10道经典球的接切问题及详解[1]
球的接切问题
1. 若三棱锥S-ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,AB=2,SA=SB=SC=2,则该三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为
C.1
D. 答案:D. 图解如下——
解决球问题时,未必将球画出来,增强我们的空间想象能力.
2
⎛⎫OA =OS
,即12+x 2= .
⨯2-x ⎪⇒x =
23⎝⎭
2011-12-6 wht
2. 已知正三棱椎P -ABC 的体积为
外接球球心为O ,且满足OA +OB +OC =0则2
正三棱锥P -ABC 的外接球的半径为 A. 1
B.
C.
D. 2
答案:B ,由OA +OB +OC =0得出球心
O 为△ABC 的中心,于是锥高为球半径,故
1⎛12
⨯ 3⨯⨯
r sin1203⎝2
⎫⨯r =⎪
⎭
,推出r =.
3. 已知一个三棱锥的三视图如图2所示, 其中俯视图是等腰直角三角形,则该 三棱锥的外接球体积为
. 答案:.
俯视图
(源自2011年沈阳市二模文科16题)
4. 已知一个三棱锥的三视图如图2所示, 其中俯视图是顶角为120的等腰三角形, 则该三棱锥的外接球体积为 .
(源自2011年沈阳市二模理科16题)
答案:
. 寻求球心是关键,模仿圆心确定的3
方
式,来确定球心——
先确定底面的圆心(球的小圆圆心)O 1,球心必然在过O 1且垂直于平面ABC 的垂线上,如图,OO 1
=
1
PA =1,圆O 1的半径可以通过正弦定理得到O 1A =2
2
故球体积为
.
3
B
1
2011-12-7 wht解析
5. 已知球的直径SC=4,A,B 是该球球面上的两点,AB=,∠ASC =∠BSC =30︒,则棱锥S-ABC 的体积为(2011辽宁高科理科12)
(A )3 (B )2 (C )3 (D )
1 答案:C.
提示:对体进行分割,由A 作AN ⊥SC 于N ,连接BN ,以截面为底求体积. 如图——
2011-12-3 wht解析
6. 将4个半径为1的球装入正四面体型容器内,则此容器的最小高度为. (2011届
马瑞瑶问题)
答案:4+
提示:分层处理——
(1
)最上层的小球相当于正四面体内切球,r
1=⋅a ,而r=1
,从而a =,
43
所以此小球球心到四面体顶点距离为
3⋅⋅=3; 43
(2)中间层是上层小球球心到下面三球球心距离为以2r
为棱长的正四面体的高
; ⋅2r =
33
(3)最下层是下层球心到底面距离为r=1. 故整个大正四面体容器的最小高度为
.
说明:立体几何的接切问题最终转化为规则几何体(正方体、长方体、正四面体、正
三棱锥)的问题处理,这是不变的规则.
2011-12-6 wht再解析
7. 在四面体S -ABC 中,AB ⊥BC ,AB =BC =的余弦值是-
2,SA =SC =2,二面角S -AC -B
3
,则该四面体外接球的表面积是(源自2012届育才高中部五模理科11题) 3
A. 8 B. 6π C. 24π D. 6π
答案:D.
方法一:还原到几何体中——
B
依据已知条件研究各个棱长得出联想到正方体的棱间关系,容易将图形还原..到原几何体——正方体中. 如图——
.....
B
问题迎刃而解.
方法二:若是不能还原到正方体,我们也可以这样考虑:计算得出SO
1在面ABC 内的射影到O 1的距离为1,即DO
1=1,刚好为小圆的半径,∴SD 为球的一条弦,计算其长度为
. 2
.
点评:利用圆的截面性质找圆心是必须掌握的能力。
8.如图,平面四边形ABCD 中,AB =AD =CD =1,BD =2, BD ⊥CD ,将其沿对角线
若四面体A ' -BCD 顶点在同一个BD 折成四面体A ' -BCD ,使平面A ' BD ⊥平面BCD ,
球面上,则该球的体积为(源自2012届育才双语高三理科最后一卷) A .
