纳米硅水泥土抗压强度的正交设计和数据分析

摘要

正交试验设计是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，运用这种方法可以达到减少试验次数，缩短试验周期，降低试验和生产成本，迅速找到优化方案，实现最大效益的目的。

本文采用正交设计的方法，运用SPSS和EXCEL通过方差分析和回归分析两种方法对纳米硅水泥土60d的抗压强度进行分析，选择水泥掺量、纳米硅掺量、围压、水灰比等4个因素，利用纳米硅水泥土 60d的抗压强度进行分析。 实验和分析结果表明，纳米硅粉可以显著提高水泥土的抗压强度；纳米硅水泥土抗压强度的主要影响因素有水泥掺量、纳米硅掺量、围压和水灰比等；各因素影响抗压强度的主次顺序为：水泥掺量→围压→纳米硅掺量→水灰比；水泥掺量对强度的影响特别显著，纳米硅掺量和围压有显著影响，而水灰比则有一定影响。针对不同条件下生产的纳米硅水泥土，应用多元线性回归理论可以建立与之相适应的回归方程，以预测水泥土的抗压强度。文中得到的结论为进一步研究纳米硅粉改善水泥土的工程特性、固化机理具重要意义。

关键词 正交设计 抗压强度 方差分析 回归分析

目录

一、 二、 三、

背景……………………………………………………..……………….…...1 问题提出.......................................................................................................... 2 正交试验设计原理分析.................................................................................. 3 1. 等水平正交表........................................................................................... 3 2. 选择正交表的基本原则........................................................................... 3 3. 极差分析................................................................................................... 4 4. 方差分析................................................................................................... 5 5. 回归分析................................................................................................... 5

四、 实验方法.......................................................................................................... 7 五、 结果分析........................................................................................................ 10

1. 极差分析................................................................................................. 10 2. 方差分析................................................................................................. 11 3. 回归分析................................................................................................. 13

六、 小结................................................................................................................ 15 参考文献...................................................................................................................... 15

一、 背景

水泥土在土木、水利、建筑、交通、海洋等领域的地基加固、基坑支护等工程上有广泛的应用。国内外的许多学者曾就水泥土的相关理论、试验和工程应 用等方面开展过很多研究工作，取得了长足的发展和进步。如对外加剂的研究表明，它在水泥土中的量虽不大，却能在水泥土增强、早强与抗渗等方面起到很大的作用，并陆续在三乙醇氨、石灰和石膏等外加剂改善水泥土性能的研究与应用方面取得进展。Gerald A Miller等收集了水泥生产中炉窑的飞灰（CKD）作为水泥土的外加剂，评价了该种外加剂对水泥土无侧限抗压强度（UCS）的影响，得出了UCS与黏土的塑性指数成反比的重要结论，并给出了CKD与水泥土PH值的关系，以便应用更简单的方法判断水泥土的性能，并直接为工程服务。Kiyonobu Kasama等做了一系列固结和三轴不排水压缩试验，在临界状态理论框架下，讨论了少掺量水泥土的应力–应变行为和强度特性，建立了少掺量水泥土的本构模型。

纳米材料的粒径介于10-9～10-7 m之间，为宏观领域和微观世界之间未被开垦的处女地。研究表明，处于纳米级的纳米材料在光、热、电、磁和力学等性 质上表现出与宏观材料完全不同的性质。本文拟应用正交试验定量地分析纳米硅水泥土抗压强度的影响因素及其大小，建立纳米硅水泥土抗压强度与各影响因素间的多元线性回归模型，据此来研究水泥土的性能与纳米硅粉间的关系，为探讨纳米硅粉改善水泥土的作用机理奠定基础。

二、 问题提出

试验采用425号普通硅酸盐水泥，淤泥质黏土取自杭州市某建筑工地 6m基坑深处，物理力学性质见表 1。纳米硅基氧化物 SiO2-x为舟山明日纳米材料有限公司生产（简称纳米硅）。对于纳米硅水泥土抗压强度，选择水泥掺量、纳米硅掺量、围压、水灰比等4个因素进行分析。由正交设计的思想，选正交表，因素水平表如表1 所列。根据正交表设计计算方案如表2。

