基于极坐标测量的圆度误差评定算法

2010年 工 程 图 学 学 报 2010第2期 JOURNAL OF ENGINEERING GRAPHICS No.2

基于极坐标测量的圆度误差评定算法

雷贤卿， 李济顺， 薛玉君， 畅为航

（河南科技大学，河南 洛阳 471003）

摘 要：提出一种利用极坐标测量数据求解圆度误差的网格搜索算法，其原理是在最小二乘圆心周围按一定规则布置一系列的极坐标网格点，依次以各网格点为理想圆心计算所有测点的半径值，通过比较这些半径值，实现最小区域法、最小外接圆法和最大内接圆法的圆度误差精确评定。详细叙述了算法求解圆度误差的过程和步骤，给出了数学计算公式及程序流程图。试验结果表明，该算法可有效、正确地评定圆度误差。

关 键 词：计算机应用；误差评定；圆度误差；网格搜索算法 中图分类号：TH 124

文献标识码：A 文 章 编 号：1003-0158(2010)02-0188-04

Evaluating Algorithm of Roundness Error Based on

Polar-Coordinate Measuring

LEI Xian-qing, LI Ji-shun, XUE Yu-jun, CHANG Wei-hang

( Henan University of Science and Technology, Luoyang Henan 471003, China )

Abstract: A new kind of method of evaluating roundness error using polar measurement

data, which named as mesh searching algorithm, is presented. The principle of the algorithm is that series of polar-coordinate mesh points are collocated around the periphery of the least square circle according to certain rule, the radius value of all the measured points are calculated by regarding each mesh point as the ideal center, the roundness error value of minimum circumscribed method, maximum inscribed method and minimum zone method are achieved accurately through comparing these radius value. The process and step of using the algorithm are described in detail and the mathematical formula and program flowchart are given. The results of the experiment show that the roundness error can be evaluated effectually and accurately.

Key words: computer application; error evaluation; roundness error; mesh searching algorithm

随着计算机技术、自动控制技术、传感器技术、激光技术等在精密加工领域中广泛应用，精

收稿日期：2008-10-10

基金项目：国家自然科学基金资助项目（50875076）；河南省教育厅自然科学研究计划资助项目（2008A460007）；河南科技大学博士科 研启动基金

作者简介：雷贤卿（1963-），男，河南洛阳人，教授，博士，主要研究方向为先进制造技术、机械制造过程中的精密测量技术。

密和超精密加工技术得到了极大的发展，与之相

适应的精密测量技术已成为保证产品质量的关

第2期 雷贤卿等：基于极坐标测量的圆度误差评定算法 ·189·

键技术之一，致使寻求和设计新的几何量测量方法及形状误差评定算法成为精密测量技术的研究热点。

圆度误差是指在垂直于被测圆柱体轴线截面上的圆轮廓对其理想圆的变动量，是机械零件精度及装配质量的重要指标，在评定机械零件产品质量中有着重要的作用。圆度误差评定算法一直是国内学者的研究焦点，常采用迭代法、单纯形法、遗传算法等优化算法评定圆度误差[1-10]，这些优化算法在对圆心和步长的确定时存在一定难度，而且算法较复杂。本文根据圆度误差的定义，提出一种基于极坐标测量数据的圆度误差网格搜索算法，该算法可得到最大内切圆法、最小外接圆法和最小区域法的圆度误差值。

图1 极坐标网格搜索原理

1 算法原理

以测量点Pk(ρk,θk)(k=1,2,",N)为基础，用最小二乘法计算出最小二乘圆度误差f及最小二乘圆心坐标O1(ε,α)，然后以最小二乘圆心O1(ε,α)为圆心、以一定量值（如截面的最小二乘圆度误差f）为半径构造圆，将构造的圆的半径m等分、圆周n等分并画出等分线，得到m×n个网格点（等分线交叉点）及其坐标（见 图1）。分别以各网格点为圆心，计算所有测点的半径值并找出每一个网格点为圆心时的最大半径、最小半径以及半径的极差值，按照最小区域法、最小外接圆法和最大内接圆法圆度误差的定义，确定对应评定方法的圆心坐标及对应评定方法的圆度误差值。

