三元基本不等式

基本不等式在求最值中的应用与完善

杨亚军

函数的最值是函数这一章节中很重要的部分，它的重要性不仅在题型的多样、方法的灵活上，更主要的是其在实际生活及生产实践中的应用。高考应用题几乎都与最值问题有关, 而基本不等式是解决此类实际问题的有力工具. 本文着重就基本不等式在求最值中的应用与完善谈一些个人的体会. 只有扎实地掌握好基本不等式求最值的基本技能与注意事项，才能更好地去解决实际应用问题。

一、 基本不等式的内容及使用要点

1、 二元基本不等式：

①a ，b ∈R 时，a 2+b2≥2ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；

②a ，b ≥0时，a+b≥2 （当且仅当a=b时“=”号成立）。

这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab≤ ，ab≤

。

称为a ，b 的。对不等式ab≤ ，还有更一般的表达式：|ab|≤ 由数列知识可知，

称为a ，b 的等差中项，

等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数

的等比中项不大于它们的等差中项”。

2. 三元基本不等式：

当a ，b ，c>0时，a+b+c≥ ，当且仅当a=b=c时，等号成立，„„乃至n 元基本不等式；当a i >0（i=1，2，„，n ）时，a 1+a2+„+an ≥

。

二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a>0，b>0时，

≥2，a+ ≥2等。

当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a

基本不等式中的字母a ，b 可代表多项式。

3. 利用基本不等式求函数的最大值或最小值是高中求函数最值的主要方法之一。利用基本不等式求函数最值时，其条件为“一正二定三等”，“一正”指的是在正实数集合内，“二定”指的是解析式各因式的和或积为定值（常数），“三等”指的是等号条件能够成立。

利用基本不等式求函数最值的方法使用范围较广泛，既可适用于已学过的二次函数，又可适用于分式函数，高次函数，无理函数。

利用基本不等式求函数最值时，可能上面的三个条件不一定满足，此时不能认为该函数不存在最值，因为通过化归思想和初等变形手段可以使条件得到满足。常用的初等变形手段有均匀裂项，增减项，配系数等。

在利用基本不等式求最值时，若不能直接得到结论，应考虑与间接法的解题思路连用，如通过解不等式的途径。

一般说来，“见和想积, 拆低次, 凑积为定值, 则和有最小值；

见积想和, 拆高次, 凑和为定值, 则积有最大值。”

二、基本不等式求最值的应用

例1、已知a>1，0

解题思路分析：

由对数函数可知：

，log b a

的结

构特点联想到用基本不等式去缩小，但 条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。

∵ loga b

∴ -loga b>0

∴

∴ loga b+ ≥2 ≤-2 =2

即 loga b+logb a≤-2

当且仅当

ab=1。

例2、已知x ，y ，z 均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)≥2。 解题思路分析：

这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz 和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。

(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。

将y(x+y+z)，xz 分别看成是两个因式，得用二元基本不等式： y(x+y+z)+xz=2 ，log a 2b=1，log a b=-1时，等号成立，此时=2 =2

当且仅当

例3、（1）已知x>1，求3x+ 时等号成立 +1的最小值；

=1，求

的最大值；

的最值； （2）已知x ，y 为正实数，且

（3）已知x ，y 为正实数，3x+2y=10，求函数W

（4）已知x>0，求函数f(x)=4x+

（5）已知a>b>0，求函数y=a+ 的最小值； 的最小值；

14⎫⎛ （6）求函数y=x(10-x)(14-3x) 0

⎛π⎫ （7）求函数y=sin2θcos θ，θ∈ 0, ⎪的最值。 ⎝2⎭

解题思路分析：

这一组练习主要介绍在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正二定三等”的条件所涉及的一些变形技巧。