表1 因素水平表

水平 1 2 3 4

水泥掺量/%

5 10 15 20

纳米硅掺量/%

2 4 6 8

围压/kPa

0 200 400 600

水灰比/% 45 50 55 60

注：1 本试验中的水泥掺量是指水泥质量与水泥土总质量比的百分数；

2 纳米硅掺量是指纳米硅质量与水泥质量比的百分数。

表2 正交设计计算方案及结果

配比号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ R

水泥掺量 纳米硅掺量 5 15 10 20 5 15 10 20 5 15 10 20 5 15 10 20 3444.8 4750 6139.4 9671.6 6226.8

4 8 8 4 6 2 2 6 2 6 6 2 8 4 4 8 4916.2 5149.6 6914.3 7025.7 2109.5

围压 400 0 400 0 0 400 0 400 600 200 600 200 200 600 200 600 4310.8 6146.4 6167.7 7380.9 3070.1

水灰比 50 50 55 55 60 60 45 45 55 55 50 50 45 45 60 60 6680.9 5584.6 5197.8 6542.5 1483.1

60d抗压强度 721.2 1230 1204 1560 721.8 1419 799 2823.5 699.8 1734 1635 1998.4 1302 1756.4 1112 3289.7

三、 正交设计原理分析

正交试验设计法（简称正交法）是统计数学的重要分支。它是以概率论数理统计、专业技术知识和实践经验为基础，充分利用标准化的正交表来安排试验方案，并对试验结果进行计算分析，最终达到减少试验次数，缩短试验周期，迅速找到优化方案的一种科学计算方法。它是产品设计过程和质量管理的重要工具和方法。

1. 等水平正交表

正交表是一整套规则的设计表格，是正交试验设计用来安排试验因素和水平数并分析试验结果的基本工具， 正交表的构造需要用到组合数学和概率学知识，而且如果我们在实际应用中正交表类型选择不当，则会造成很大一部分人力物力的浪费，甚至有些正交表其构造方法到目前还未解决。但目前广泛使用的正交表有以下几种：

2水平正交表：3水平正交表：4水平正交表：5水平正交表：

2. 选择正交表的基本原则

一般都是先确定试验的因素、水平和交互作用，后选择适用的L表。在确定因素的水平数时，主要因素宜多安排几个水平，次要因素可少安排几个水平。

（1）先看水平数。若各因素全是2水平，就选用L(2＊)表；若各因素全是3水平，就选L(3＊)表。若各因素的水平数不相同，就选择适用的混合水平表(此处不深究)。注意表中任一列，不同数字出现的次数相同；任两列，同一行两个

数字组成的有序数字对出现次数也应相同。

（2）每一个交互作用在正交表中应占一列或二列。要看所选的正交表是否足够大，能否容纳得下所考虑的因素和交互作用。为了对试验结果进行方差分析或回归分析，还必须至少留一个空白列，作为“误差”列，在极差分析中要作为“其他因素”列处理。

（3）要看试验精度的要求。若要求高，则宜取实验次数多的L表。 （4）若试验费用很昂贵，或试验的经费很有限，或人力和时间都比较紧张，则不宜选实验次数太多的L表。

（5）按原来考虑的因素、水平和交互作用去选择正交表，若无正好适用的正交表可选，简便且可行的办法是适当修改原定的水平数。

（6）对某因素或某交互作用的影响是否确实存在没有把握的情况下，选择L表时常为该选大表还是选小表而犹豫。若条件许可，应尽量选用大表，让影响存在的可能性较大的因素和交互作用各占适当的列。某因素或某交互作用的影响是否真的存在，留到方差分析进行显著性检验时再做结论。这样既可以减少试验的工作量，又不至于漏掉重要的信息。

