ax+By+C
三、平面向量
1、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量 2、加、减法的平行四边形与三角形法则:
AB +BC =AC ; AB -AC =CB
3、AB =(x B -x A , y B -y A ); 若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)，则λ=(λx 1, λy 1);
→
→→
a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2); a ⋅b =|a |⋅|b |cos θ=x 1x 2
→
→
→
→→→→→
+y 1y 2;
→
→
→
a //b (≠0) ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0(λ>0a 与b 同向; λ
→
→
→→
4、非零向量：a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x
1x 2+y 1y 2=0
||=
=(x B -x A ) 2+(y B -y A ) 2, a =
=
x 12+y 12 .
cos
>==
x 1x 2+y 1y 2
x 1+y 1⋅
2
2
x 2+y 2
22
, 在
上的投影为
.
5、若=λ→
+
则P 在∠AOB 平分线上; 若OA ++=, 则O 为重心.
→
6、e 1和e 2是平面一组基底, 则该平面任一向量a =λ1e 1+λ2e 2(λ1, λ2唯一)
x 1+x 2⎧x +x 2+x 3⎧x =, x =1, ⎪⎪⎪⎪237、设P(x,y),P1(x1,y 1), 中点公式：⎨ ； 三角形重心公式：⎨
y +y +y y +y 232⎪y =1⎪y =1. . ⎪⎪3⎩2⎩
→
→→→
四、数列
1、a n ={
S 1(n =1)
S n -S n -1(n ≥2, n ∈N *)
，注意验证a 1是否包含在a n 的公式中.
｛a n ｝等差⇔a n -a n -1=d (常数) ⇔2a n =a n +1+a n -1(n ≥2, n ∈N *中项) 2、
⇔a n =an +b (一次函数) ⇔s n =An 2+Bn (常数项为0的二次函数);
3、｛ a n }等比⇔a n 2=a n -1⋅a n +1(n≥2, n ∈N 中项) ⇔
a n
=q (定值); a n -1
⇔a n =a 1⋅q n -1⇔a n =a m ⋅q n -m ;
4、首项正的递减(或首项负的递增) 等差数列前n 项和最大(或最小) 问题, 转化为解 ⎧a n ≥0⎧a n ≤0
(或⎨) , 或用二次函数处理; 不等式⎨
a ≤0a ≥0⎩n +1⎩n +1
5、等差数列中a n =a1+(n-1)d;Sn =na 1+
n-1
n (n -1) n (n -1) n (a 1+a n )
=na n -d =d
222
a 1(1-q n ) a 1-a n q
等比数列中a n = a1q ; 当q=1,Sn =na1 ; 当q≠1,Sn ==;
1-q 1-q
a m -a n
; 当m+n=p+q,am +an =ap +aq ； m -n
n-m
等比数列中，a n =am q ; 当m+n=p+q ，a m a n =ap a q ；
7. 等差三数设为: a-d,a,a+d; 等比三数可设为: a/q,a,aq ；
8. 数列求和时关键要看通项的结构，常用方法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加. 求通项常用法:公式、迭加、迭乘、构造等比, 如：a n =kan －1+b (k≠0,k ≠1).
1111111
=-9. 常用结论：1） ，2） =(-) ， 3）
n (n +1) n n +1n (n +2) 2n n +2
1111=(-) (p
6. 等差数列中, an =am + (n－m)d, d =4)
11111111
； =-22
k (k -1) k -1k k (k +1) k k +1k k
5)
111111
五、概率与统计
１、必然事件 P(A)=1,不可能事件P(A)=0,随机事件的定义0
对立事件(A、B 不可能同时发生, 但A 、B 中必然有一发生):P(A )+P(A ) ＝1; 独立事件(事件A 、B 的发生互不影响): P(A•B) ＝P(A)·P(B); 3、总体、个体、样本、样本容量;
抽样方法: ①简单随机抽样(包括随机数表法, 抽签法) ;
②系统抽样(等距离抽样) ; ③分层抽样(用于个体有明显差异时).
4、古典概型的概率公式：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，
如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率P (A ) =
m
. n
5、几何概型：如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
6、回归直线方程为 y =a +bx ，它过样本点的中心(x , y ) ; 相关系数r 满足|r|≤1,
|r|越近于1, 相关程度越大;|r|越近于0, 相关程度越小；r>0则正相关, r
频率
=频率，所有小矩形面积的和=1； 组距
② 众数是最高矩形的中点的横坐标；
③ 中位数的左边与右边的直方图的面积相等，可以由此估计中位数的值；
六、三角函数
1、终边相同(β=2kπ+α); 终边落在坐标轴上的角( 如α=
k π
); 其中k ∈Z 。 2
α、
αα
关系 (如:α终边在一、二象限，则终边在一或三象限).
