实验四 傅立叶光学的空间频谱与空间滤波实验

实验4 傅立叶光学的空间频谱与空间滤波实验

一、实验目的

1、了解透镜的傅里叶变换性质，加深对空间频率、空间频谱和空间滤波等概念的理解。

2、熟悉阿贝成像原理，从信息量的角度理解透镜孔径对分辨率的影响。

3、完成一维空间滤波、二维空间滤波及高通空间滤波。

二、实验原理

1873年阿贝（E.Abbe ）首先提出显微镜成像原理以及随后的阿贝—波特空间滤波实验，在傅里叶光学早期发展史上做出重要的贡献。这些实验简单、形象，令人信服，对相干光成像的机理及频谱分析和综合原理做出深刻的解释，同时这种用简单的模板作滤波的方法一直延续至今，在图像处理技术中仍然有广泛的应用价值。

1、二维傅里叶变换和空间频谱

在信息光学中常用傅里叶变换来表达和处理光的成像过程。设在物屏X-Y 平面上光场的复振幅分布为g (x ，y ) ，根据傅里叶变换特性，可以将这样一个空间分布展开成一系列二维基元函数exp[i 2π(f x x +f y y )]的线性叠加，即

+∞

g (x , y ) =

-∞⎰⎰G (f x , f y ) exp[i 2π(f x x +f y y )]df x df y （1）

式中f x 、f y 为x 、y 方向的空间频率，即单位长度内振幅起伏的次数，G (f x ，f y ) 表示原函数g (x ，y ) 中相应于空间频率为f x 、f y 的基元函数的权重，亦即各种空间频率的成分占多大的比例，也称为光场（optical field）g (x ，y ) 的空间频谱。G (f x 、f y ) 可由g (x ，y ) 的傅里叶变换求得

+∞

G (f x , f y ) =

-∞⎰⎰g (x , y ) exp[-i 2π(f x x +f y y )]dxdy (2)

g(x ，y ) 与G (f x ，f y ) 是一对傅里叶变换式，G (f x ，f y ) 称为g (x ，y ) 的傅里叶的变换，g (x ，y ) 是G (f x ，f y ) 的逆变换，它们分别描述了光场的空间分布及光场的频率分布，这两种描述是等效的。

当g (x ，y ) 是空间周期函数时，空间频率是不连续的。例如空间周期为x 0的

一维函数g (x) ，即g (x )=g (x +x 0) 。描述空间周期为x 0的一维光栅时，光栅面上

光振幅分布可展成傅里叶级数

g (x ) =∑G n exp(i 2πf n x ) =∑G n exp(i 2πnf 0x ) (3)

上式中，n ＝0，±1，±2，„„；f 0=1/x 0 ，称为基频；f n =nf 0，是基频的整数倍

频，称为n 次谐波的频率。G n 是g (x ) 的空间频率，由傅里叶变换得

1G n =x 0+x 0/2-x 0/2⎰g (x ) exp(-i 2πnf 0x ) dx (4)

2、透镜的二维傅里叶变换性质

在光学上，透镜是一个傅里叶变换器，它具有二维傅里叶变换的本领。理论证明，若在焦距为F 的正透镜L 的前焦面（X-Y 面）上放一光场振幅透过率为g (x ，y ) 的物屏，并以波长为λ的相干平行光照射，则在L 的后焦面（X '-Y '面）上就得到g (x ，y ) 的傅里叶变换，即g (x ，y ) 的频谱，此即夫琅禾费衍射情况。其空间频谱

+∞x 'y 'x 'y 'G (, ) =⎰⎰g (x , y ) exp[-i 2π(x +y )]dxdy (5) λF λF λF λF -∞

其中空间频率f x 、f y 与透镜像方焦面（频谱面）上的坐标有如下关系 f x =x '/λF f y =y '/λF （6） 显然，G (x 'y 'x 'y '）的频谱项的复振幅，是物的复, ) 就是空间频率为（, λF λF λF λF

振幅分布的傅里叶变换，这就为函数的傅里叶变换提供了一种光学手段，将抽象的函数演算变成了实实在在的物理过程。由于x 'y '分别正比于x '，y '，所以当, λF λF

λ、F 一定时，频谱面上远离坐标原点的点对应于物频谱中的高频部分，中心点x '=y '=0，f x =f y =0对应于零频。

3、阿贝成像原理

现在我们知道，物体应该看成是大量空间信息的集合体，光信息处理涉及的空间信息的频谱不再是一个抽象的数学概念，它是展现在透镜焦平面上的物理实在。然而当初，最先把物体看成是大量空间信息的集合体的是阿贝。