32
π B .3π C .π D .2π 23
A
A '
B
C
C
D
B
答案:A . 球心如何确定?主要依据是球的界面性质:过截面圆心与截面垂直的直线必过球心. 球心在过BC 中点的平面BCD 的垂线上,且在过BD 中点M 的平面ABD 的垂线上,两面垂直,所以两垂线交点为N ,于是半径可定,体积易算,如图
另外:如果注意到CD ⊥AD ,AD ⊥AB ,联想到长方体中的棱的特征,不难有补体的想法,如图——
A'
D (2012-12-17再次输入)
2012-5-28 wht
变式训练:
如图所示,三棱锥P-ABC 中,PA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,PA=AC=2,则三棱锥P-ABC 的外接球的体积为(源自2013年高一期末检测题T12)
A.
C
4π8π B. C. 332π
D. 2π 3
2013-1-21 wht
答案:A. 提示:补成长方体得解.
9. 一个正四棱锥的底面边长为2,侧棱长为,五个顶点都在同一个球面上,则此球的表面积为 . 答案:9π.
C
B
设外接球半径为R ,在△OO 1A 中有(R -1)+∴S 球=9π.
说明:在本题的解决上学生不易判定出球心在体外这一事实.
2012-9-11 wht
10.高为
2
A
2
=R 2解得R =
3. 2
的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形,点S 、A 、B 、C 、D 均在半4
径为1的同一球面上,则底面ABCD
的中心与顶点S 之间的距离为(源自2011年重庆9题)
A .
4
B .
2
C .1
D 答案:C.
提示:由正方形边长为1及球半径为1
得出球心到正方形的距离为
,而锥高为2
1S 在球心O 与正方形所在截面圆圆心O 连线的中垂面上【不可能在
=
422
其他位置的原因是
,如图,这样问题变得非常简单——答案与半径等长.
+】
42
2012-12-17wht 再次输入
11. 已知有半径分别为2、3的球各两个,且这四个球彼此相外切,现有一个球与此四个球都相外切,则此球的半径为 .(源自鞍山一中模拟) 答案:
6
. 提示:如图:
11
C
设四个球的球心分别为A 、B 、C 、D ,则AD=AC=BD=BC=5,AB=6,CD=4.设AB 中点为E 、
CD 中点为F ,连结EF. 在△ABF 中求得
EBF 中求得
EF=由于对称性可得第五个球的球心O 在EF 上,连结OA 、OD. 设第五个球的半径为r ,则OA=r+3,OD=r+2,于是
OE+OF=EF
11r 2+60r -36=0解得r =
66
或-6(舍掉),故答案为. 1111
2013-2-5 wht解析
典型例题1——球的截面
例1 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中
AB =18,BC =24、AC =30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,求球的表面积.
分析:求球的表面积的关键是求球的半径,本题的条件涉及球的截面,∆ABC 是截面的内接三角形,由此可利用三角形求截面圆的半径,球心到截面的距离为球半径的一半,从而可由关系式r =R -d 求出球半径R .
解:∵AB =18,BC =24,AC =30,
∴AB +BC =AC ,∆ABC 是以AC 为斜边的直角三角形. ∴∆ABC 的外接圆的半径为15,即截面圆的半径r =15, 又球心到截面的距离为d =
2
2
2
2
2
2
11
R ,∴R 2-(R ) 2=152,得R =. 22
∴球的表面积为S =4πR 2=4π(3) 2=1200π. 说明:涉及到球的截面的问题,总是使用关系式r =
R 2-d 2解题,我们可以通过两
个量求第三个量,也可能是抓三个量之间的其它关系,求三个量.
【练习】过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ,且两两夹角都为60︒,若球半径为R ,求弦AB 的长度.
由条件可抓住A -BCD 是正四面体,A 、B 、C 、D 为球上四点,则球心在正四面体中心,设AB =a ,则截面BCD 与球心的距离d =
6
a -R ,过点B 、C 、D 的截面3
圆半径r =
3262a ,所以(a ) =R 2-(a -R ) 2得a =R . 3333
典型例题2——球面距离
例2 过球面上两点作球的大圆,可能的个数是( ).
A .有且只有一个 B .一个或无穷多个 C .无数个 D .以上均不正确 分析:对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论.当三点不共线时,可以作一个大圆;当三点共线时,可作无数个大圆,故选B .
例3 球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的小圆的周长为4π,求这个球的半径.
分析:利用球的概念性质和球面距离的知识求解.