22
2、掌握正余弦、正切图象和性质:定义域、值域、周期、奇偶性、单调性、最值;
ω⋅x +ϕ) +b （ω>0, A >0）的图像掌握: 3、函数y =f (x ) =A sin(
① 五点法作图; ② 周期T=
2ππ
；③ 当φ=kπ时, 奇函数; 当φ=kπ+时偶函数; ω2
④ 对称轴处取最值, 中心处值为b, 余弦正切可类比正弦;
⑤ 变换:
ωy =sin x −−−−−→y =sin(x +Φ) −−−−−−−−→y =sin(ωx +Φ)
横坐标伸缩到原来的
1倍
Φ
左或右平移|左或右平移|Φ|
横坐标伸缩到原来的
1倍
ωω→y =sin(y =sin x −−−−−−−−→y =sin ωx −−−−−ωx +Φ)
坐标伸缩到原来的A 倍或下平移|b |
−纵−−−−−−−→y =A sin(ωx +Φ) −上−−−−→y =A sin(ωx +Φ) +b
4、α=
L 1100
; L弧长=R ; S扇=L R=R 2α (其中角为弧度制) ; π=180, 1弧=57.3
22R
5、同角基本关系： ⑴ 商的关系： ①sin θ=③tan θ=
y x
=cos θ⋅tan θ②cos θ= r r
一全二正三是四余y sin θ22
=⑵ 平方关系：sin θ+cos θ=1 号规律:正, 弦, 切, 弦; x cos θ
6、诱导公式简记:奇变偶不变, 符号看象限．(注意：公式中始终视 ．．．．．．．．．．．．．．α．为锐角）．．．．
7、和差倍公式：
sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β, cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β；
tan(α±β) =
tan α±tan β2tan α
, tan 2α=
1 tan αtan β1-tan 2α
sin 2α=2sin αcos α , cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α
2
降幂公式：sin α=
1+cos 2α1-cos 2α2
cos α=；．辅助角公式：
22
a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)
b 2+c 2-a 2a b c 222
8、正弦定理:2R===; 余弦定理：a =b+c-2bc cos A , cos A =等；
sin A sin B sin C 2bc 111
面积公式：S =ab sin C =bc sin A =ca sin B 。
222
七、函数与导数
1、映射的概念(象唯一, 原象未必有且也未必唯一), 函数的概念(三要素).
2、分数指数幂:
m a n
s
=a m ; a n =|a | (a >0, m , n ∈N *, 且n >1),
t
s +t
运算法则：a ·a=a
b
;(as ) t =as t;(ab)s =as b s ; a -s =
log a N
b
1
(s,t∈Q,a>0) a s
3、对数: loga N=b⇔a =N(a>0,a≠1,N>0);a
n
=N;log a a =b;log a 1=0, log a
N
a =1;
运算法则:log a M =nloga M ;loga MN=loga M+loga N; loga M =loga M-log a N;
换底公式:log a N =
x
1log m N n
. 推论:log a m b n =log a b , log a b =
log a m log m a b
4、指数函数y=a与对数函数y=loga x 互为反函数(a>0,a≠1) ，它们的图象关于直线y =x 对
称。
2
注意: 已知函数y=loga (x+bx+c)定义域为R 时，则△0时增函数;a
顶点式: f(x)=a(x-h)+k; 零点式: f(x)=a(x-x1)(x-x2) ； ② 区间上的最值: 讨论开口方向, 对称轴与区间的相对位置关系;
③ 实根分布: 先画图再研究△>0、轴与区间关系、区间端点函数值符号。 7、反比例函数:y =8、函数y =x +
2
2
c c
(x ≠0) 平移⇒y =a +( 中心为(b,a))
x -b x
a
是奇函数： x
当a
当a >0时, 为双钩函数，在(0a ],[-a , 0) 递减, 在(-∞，-a ],[a , +∞) 递增；9、单调性: ① 定义法:x 1,x 2∈M =[a,b],则f(x)在[a,b]上递增（减）⇔∀x 1, x 2∈M , 当