（1） 在分式的位置凑出分母x-1，在3x 后面施加互逆运算：±3 原式

=(3x-3)+3+

+4 +1=3(x-1)+

+4≥2 =4

（2）因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式

ab≤

应化简

中y 前面的系数为

2。同时还

下将x ，

分别看成两个因式

≤

∴

≤

≤ ，本题（3）若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，

很简单

≤

否则，这样思考：

条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。

W>0，W 2

=3x+2y+2

=10+(3x+2y)=20

∴ W≤ ≤

（4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x 的二次，为使积的结果在分式位置上出现x 2，应对4x 均匀裂项，裂成两项即可。

f(x)=2x+2x+ ≥

（5）本题思路同（1）：

y=(a-b)+b+ ≥

（6）配x 项前面系数为4，使得与后两项和式中的x 相消

y= (4x)(10-x)(14-3x)≤

=

=1为常数，（7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到

应对解析式平方。

y>0，y 2=

≤

y≤

例4、已知a ，b 为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=

解题思路分析： 的最小值。

这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、

法一：

，

由a>0得，0

令t=b=1，1

∵

≥ =8

∴ ab≤18

∴ y≥

当且仅当t=4，即b=3，a=6时，等号成立。

法二：由已知得：30-ab=a+2b

∵ a+2b≥

∴ 30-ab≥

令

则

∴

≤ ≤0，

≤u≤ ≤，ab≤18，y≥

经验：在法一，通过消元得到一个分式函数，在分子（或分母）中含有二次式。这种类型的函数一般都可转化为

型，从而用基本不等式求解。其处理方法，请同学们仔细体会。实际上，一般含二次式的分式函数

（a ，b ，c ，m ，n ，p 不全为零）均可用此方法求解。

三、基本不等式在求最值中的完善

1. 形如的最值, 要视具体情况而定。 如能满足利用基本不等式的三个条件，则利用基本不等式；不能满足，则利用函数的单调性来求。

例5、已知函数

（1） 当c≤1时，m=2； （c 为常数）最小值为m ，求证：

（2） 当c>1时，m=

解题思路分析：

。

分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。 令

，则t≥ ，

∵

≥2，当且仅当t=1时等号成立

≤1，t=1在函数定义域（

，+∞）内，y min =2 ∴ 当c≤1时，

当c>1时， >1，1 ,+∞)，等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。 易证函数

在[ ，∞）上递增

t= ，x=0时，y min =

结论：求函数

（a>0，b>0，x ∈[c，+∞），c>0）的最小值时，有下列结论

（1） 若c≤ ，当且仅当x= 时，

；

（2）若c> ，当且仅当x=c时，

。

2例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m 的三级污水处理池（平面图如图），

如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。

解题思路分析：

这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造

价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。

若设污水池长为x 米，则宽为

（米）

水池外圈周壁长：

（米）

中间隔墙长：

2（米） 池底面积：200（米）

目标函数：

≥

例7：求下列函数的最值

（1）, 求的最小值，若呢？

解：，，当且仅当即时, 。

若

，

，当且仅当即时, 。

（2）当，求的最小值。

分析：，

，

，

当

，则，等号取不到。∴使用基本不等式来求最值，是有条件的，回忆一下，基本不等式有哪些？须满足什么条件？

答：，，当且仅当时等号成立。

，，当且仅当时等号成立。 我们应用基本不等式求最值，通常用（）或它的变形，利用基本不等式求最值须满足三个条件：①非负数；②和（或积）为定值；③等号要成立。

例8. 形如的最值问题 分析：可令，则，。

可从图象上观察，我们来看它的大致图形：

渐近线为直线对和和轴，当时, 有最低点（2，4）。的单调性, 我们可加以证明。

解：设，则

∵，∴，∴，，∴

，∴，∴在（0，

2]上单调递减。∵（0，1]是（0，2] 的子区间，∴在（0，1]上单调递减。∴当，即，时，。

总结：当利用基本不等式求解困难时，可利用函数的单调性来求最值。

例9. 求： 解： 的最小值，，。

∴当时，在上单调递减，而当

时，在上单调递增。∴当时，，∴当时，。

例10. 求的最小值，，。 解：∵，∴分类讨论为

①当时，在上单调递减，∴

时，

；

②当时，利用基本不等式，∴

时，

；

③当时，在上单调递增，∴

时，

。

例11. 求的最小值，，。

解：，分类讨论为：

①当

时，

②当

即。 时，则时，，则当时， 例12. 求。

的最小值，，

，

∵，分类讨论为：

①时, 在单调递减，则当

即

；

②当时, 则当，即； ③，在单调递增。

总结：对具体情况而定。 的最值，的讨论，要视

如能满足利用基本不等式的三个条件(或通过变形创造条件) ，则利用基本不等式；不能满足，则可考虑利用函数的单调性来求。

2003.7.1