设球的半径为R ,小圆的半径为r ,则2πr =4π,∴r =2. 如图所示,设三点A 、B 、C ,O 为球心,
1
,经过3个点的6
2ππ
O B 是等边三角形,=.又∵OA =OB ,∴∆A
63
同样,∆BOC 、∆COA 都是等边三角形,得∆ABC 为等边三角形,边长等于球∠AOB =∠BOC =∠COA =
半径R .r 为∆ABC 的外接圆半径,r =
3r =2. AB =R ,R =
333
说明:本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题,除了考查常规的与多面体
综合外,还考查了球面距离,几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点,是一道不可多得的好题.
例4 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点,它们的球面距离为的平面中,与球心的最大距离是多少?
分析:A 、B 是球面上两点,球面距离为
π
2
R ,求过A 、B
π
2
R ,转化为球心角∠AOB =
π
2
,从而
AB =2R ,由关系式r 2=R 2-d 2,r 越小,d 越大,r 是过A 、B 的球的截面圆的半
径,所以AB 为圆的直径,r 最小.
解:∵球面上A 、B 两点的球面的距离为
π
2
R . ∴∠AOB =
π
2
,∴AB =2R .
当AB 成为圆的直径时,r 取最小值,此时r =
12AB =R ,d 取最大值, 22
d =R 2-r 2=
22
R , 即球心与过A 、B 的截面圆距离最大值为R . 22
2
2
2
说明:利用关系式r =R -d 不仅可以知二求一,而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律.此外本题还涉及到球面距离的使用,球面距离直接与
两点的球心角∠AOB 有关,而球心角∠AOB 又直接与AB 长度发生联系,这是使用或者求球面距离的一条基本线索.
典型例题3——其它问题
例5.自半径为R 的球面上一点M ,引球的三条两两垂直的弦MA ,
MB , MC ,求
MA 2+MB 2+MC 2的值.
分析:此题欲计算所求值,应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算,所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系,便于将球的条件与之相联.
解:以MA , MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱,将三棱锥M -ABC 补成一个长方体,则另外四个顶点必在球面上,故长方体是球的内接长方体,则长方体的对角线长是球的直径.
∴MA 2+MB 2+MC 2=(2R ) 2=4R 2.
说明:此题突出构造法的使用,以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算.
例6.试比较等体积的球与正方体的表面积的大小.
分析:首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长,找出等量关系,再转化为其面积的大小关系.
解:设球的半径为r ,正方体的棱长为a ,它们的体积均为V ,
则由
4π33V 3V r =V , r 3=,r =,由a 3=V , 得a =. 34π4π
S 球=4πr 2=4π(3V 2V 2. ) =4πV 2. S 正方体=6a 2=6() 2=62=216
4π
4π
典型例题4——球与几何体的切、接问题
例7 一个倒圆锥形容器,它的轴截面是正三角形,在容器内注入水,并放入一个半径为r 的铁球,这时水面恰好和球面相切.问将球从圆锥内取出后,圆锥内水平面的高是多少?
分析:先作出轴截面,弄清楚圆锥和球相切时的位置特征,利用铁球取出后,锥内下降部分(圆台) 的体积等于球的体积,列式求解.
解:如图作轴截面,设球未取出时水面高PC =h ,球取出后,水面高PH =x
∵AC =r ,PC =3r ,
则以AB 为底面直径的圆锥容积为V 圆锥=球取出后水面下降到EF ,水体积为
11
π⋅AC 2⋅PC =π(r ) 2⋅3r =3πr 3, 33
111
V 水=π⋅EH 2⋅PH =π(PH tan 30︒) 2PH =πx 3.
339
13433
又V 水=V 圆锥-V 球,则πx =3πr -πr ,
解得x =r .
93
例8.设正四面体中,第一个球是它的内切球,第二个球是它的外接球,求这两个球的表面积之比及体积之比.
分析:此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系,第二个关键是两个球的半径之间的关系,依靠体积分割的方法来解决的.
解:如图,正四面体ABCD 的中心为O ,∆BCD 的中心为O 1,则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离,第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离.
设OO 1=r , OA =R ,正四面体的一个面的面积为S .
11
S (R +r ) , 又V A -BCD =4V O -BCD =4⨯r ⋅S 33
∴R +r =4r 即R =3r .
43πr
内切球的表面积4πr 21内切球的体积1==所以.. ==2
4外接球的表面积4πR 9外接球的体积
πR 3273
依题意得V A -BCD =
说明:正四面体与球的接切问题,可通过线面关系证出,内切球和外接球的两个球心是重合的,为正四面体高的四等分点,即定有内切球的半径r =
1
h (h 为正四面体的高) ,且4
外接球的半径R =3r .