3. 极差分析

极差指的是任一列上水平号为r对应的试验结果（平均值）的最大值与最小值之差，用极差法分析正交试验结果可引出以下几个结论：

（1）在试验范围内，各列对试验指标的影响从大到小分别排队。某列的极差最大，表示该列的数值在试验范围内变化时，对试验指标数值的影响最大。所以各列对试验指标的影响从大到小的排列，就是各列极差R的数值从大到小的排列。

（2）试验指标随各因素的变化趋势。为了能更直观地看到变化趋势，常将计算结果绘制成趋势图。

（3）使试验指标最好的因素水平搭配，即试验方案（是否为最优方案还得深化研究）。

（4）可对所得结论和进一步的研究方向进行讨论，最优化。

4. 方差分析

在《正交试验设计简介》正交试验数据进行分析，用的是极差法。极差法简单易懂，计算量小，而且可以直观地描述，但是极法没有把试验过程中试验条件改变所引起的据波动，与由试验误差引起的数据波动区分来;也没有提供一个标准，用来判断考察的因的作用是否显著。为了弥补极差法的这个缺点，可采用方差分析的方法，方差分析法正是将因素水平(或交互作用)的变化所引起的试验结果间差异与误差的波动所引起的试验结果间的差区分开来的一种数学方法。 正交表方差分析需用的计算公式: 各列偏差平方和Sj的计算

222

ⅠT2j+Ⅱj+Ⅲj+ （1） Sj=-水平重复数数据总个数

对于二水平正交表，公式（1）稍加推导，便可简化为更加简便的形式。

Sj=

2

（Ⅰj-Ⅱj）

数据总个数

（2）

F比比的计算公式

F比=

SA/fA

（3）

S误/f误

其中，用Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ„„表示同水平数据，T表示数据总和，f表示自由度。

5. 回归分析

多元线性回归的基本原理和基本计算过程与一元线性回归相同，但由于自变量个数多，计算相当麻烦，一般在实际中应用时都要借助统计软件。

由于各个自变量的单位可能不一样，比如说一个消费水平的关系式中，工资水平、受教育程度、职业、地区、家庭负担等等因素都会影响到消费水平，而这些影响因素(自变量)的单位显然是不同的，因此自变量前系数的大小并不能说明该因素的重要程度，更简单地来说，同样工资收入，如果用元为单位就比用百元

为单位所得的回归系数要小，但是工资水平对消费的影响程度并没有变，所以得想办法将各个自变量化到统一的单位上来。前面学到的标准分就有这个功能，具体到这里来说，就是将所有变量包括因变量都先转化为标准分，再进行线性回归，此时得到的回归系数就能反映对应自变量的重要程度。这时的回归方程称为标准回归方程，回归系数称为标准回归系数，表示如下:

y= β1Z*1 + β2Z*2 + „ + βkZ*k （4） 回归方程的显著性检验，即检验整个回归方程的显著性，或者说评价所有自变量与因变量的线性关系是否密切。能常采用F检验，F统计量的计算公式为：

（5）

根据给定的显著水平a,自由度(k,n-k-1)查F分布表，得到相应的临界值Fa，

若F>Fa，则回归方程具有显著意义，回归效果显著；F

四、 分析方法

（1） 打开数据，单击“分析”选择“一般线性模型”再选择“单变量” （2） 将水泥掺量、纳米硅掺量、围压和水灰比选入固定因子，将抗压强度选入因变量，如图1

图1

（3） 选择“模型”，选择“定制”将左侧数据移至右侧模型，如图2

图

2

单击继续，确定，结果如表3

比较sig值大小，0.155最大，则将水灰比剔除，重复步骤（1）（2）（3），得到结果表4。

（4） 接下来选水平，单击“分析”，选择“一般线性模型”中的“单变量”，点击“选项”，将水泥掺量、纳米硅掺量、围压和水灰比移入“显示均值”中，点击继续，确定，见图3。得到表5表6表7表8.