1873年，德国人阿贝在研究显微镜设计方案时，提出了空间频率、空间频谱及二次衍射成像的概念，并进行了相应的实验研究。他认为：在相干光照明下，

显微镜的成像可分为两个步骤。第一步是通过物的夫琅禾费衍射，在物镜后焦面上形成一个衍射图样，第二步是这些衍射图样发出的子波相干涉，在像平面上相干迭加形成物的像，通过目镜可以观察到这个像。

图1是阿贝成像原理示意图，图中物G 是正弦振幅透射光栅，成像的第一步是光栅的夫琅禾费衍射。在G 上取代表正弦光栅中的某些透光缝A 、B 、C ，由正弦光栅透出的所有方向的光中，经计算知，只有三个方向的平行光是彼此相长地相干，会聚于焦平面F 上，形成f +1、f 0和f -1。第二步，把这些衍射图样f +1、f 0和f -1看成是相干的子波源，这三列波在像平面H 上相干迭加，就得到正弦光栅

的像。

图1 阿贝成像原理

成像的这两步骤本质上就是两次傅立叶变换，如果物的振幅分布是g(x,y)，可以证明在物镜后面焦面x ' ，y ' 上的光强分布正好是g(x,y)的傅立叶变换

x ' y '

（只要令f x =，f y =，λ为波长，F 为物镜焦距）。所以第一步G (f x f y ) 。λF λF

骤起的作用就是把一个光场的空间分布变成为：空间频率分布；而第二步骤则是又一次傅氏变换将G (f x f y ) 又还原到空间分布。

按频谱分析理论，谱面上的每一点均具有以下四点明确的物理意义：

（1）谱面上任一光点对应着物面上的一个空间频率成分。

（2）光点离谱面中心的距离，标志着物面上该频率成分的高低，离中心远的点代表物面上的高频成分，反映物的细节部分。靠近中心的点，代表物面的低频成分，反映物的粗轮廓。中心亮点是0级衍射即零频，反映在像面上呈现均匀背景。

（3）光点的方向，指出物平面上该频率成分的方向，例如横向的谱点表示物面有纵向栅缝。

（4）光点的强弱则显示物面上该频率成分的幅度大小。

由以上定性分析可以看出，阿贝的二次成像理论的第一次衍射是透镜对物作空间傅里叶变换，它把物的各种空间频率和相应的振幅一一展现在它的焦平面上。一般情况下，物体透过率的分布不是简单的空间周期函数，它们具有复杂的空间频谱，故透镜焦平面上的衍射图样也是极复杂的。第二次衍射是指空间频谱的衍射波在像平面上的相干迭加。如果在第二次衍射中，物体的全部空间频谱都参与相干迭加成像，则像面与物面完全相似。如果在展现物的空间频谱的透镜焦平面上插入某种光学器件（称之为空间滤波器），使某些空间频率成分被滤掉或被改变，则像平面上的像就会被改变，这就是空间滤波和光学信息处理的基本思想。

在实际光学成像系统中，像和物不可能完全一样。这是由于透镜的孔径是有限的，总有一些衍射角比较大的高次光线（高频信息）不能进入物镜而被丢掉。所以像的信息总是比物的少些。由于高频信息主要反映物的细节，因此，无论显微镜有多大的放大倍数，也不可能在像面上分辨出这些细节。这是限制显微镜分辨本领的根本原因。当物镜孔径极其小时，有可能只有零级衍射通过物镜，这时像面上有亮的均匀背景而无像分布。

4、空间滤波和光信息处理

光信息处理是通过空间滤波器来实现的，所谓空间滤波器是指在图1中透镜的后焦平面上放置某种光学元件来改造或选取所需要的信息，以实现光信息处理。这种光学器件称为空间滤波器。

（a ）低通 （b ）高通

（c ）带通

（d ）方向

图 2 空间滤波器

图2给出了几种常用的空间滤波器。

（a ）低通滤波：目的是滤去高频成分，保留低频成分。由于低频成分集中在谱面的光轴（中心）附近，高频成分落在远离中心的地方，经低通滤波后图像的精细结构将消失，黑白突变处也变得模糊。

（b ）高通滤波：目的是滤去低频成分而让高频成分通过，其结果正好与低通滤波相反，使物的细节及边缘清晰。

（c ）带通滤波：根据需要，有选择的滤掉某些频率成分。

（d ）方向滤波：只让某一方向，例如纵向的频率成分通过，则像面上将突出了物的横向线条。

(a

) (b ) (c

) (d

)

