线面.面面平行和判定
线面、面面平行的判定与性质
一、知识要点
线线平行⇒线面平行
线面平行的判定定理:如果直线外一条直线平行于直线内一条直线,那么这条直线和平面平行。 注:当直线与平面平行时,这条直线平行于平面内的无数条直线,而不是所有的直线。 线面平行⇒线线平行
线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
面面平行的判定:如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行。 注:垂直于同一条直线的两个平面平行。
三个两两相交的平面,它们的三条交线交于一点或两两平行。
二、巩固练习
1. 已知l 是直线,α、β是两个不同平面,下列命题中的真命题是( )
A .若l ∥α,l ∥β,则α∥β B .若α⊥β,l ∥α,则l ⊥β
C .若l ⊥α,l ∥β,则α⊥β D .若l ∥α,α∥β,则l ∥β
2.(文) 已知m 、n 是两条直线,α、β是两个平面,给出下列命题:①若n ⊥α,n ⊥β,则α∥β;②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等,则α∥β;③若n 、m 为异面直线,n ⊂α,n ∥β,m ⊂β,m ∥α,则α∥β. 其中正确命题的个数是( )
A .3个 B .2个 C .1个 D .0个
3. 一个正方体纸盒展开后如图,在原正方体纸盒中有下列结论:①AB
⊥EF ②AB 与CM 成60°③EF 与MN 是异面直线④MN ∥CD 其中正确
的是( )
A .①② B .③④ C .②③ D .①③
4.(2011·北京海淀期中) 已知平面α∩β=l ,m 是α内不同于l 的直线,
那么下列命题中错误的是( ) ..
A .若m ∥β,则m ∥l B .若m ∥l ,则m ∥β
C .若m ⊥β,则m ⊥l D .若m ⊥l ,则m ⊥β
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5.(2011·安徽省合肥市高三教学质量检测) 设a 、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题错误的是( )
A .若a ⊥α,b ∥α,则a ⊥b B .若a ⊥α,b ∥a ,b ⊂β,则α⊥β
C .若a ⊥α,b ⊥β,α∥β,则a ∥b D .若a ∥α,a ∥β,则α∥β
6. 对于平面α和共面的直线m 、n ,下列命题是真命题的是( )
A .若m ,n 与α所成的角相等,则m ∥n B .若m ∥α,n ∥α,则m ∥n
C .若m ⊥α,m ⊥n ,则n ∥α D .若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n
7.(2011·河南省郑州市模拟) 设α、β是两个不同的平面,a 、b 是两条不同的直线,给出下列四个命题,其中真命题是( )
A .若a ∥α,b ∥α,则a ∥b B .若a ∥α,b ∥β,a ∥b ,则α∥β
C .若a ⊥α,b ⊥β,a ∥b ,则α∥β D .若a 、b 在平面α内的射影互相垂直,则a ⊥b
8.(2011·青岛模拟) 设两个平面α、β,直线l ,下列三个条件:①l ⊥α;②l ∥β;③α⊥β. 若以其中两个作为前提,另一个作为结论,则可构成三个命题,这三个命题中正确命题的个数为( )
A .3 B .2 C .1 D .0
9.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1cm ,过AC 作平行于对角线BD 1的截面,则截面面积为________.
8.(2012·北京东城区综合练习) 在空间中,有如下命题:
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线;
②若平面α∥平面β,则平面α内任意一条直线m ∥平面β;
③若平面α与平面β的交线为m ,平面α内的直线n ⊥直线m ,则直线n ⊥平面β;
④若平面α内的三点A 、B 、C 到平面β的距离相等,则α∥β.
其中正确命题的序号为________.
10.(2011·浙江五校联考) 已知m 、n 是两条不重合的直线,α、β、γ是三个两两不重合的平面,给出下列命题:
①若m ∥α,n ∥α,m ∥β,n ∥β,则α∥β;
②若α⊥γ,β⊥γ,α∩β=m ,n ⊂γ,则m ⊥n ;
③若m ⊥α,α⊥β,m ∥n ,则n ∥β;
④若n ∥α,n ∥β,α∩β=m ,那么m ∥n .
其中正确命题的序号是________.
11.(2012·四川文,6) 下列命题正确的是( )
A .若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行
B .若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行
C .若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行
D .若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行
12.(2012·东营市期末) 设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,给出下列四个命 2 / 6
题:
①若m ⊥n ,m ⊥α,n ⊄α,则n ∥α;
②若α⊥β,α∩β=m ,n ⊥m ,则n ⊥α或n ⊥β;
③若m ⊥β,α⊥β,则m ∥α;
④若m ⊥n ,m ⊥α,n ⊥β,则α⊥β.
其中真命题的序号是________
13.(2011·广东省广州市质检) 如图,正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别为棱AB 、CC 1的中点,在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )
A .不存在
C .有2条 B .有1条 D .有无数条
14.(文) 如图,若Ω是长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体
EFGHB 1C 1后得到的几何体,其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点,F 为线段BB 1
上异于B 1的点,且EH ∥A 1D 1,则下列结论中不正确的是( ) ...
A .EH ∥FG B .四边形EFGH 是矩形
C .Ω是棱柱 D .Ω是棱台
15.(2011·苏州模拟) 下列命题中,是假命题的是( )
A .三角形的两条边平行于一个平面,则第三边也平行于这个平面
B .平面α∥平面β,a ⊂α,过β内的一点B 有唯一的一条直线b ,使b ∥a
C .α∥β,γ∥δ,α、β与γ、δ的交线分别为a 、b 和c 、d ,则a ∥b ∥c ∥d
D .一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
16.(2012·南昌二模) 若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点,则下列命题中假命题的序号是________.
①过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行;②过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直;③过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交;④过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面.
17.下列四个正方体图形中,A 、B 为正方体的两个顶点,M 、N 、P 分别为其所在棱的中点,能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是______(写出所有符合要求的图形序号) .
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18. 与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A. 都平行 B. 相交 C. 在两个平面内 D. 至少和其中一个平行
19.(文)(2011·广东揭阳一模) 如图,已知平行四边形ABCD 中,BC =6,正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直,G 、H 分别是DF 、BE 的中点.
(1)求证:GH ∥平面CDE ;
(2)若CD =2,DB =2,求四棱锥F -ABCD 的体积.
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20. 如图,在四面体ABCD 中,平面EFGH 分别平行于棱CD 、AB ,E 、F 、G 、H 分别在BD 、BC 、AC 、AD 上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.
(1)求证:四边形EFGH 是矩形.
(2)点E 在什么位置时,四边形EFGH 的面积最大?
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21. 如图,两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ,M∈AC,N∈FB且AM=FN,求证:MN∥平面BCE .
22. 如图,设AB 、CD 分别是平面α两侧的异面直线AB//α,CD//α, 直线AC 、AD 、BC 、BD 分别交α于点E 、F 、H 、G ,求证:EG 与FH 互相平分
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A 1B 123.ABCD-A 1B 1C 1D 1是正方体,B 1E 1=D1F 1=4, 求BE 1与DF 1所成角的余弦值
24. 如图,
A 、B 、C 、D 是异面直线AB 、CD 上的点,线段AB=4,CD=4,M 为AC 的中点,N 为BD 的中点,MN=3,求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值.
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