例9.把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上,使它两两外切,然后在它们上面放上第四个球,使它与前三个都相切,求第四个球的最高点与桌面的距离.
分析:关键在于能根据要求构造出相应的几何体,由于四个球半径相等,故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2.
解:四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点,则正四面体的高
h =22-(2⋅
3226
. ) =
33
而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1,且三个球心到桌面的距离都为1,故第四个球的最高点与桌面的距离为2+
26
. 3
例10.如图1所示,在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切.(1)求两球半径之和;(2)球的半径为多少时,两球体积之和最小.
分析:此题的关键在于作截面,一个球在正方体内,学生一般知道作对角面,而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上,故仍需作正方体的对角面 ,得如图2的截面图,在图2中,观察R 与r 和棱长间的关系即可.
解:如图2,球心O 1和O 2在AC 上,过O 1,O 2分别作AD , BC 的垂线交于E , F . 则由AB =1, AC =得AO 1=r , CO 2=3R .
∴r +R +3(r +R ) =, ∴R +r =
(1)设两球体积之和为V , 则V =
3+1
=
3-3
. 2
44
π(R 3+r 3) =π(r +R )(R 2-Rr +r 2) 33
=
⎤433⎡323343() -3R (-R ) π(R +r ) 2-3rR =π⎢⎥
32⎣2232⎦
[]
=π
4
3
3⎡23(3-3) 3-32⎤
3R -R +() ⎥ ⎢2⎣22⎦
当R =
3-3-时,V 有最小值.∴当R =r =时,体积之和有最小值.
44
作业
1. 正三棱锥的高为1,底面边长为26,正三棱锥内有一个球与其四个面相切.求球的表面积与体积.
解:如图,球O 是正三棱锥P -ABC 的内切球,O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R .
PH 是正三棱锥的高,即PH =1.E 是BC 边中点,H 在AE 上,
∆ABC 的边长为26,∴HE =
⨯26=2. ∴PE = 6
13BC ⋅PE =32.(26) 2=6 S ∆ABC =24
可以得到S ∆PAB =S ∆PAC =S ∆PBC =
由等体积法,V P -ABC =V O -PAB +V O -PAC +V O -PBC +V O -ABC ∴⨯6⨯1=
1
3
1123⨯32⨯R ⨯3+⨯63⨯R 得:R ==6-2, 3323+3
∴S 球=4πR 2=4π(6-2) 2=8(5-26) π. ∴V 球=
434
πR =π(6-2) 3. 33
说明:球心是决定球的位置关键点,本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球
半径R 来求出R ,以球心的位置特点来抓球的基本量,这是解决球有关问题常用的方法.
2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比.
分析:首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥,它们公共的轴截面,然后寻找几何体与几何体之间元素的关系.
解:如图,等边∆SAB 为圆锥的轴截面,此截面截圆柱得正方形C 1CDD 1,截球面得球的大圆圆O 1.
设球的半径OO 1=R ,则它的外切圆柱的高为2R ,底面半径为R ;
OB =O 1O ⋅cot 30︒=R , SO =OB ⋅tan 60︒=R ⋅3=3R ,
∴V 球=
431
πR ,V 柱=πR 2⋅2R =2πR 3, V 锥=π⋅(R ) 2⋅3R =3πR 3, 33
∴V 球∶V 柱∶V 锥=4∶6∶9.
3 在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm
2
πcm .求球的表面积. 和400
分析:可画出球的轴截面,利用球的截面性质,求球的半径.
解:如图为球的轴截面,由球的截面性质知,AO 1//BO 2,且若O 1、O 2分别为两截面圆的圆心,则OO 1⊥AO 1,OO 2⊥BO 2.设球的半径为R .
∵π⋅O 2B =49π,∴O 2B =7(cm ) 同理π⋅O 1A =400π,∴O 1A =20(cm ) 设OO 1=xcm ,则OO 2=(x +9) cm .
222
在Rt ∆OO 1A 中,R =x +20;在Rt ∆OO 2B 中,R =(x +9) +7,
2
2
2
2
2
2
∴x +20=7+(x +9) ,解得x =15,
2222
∴R =x +20=25,∴R =25
222
∴S 球=4πR =2500π(cm ) . ∴球的表面积为2500πcm .