x 10) ⇔(x 1-x 2)[f (x 1) -f (x 2)]>0(
⇔
f (x 1) -f (x 2)
>0(
x 1-x 2
② 导数法: 函数y=f(x)在某区间内可导, 若
f '(x ) >0, 则f (x ) 为增函数;
若f '(x )
10、f(x)是偶函数⇔f(-x)=f(x)=f(|x|); f(x)是奇函数⇔f(-x)=-f(x);
定义域中含零的奇函数过原点，(f(0)=0);
判断奇偶性时要注意：①定义域关于原点对称否； ②对于对数型函数用f(x)±f(-x)=0; 奇函数在对称区间内单调性相同; 偶函数在对称区间内单调性相反; 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于Y 轴对称。 函数y =f (x )关于y 轴的对称曲线方程为y =f (-x )； 函数y =f (x )关于x 轴的对称曲线方程为y =-f (x )； 函数y =f (x )关于原点的对称曲线方程为y =-f (-x )；
11、若y=f(x)满足f(x+a)= f(a-x)(或f(x+2a)= f(-x))，则f(x) 关于轴x=a对称；
若y=f(x)满足f(x+a)= - f(a-x)(或f(x+2a)= - f(-x))，则f(x) 关于点（a ，0）对称。 12、周期性:y=f(x)满足f(x +a)=f(x－a) 或f(x±2a)=f(x)恒成立, 则2a 为周期; 若y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=±
1
), 则2a 为f(x)的一个周期; f (x )
若y=f(x)有两个对称中心，或有两条对称轴，或一个中心一条轴，则它有周期，可类比三角函数记忆。 13、图形变换:
y=f(x)→y=|f(x)|,把ｘ轴上方的图象保留, ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称得到上方图象;
y=f(x)→y=f(|x|),把ｙ轴右边图象保留, 并将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称得到左方图象.
14、恒成立问题与存在问题常常转化为求函数的最值来解决, 若能参变分离则分离。
一般步骤：①分离参数; ②求最值;
a ≥f(x)恒成立⇔a ≥[f(x)]max, ; a ≤f(x)恒成立⇔a ≤[f(x)]min ;
存在x 0∈M , 使得a ≤f (x 0) ⇔a ≤[f(x)]max ; 存在x 0∈M , 使得a ≥f (x 0) ⇔a ≥
[f(x)]min ;
15、y=f(x)在点x 0处的导数几何意义:
/
k=f(x0) 表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处切线的斜率。
/
导数⇔瞬时变化率。 V＝s (t)表示t 时刻即时速度。 16、基本公式:
(Cf (x ) ) '=C f '(x ) ; (xm ) '=mx m -1(m∈Q); (sinx) '=cosx;
(cosx) '=-sinx; (ex ) '=e x ; (ax ) '=a x lna; (lnx) '=
法则:(u ±v ) '=u '±v '; (uv ) '=u 'v +u v ';
11x ; (loga ) '= x ln a ⋅x
u u 'v -u v '
() '=; 2v v
17、导数应用: ⑴求切线斜率; ⑵研究单调性步骤: 分析y=f(x)定义域; 求导数;
//
解不等式f (x)>0得增区间; 解不等式f (x)
⑶ 求极值、最值步骤:求导数; 求f '(x ) =0的根; 检验f '(x ) 在根左右两侧符号：
若左正右负, 则f(x)在该根处取极大值; 若左负右正, 则f(x)在该根处取极小值; 最后把极值与区间端点函数值比较, 最大的为最大值, 最小的是最小值.
八、立体几何
1、平面的基本性质：三个公理及推论; 共点、共线、共面问题;
2、斜二测作图法； 几何体的三视图：理解三视图的投影规律 “长对正，高平齐，宽相等”
的含义.
3、位置关系：① 空间两直线: 平行、相交、异面;
② 直线与平面:a⊂α、a ⊄α (a∥α、a ∩α=A ) ； ③ 平面与平面: α∥β、α∩β=a ； 4、求空间角与距离几何法步骤:一作、二证、三算 .