(e ) (f )

图3 空间滤波器及空间滤波

假如用一块二维矩形光栅作为物，二维矩形光栅的空间结构分布如图3（a ），将其放在图1的G 处，由于它的振幅透射率是二维周期函数，因此它的空间频谱也应该是二维的，用f x ，f y 表示。当用平行光照射二维矩形光栅时，在图1中透镜的焦平面F 上将显示出二维光栅的频谱，如图3（b ）。假如用一块有狭缝的屏作空间滤波器，将狭缝沿Y 轴竖直放置在图1中的F 面上，它将挡掉图3（b ）中所有的f x ，仅保留f y ，如图3（c ），此时在像平面H 上的像将如图3（d ）所示。若用类似于图3（d ）的一维光栅代替二维光栅放在图1的G 处，则在图1的F

和H 面上也得到上述同样的像。这就是说，图3（c ）中的这条狭缝把二维光栅的像处理成一维光栅的像了。若将狭缝水平放置，它将滤掉图3（b ）中所有的f y ，透镜的焦平面F 上保留的频谱和像平面H 上成的像将如图3（e ）所示。如果让狭缝45 倾斜地放置在F 面上，那么透镜的焦平面F 上保留的频谱和像平面H 上成的像将如图3（f ）所示。这表明用一条狭缝作滤波器，当其取向不同时，可将二维光栅的物处理成上述各种方位的一维光栅的像。

以上是采用滤波器进行光信息处理的最简单的实例，这类滤波器从物体的全部空间信息中选出所需要的部分，从而实现对物体信息的处理，获得由物体的部分空间信息所构成的像。

三、实验仪器

光学导轨，He-Ne 激光器，薄透镜若干，滤波器（方向，低通各一），光栅（正交），网格字，白屏，毛玻璃，直尺。

四、实验步骤与内容

1．共轴光路调节

(1) 在光具座上将小圆孔光阑靠近激光管的输出端，上、下、左、右调节激光管，使激光束能穿过小孔；然后移远小孔，如光束偏离光阑，调节激光管的仰俯，再使激光束能穿过小孔，重新将光阑移近，反复调节，直至小孔光阑在光具座上平移时，激光束均能通过小孔光阑。记录下激光束在光屏上的照射点位置。

(2)调整个器件高度，使激光器、显微物镜（扩束镜）、准直透镜、正交光栅、双凸透镜处于同一水平高度。(在做以后的实验时，都要用透镜，调平激光管后，激光束直接打在屏Q 上的位置为O ，在加入透镜L 后，如激光束正好射在L 的光心上，则在屏Q 上的光斑以O 为中心，如果光斑不以O 为中心，则需调节L 的高低及左右，直到经过L 的光束不改变方向(即仍打在O 上) 为止；此时在激光束处再设带有圆孔P 的光屏，从L 前后两个表面反射回去的光束回到此P 上，如二个光斑套准并正好以P 为中心，则说明L 的光轴正好就在P 、O 连线上。不然就要调整L 的取向。如光路中有几个透镜，先调离激光器最远的透镜，再逐个由远及近加入其他透镜，每次都保持两个反射光斑套准在P 上，透射光斑以O 为中心，则光路就一直保持共轴。)

(3)调整准直透镜与显微物镜（扩束镜）之间的距离，使用白屏观察准直后的光斑，光斑在近处和远处直径大致相等（一般以图像的直径为38.5mm 左右为宜）。注：此时应将显微物镜小口径端作为激光入射方向。

图4

2．解释阿贝成像原理实验（波特实验）

(1) 按图1-2布置光路。用He —Ne 激光器发出的一束平行光垂直照射光栅，G 是空间频率为每毫米几十条的二维的

正交光栅，在实验中作为物。L 是焦距为

150mm 的透镜，移动白屏使正交光栅在白

屏上成放大的像。

(2) 调节光栅，使像上条纹分别处于

垂直和水平的位置。这时在透镜后焦面

上观察到二维的分立光点阵，这就是正

交光栅的夫琅和费衍射(即正交光栅的

傅里叶频谱) ，而在像平面上则看到正交

光栅的放大像(如图5(a))。

(3) 如在F 面上设小孔光阑，只让一

个光点通过，则输出面上仅有一片光亮

而无条纹(如图5(b))。换句话说，零级

相应于直流分量，也可理解为δ函数的傅里叶变换为

1。

(4) 换用方向滤波器作空间滤波器放在F 面上，狭缝处于竖直方位时，S 屏上竖条纹全被滤去，只剩横条纹；当然横条纹也可看作几个竖直方向上点源发出光波的干涉条纹(如图5(c,d))。把狭缝转到水平方向观察S 屏上条纹取向，并加以解释。