2
22
巧解外接球问题
摘要:外接球有关计算问题在近年高考试题中屡见不鲜,本文就长方体、正方体
及棱锥的外接球有关问题,给出了特殊解法。 关键词:巧解 外接球 问题
《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求:“在立体几何初步部分,学生将先从对空间几何体的整体观察入手,认识空间图形;再以长方体为载体,直观认识和理解空间点、线、面的位置关系;„„。”由此可见,长方体模型是学习立体几何的基础,掌握长方体模型,对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的难点之一,这与学生的空间想象能力以及化归能力有关,本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。 一、直接法
1、求正方体的外接球的有关问题
例1 (2006年广东高考题)若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 .
解析:要求球的表面积,只要知道球的半径即可. 因为正方体内接于球,所以它的体对角线正好为球的直径,因此,求球的半径可转化为先求正方体的体对角线长,再计算半径. 故表面积为27π.
例2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该正方体的表面积为
24,则该球的体积为.
解析:要求球的体积,还是先得求出球的半径,而球的直径正好是正方体的体对角线,因此,由正方体表面积可求出棱长,
从而求出正方体的体对角线是
故该球的体积为. 2、求长方体的外接球的有关问题
例3 (2007年天津高考题)一个长方体的各顶点均在同一球面上,且一个顶点上的三条棱长分别为1, 2,3,则此球的表面积为 .
解析:关键是求出球的半径,因为长方体内接于球,所以它的体对角线正好
14π.
例4、(2006年全国卷I )已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4,体积为16,则这个球的表面积为( ).
A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π
解析:正四棱柱也是长方体。由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2,因此,长方体的长、宽、高分别为2,2,4,于是等同于例3,故选C. 二、构造法 1、构造正方体
例5 (2008
年福建高考题)若三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为
解析:此题用一般解法,需要作出棱锥的高,然后再设出球心,利用直角三角形计算球的半径. 而作为填空题,我们更想使用较为便捷的方法,所以三条侧
棱两两垂直,使我们很快联想到长方体的一个角,马上构造长方体,且侧棱长均相等,所以可构造正方体模型,如图1
,则AC=BC=CD=,那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线,故所求表面积是9π.(如图1)
例 6 (2003
球面上,则此球的表面积为( )
A. 3π B. 4π
C. D. 6π
解析:一般解法,需设出球心,作出高线,构造直角三角形,再计算球的半径. 在此,由于所有棱长都相等,我们联想只有正方体中有这么多相等的线段,所以构造一个正方体,再寻找棱长相等的四面体,如图2,四面体A -BDE 满足
条件,即AB=AD=AE=BD=DE=BE =1,体对
所以此球的表面积便可求得,故选A. (如图2)
例7(2006年山东高考题)在等腰梯形ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=600,
E 为AB 的中点,将∆ADE 与∆BEC 分布沿ED 、EC 向上折起,使A 、B 重合于
图1
图2
点P ,则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为( ).
A.
B.
C.
D.
解析:(如图3) 因为AE=EB=DC=1,∠DAB=∠CBE=∠DEA=600,所以
AD =AE=EB=BC=DC=DE=CE=1,即三棱锥P-DCE 为正四面体,至此,这与例
6就完全相同了,故选C.
C
图3
D
E
C
例8 (2008年浙江高考题)已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ,
DA ⊥平面ABC ,AB ⊥
BC ,O 的体积等于解析:本题同样用一般方法时,需要找出球心,求出球的半径. 而利用长方体模型很快便可找到球的直径,由于DA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,联想长方体中的相应线段关系,构造如图4
所示的长方体,又因为方体为正方体,所以CD 长即为外接球的直径,利用直角三角形解出CD=3. 故球
9
O 的体积等于π. (如图4)
2
图4
2、构造长方体
例9(2008年安徽高考题)已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上,
A B ⊥平面BCD ,BC ⊥
DC ,若AB =,则B 、C 两点间的球
面距离是 .
解析:首先可联想到例8,构造下面的长方体,于是AD 为球的直径,O 为球心,OB=OC=4为半径,要求B 、C 两点间的球面距离,只要求出∠BOC 即可,
4
在Rt ∆ABC 中,求出BC =4,所以∠BO C=600,故B 、C 两点间的球面距离是π.
3
(如图5)
参考文献:
C
图5
1 叶尧城. 高中数学课程标准教师读本[M].武汉:华中师范大学出版社,2003 2 严士健 王尚志. 普通高中课程标准实验教科书数学2(必修)[M].北京:北京师范大学出版社,2009