① 异面直线所成角(00,900]: 平移法求角，有中点多用中位线; ② 线面角[00,900]: 作平面的垂线找射影 ；
5、平面图形翻折(展开): 注意翻折(展开) 后在同一平面图形中角度、长度不变; 6、长方体:
对角线长l =
正方体和长方体外接球直径=体对角线的长;
7、正方体、长方体、特殊椎体的外接球面积
a //b ⎫α⊥β⎫
α//β⎫⎪⎪
8、常用定理: ① 线面平行：b ⊂α⎬⇒a //α; ⎬⇒a //α; a ⊥β⎬⇒a //α；
a ⊂β⎭
a ⊄α⎪a ⊄α⎪⎭⎭
α//β⎫a //α⎫
a ⊥α⎫⎪a //b ⎫⎪
② 线线平行:a ⊂β⎬⇒a //b ; ⎬⇒a //b ; α⋂γ=a ⎬⇒a //b ; ⎬⇒c //b ； b ⊥αa //c ⎭⎭
β⋂γ=b ⎪α⋂β=b ⎪⎭⎭
a ⊂α, b ⊂α⎫
a ⊥α⎫α//β⎫⎪
③ 面面平行:a ⋂b =O ⎬⇒α//β; ⎬⇒α//β; ⎬⇒α//γ
a ⊥βγ//β⎭⎭
a //β, b //β⎪⎭
④ 线线垂直:
a ⊥α⎫0
⎬⇒a ⊥b ; 所成角为90； b ⊂α⎭
a ⊂α, b ⊂α⎫α⊥β⎫α//β⎫a //b ⎫⎪⇒a ⊥β⑤ 线面垂直:a ⋂b =O ⎬⇒l ⊥α; α⋂β=l ⎪; ; ⎬⎬⇒b ⊥α ⇒a ⊥β⎬a ⊥αa ⊥α⎭⎭l ⊥a , l ⊥b ⎪a ⊂α, a ⊥l ⎪⎭⎭
⑥ 面面垂直：
a ⊂β⎫a //β⎫
⎬⇒α⊥β; ⎬⇒α⊥β a ⊥α⎭a ⊥α⎭
⑤ 线线平行⇔线面平行⇔面面平行; ⑥ 线线垂直⇔线面垂直⇔面面垂直。
九、解析几何
1、倾斜角α∈[0,π), α=90斜率不存在; 斜率k=tanα=
y 2-y 1
；理解倾斜角和斜率的关系。
x 2-x 1
2、直线方程:点斜式：y-y 1=k(x-x1); 斜截式：y=kx+b;
一般式:Ax+By+C=0 ； 截距式:
x y
+=1(a≠0;b ≠0); a b
3、两直线平行和垂直：
① 若l 1:y=k1x+b1,l 2:y=k2x+b2 ，则l 1∥l 2⇔k 1=k2,b 1≠b 2;l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1 ； ② 若l 1: A1x+B1y+C1=0,l2: A2x+B2y+C2=0, 且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,
则l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B1B 2 =0 ；l 1∥l 2⇔
A B C 11
; =1≠
A 2B 2C 2
(k不存在或A 1、A 2、B 1、B 2为0时需讨论)
③ l1∥l 2 ，则化为同x 、y 系数后再求距离: d=4、点线距：d=
|Ax 0+By 0+C |
A +B
2
|C 1-C 2|A 2+B 2
22
2
;
2
2
2
2
2
5、圆:标准方程：(x－a) +(y－b) =r; 一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0)
6、直线与圆关系, 常常化为弦心距与半径关系，如：用垂径定理, 构造Rt △解决弦长问题； 又:ｄ>r⇔相离;d=r⇔相切;d
7、 圆与圆关系, 常化为圆心距与两圆半径间关系. 设圆心距为d, 两圆半径分别为r,R, 则有：d>r+R
⇔
两圆相离;d ＝r+R⇔两圆相外切;|R－r|
x 2y 2
8、椭圆 ：① 方程2+2=1(a>b>0); ② 定义: |PF1|+|PF2|=2a>2c ；
a b
c
③ e==
a
b 2
-2,a 2=b2+c2； ④ 椭圆上距焦点最近距离：a-c ， 最远距离：a+c;
a
x 2y 2
9、双曲线：①方程2-2=1(a,b>0)； ② 定义:||PF1|-|PF2||=2a
a b
c b 2x 2y 2b 222
③ e==1+2,c =a+b；④渐近线：2-2=0或y =±x ; 焦点到渐近线的距离为b;
a a a a b
10、抛物线：①方程y =2px ；② 定义:|PF|=d准 ； ③焦点F(
2
2
p p
,0), 准线x=-； 22
2
p ④ 焦点弦AB ＝x 1+x2+p; y1y 2=－p , x1x 2 = 其中A(x1,y 1) 、B(x2,y 2); 4
11、求动点的轨迹方程: ① 直接法：建系、设点、列式、化简、定范围 ；
② 定义法：说明动点P(x,y)满足已知曲线的定义，由定义直接写出方程；
③ 相关点法：动点P(x,y)依赖于动点Q(x1,y 1) 而变化,Q(x1,y 1) 在已知曲线上, 用x 、y 表示x 1、y 1, 再将x 1、y 1代入已知曲线即得所求方程。