(5) 再将方向滤波器转45°角(如图1-2(e))。此时观察到像平面上条纹是怎样的? 条纹的宽度有什么变化? 图5解释阿贝成像原理实验光路及实验图像

3．计算空间频率

（1）把二维正交光栅换成一维光栅，用白屏在L 3的后焦面附近缓慢移动，

确定频谱光点最清晰的位置，锁定白屏，察正交光栅的像的构成。

（2）在L 3后焦面（频谱面）处放置可变圆

孔光阑，挡去0级以外的各点，观察像面上有

无光栅条纹。调节光阑，使0级和±1级通过，

观察像面上的光栅条纹像，再把光阑拿开，让

更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光

栅条纹像，试看这两种情况的光栅条纹像的宽

度有无变化。

（3）把白屏放在频谱面上，测量出0级与+1、+2级或-1、-2级衍射极大位置的宽度d1、d2，计算1级光点、2级光点的空间频率：

d 1 λ⋅F

d 2级光点的空间频率 f x 2=1 λ⋅F 1级光点的空间频率f x 1=

其中λ为所用激光光波波长（632.8nm ）；F 为变换透镜的焦距。

4．空间滤波实验

由无线电传真所得到的照片是由许多有规律地排列的像元所组成，如果用放大镜仔细观察，就可看到这些像元的结构，能否去掉这些分立的像元而获得原来的图像呢？由于像元比像要小得多，它具有更高的空间频率，因而这就成为一个高频滤波的问题。下面的实验可以显示这样一种空间滤波的可能性。

前述实验中狭缝起的是方向滤波器的作用，可以滤去图像中某个方向的结构，而圆孔可作低通滤波器，滤去图像中的高频成分，只让低频成分通过。

(1) 按图6布置好光路。用显微物镜和准直透镜L 1组成平行光系统。以扩展

后的平行激光束照明物体，以透镜L 2将此物成像于较远处的屏上，物使用带有

网格的网格字（中央透光的“光”字和细网格的叠加），则在屏Q 上出现清晰的放大像，能看清字及其网格结构（图7）。由于网格为周期性的空间函数，它们的频谱是有规律排列的分立的点阵，而字迹是一个非周期性的低频信号，它的频谱就是连续的。

实验参考光路：

图1-3空间滤波实验光路图

图1-4

网格字成像放大图

(2) 将一个可变圆孔光阑放在L 的第二焦平面上，逐步缩小光阑，直到除了光轴上一个光点以外，其它分立光点均被挡住，此时像上不再有网格，但字迹仍然保留下来。

试从空间滤波的概念上解释上述现象。

(3) 把小圆孔移到中央以外的亮点上，在Q 屏上仍能看到不带网格的“光”字，只是较暗淡一些，这说明当物为“光”与网格的乘积时，其傅里叶谱是“光”的谱与网格的谱的卷积，因此每个亮点周围都是“光”的谱，再作傅里叶变换就还原成“光”字，演示了傅里叶变换的乘积定理。

五、实验要求

1、阿贝成像实验的光路调整：

（1) 用L1和L2组成扩束器，以其出射的平行光束垂直地射在铅直方向的光栅上。

（2) 在离光栅（物）2 m以外放置白屏，前后移动变换透镜，在屏上接收光栅像。

2、傅里叶光学空间频谱观察：

（1) 在L3后焦面（傅氏面）处置一可调狭缝光阑，挡住频谱0级以外的光点，观察像屏上是否还有光栅像。

（2) 调节狭缝宽度，使频谱的0级和1级通过光栏，观察像面上的光栅像；然后撤出光阑，让更高级次的衍射都能通过，再观察像面上的光栅像。比较这两种情况下光栅像有何变化。

（3) 白屏放在傅氏面上，观察0级至+1、+2级或-1、-2级衍射极大之间的距离。

（4) 二维的正交光栅替换一维光栅，让竖向的一系列光点通过铅直的狭缝光阑，观察像面上栅缝的方向。

（5) 将光阑转90°，再观察像面上栅缝的方向.

（6) 逐一完成表一中不同光阑的实验内容。

3．计算空间频率