图3

（5）点击分析——回归——线性，同时将抗压强度放入因变量，将水泥掺量、纳米硅掺量、围压、水灰比放入自变量。如图4

图4

（6） 同时点击统计量，选择估计和模型拟合度，点击继续。如图所示，再点击确定，获得结果表9表10，进行分析。如图5

图5

五、 结果分析

1. 极差分析

如表2所示为利用EXCEL计算出的各因素的极差R，利用公式“=SUM(B2，B6，B10，B14)/4”得到水泥掺量水平1下实验指标，利用公式“=SUM(B3，B7，B11，B15)/4”得到水泥掺量水平2下实验指标，同理利用公式“=SUM(A:A)/4”可得到各对应水平下实验指标。利用公式“=MAX(A:A)-MIN(A:A)”即可得到数据极差。从表2中我们可以看出这4个因素影响抗压强度的主次排序如下：水泥掺量→围压→纳米硅掺量→水灰比。

图6

图6为各个因素下的各水平的抗压强度,从表中我们可以看出各个因素下的各水平的变动趋势,我们可以看出水泥掺量20％、纳米硅掺量8%、围压600 k Pa 和水灰比0.45时抗压强度最大。

2. 方差分析

根据上表方差分析可以得出结论：水泥掺量对强度的影响特别显著，纳米硅掺量和围压有显著影响，而水灰比则有一定影响。各因素影响抗压强度的主次顺序为：水泥掺量→围压→纳米硅掺量→水灰比。这与表2中极差分析的结果一致。

取水泥掺量中各水平中均值最大的为20％.

取纳米硅掺量各水平中均值最大为8％。

表7 围压

因變數: 抗压强度

95% 信賴區間

围压 0 200 400 600

平均數 標準錯誤 下限 上限 取围压各水平中均值最大为600 k Pa。

取水灰比各水平中均值最大为0.45.

方差理论认为：在选择最优生产条件时，只需对显著的因素选择就行了，对于不显著的因素，原则上可选在试验范围内的任意的一个水平，因此以抗压强度的大小作为标准，纳米硅水泥土最优的配比是：水泥掺量20％、纳米硅掺量 8%、围压 600 k Pa 和水灰比 0.45。

3. 回归分析

由表10知，F值为24.555，残差平方和Q=1127081.517，回归平方和U=6918989.961，显著性检验p值为0.000，小于0.05显著性水平，表示回归模型整体解释达到显著水平。

设水泥土强度与水泥掺量、纳米硅掺量和围压的回归模型为 Y=a+ β1x1 +

β2x2 + β3x3；Y 为纳米硅水泥土的强度值（k Pa）；x1为水泥掺量（%）；x2

为纳米硅掺量（%）；x3为围压（k Pa）。

a，β1，β2，β3为回归参数，反映了各因素对强度Y 的敏感程度。分析表明，表2中的60d龄期纳米硅水泥土抗压强度的回归方程为Y=-836.8+501.745x1

+202.33x2+230.79x3。

β1的估计表明x2，x3不变的条件下，x1这个因素每增加一个单位，因变量增加β1个单位。即纳米硅掺量每增加一个百分比，水泥土强度增加202.33kPa，而纳米硅粉则为230.79kPa，这说明纳米硅粉对水泥土强度的贡献与围压大致相当。

根据回归方程和水泥土最优配比，可以预测Y值，当x1=20、x2=8、x3=600时，Y=149290.74。

六、 小结

通过本次课程设计，我学到了好多知识，特别是如何用正交法选择最优设计方案，这不仅是一个设计分析过程，更是一个学习提高的过程。在设计分析中，我发现还有好多知识还没学好，整个过程对我的计算机操作能力也有很大的提高。 在这次课程设计中，通过分析设计结果，我对设计优选法有了更深的了解。这对以后的工作中可能用到设计方法解决问题会有很大的帮助。

参考文献

[1]徐向宏.何明珠.实验设计与Design-Expert、SPSS应用.北京:科技出版社.2010.7 [2]王文军.朱向荣.纳米硅粉水泥土的强度特性及固化机理研究.[J].岩土力学.2004 [3] 赵选民.试验设计方法.北京:科学出版社.2006