⎧⎪sij⎪

⎪⎪γ=α−arcsin[ifsin(α−j2π （1） ⎨ij

msijn⎪

⎪i=0,1,2,",m−1⎪⎪⎩j=0,1,2,",n−1

（3） 以网格点Oij(sij,γij)为圆心，按式（2）

计算所有测点Pk(ρk

,θk)的半径值Rijk并找出此时的最大半径Rijmax、最小半径Rijmin及半径极差

∆Rij。有m×n个网格点就可得到m×n个最大

半径、最小半径和半径的极差值。

Rijk= （2）

（4） 比较m×n个最大半径值，其最小者为最小外接圆的半径，用符号Rout表示；此对应网格点即为最小外接圆圆心，用Ow(sw,γw)表示；与此圆圆心相对应的最小半径用符号rout表示。则最小外接圆法圆度误差值fout为

2 算法步骤

（1） 用最小二乘法计算出被测圆轮廓的最 小二乘圆心极坐标O1(ε,α)及最小二乘圆度误差f（圆度误差的最小二乘法，在许多文献里已 有详细介绍，限于篇幅，本文省略）。

（2） 构造网格点。如图1所示，以点O1(ε,α)为圆心、以f为半径构造一圆形区域，将此圆的半径m等分并画出一系列同心圆，将圆周n等分，等分点与O1(ε,α)的连线与一系列同心圆的m×n个交点即为构造的网格点。网格点Oij(sij,γij)在极坐标系的坐标为

fout=Rout−rout （3）

（5） 比较m×n个最小半径值，其最大者为最大内接圆的半径，用符号rin表示，此对应的网格点即为最大内接圆圆心，用Oc(sc,γc)表示；与此圆圆心相对应的最大半径，用符号Rin表示。则最大内接圆法圆度误差值fin为

fin=Rin−rin （4）

（6） 比较m×n个半径极差值，其最小者

为包容被测点的两同心圆的最小区域，与此半径对应的网格点即为最小区域圆圆心，用

Oz(sz,γz)表示。则最小区域法圆度误差值为fz

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fz=min(∆Rij) （5）

从以上搜索过程可以看出：该算法求出的圆度误差与理想值之间的接近程度与等分数m、n有关，等分数越大，计算结果接近理想值的程度越高。

为提高评定精度，可在步骤（2）增加等分点数或者以第一次的计算结果fz为半径，以

3 实验验证

（1） 三坐标圆度测量

在三坐标测量机（Brown Sharpe, Global Status574，数据采集与处理系统：pc-DMIS）上，测量基本尺寸为Φ80×35的轴承套圈的圆度误差。从pc-DMIS系统中提取测样点的极坐标如表1所示，数据处理结果如表2所示，依据测量点的坐标表1及表2中四种评定方法的圆心坐标，计算出的圆度误差值如表3所示。

表1 测样点的坐标

序号

1 2 3 4

39.951 39.961 39.94330.245 53.817 67.369

Oz(sz,γz)为参考点，布置间隔更小的网格，重

复步骤（2）~步骤（6）；当半径极差的最小值（记为Rmin）与半径极差的次最小值（记为

CRmin）非常接近（如小于最小二乘圆度误差的

1%）时，可以认为此时的最小区域法圆度误差值已十分接近符合最小条件圆度误差的真值，此时的最小半径差就是最小区域法圆度误差。

该算法的程序流程图如图2所示。

图2 极坐标网格搜索流程图

极径（mm）39.961极角（度）16.525序号

5 6 7 8

39.954 39.955 39.954101.14 124.89 129.71

极径（mm）39.948极角（度）82.046序号

9 10 11 12

39.949 39.936 39.934167.37 195.27 230.66

极径（mm）39.932极角（度）156.63序号

13 14 15 16

39.914 39.935 39.939288.64 318.42 338.57

极径（mm）39.909极角（度）261.24

表2 数据处理结果

圆心坐标

极径(mm)

极角（度）

评定方法 最小二乘法 最小区域法 最小外接圆法 最大内接圆法

0.0175 76.759 0.0168 72.646 0.0187 74.473 0.0171 83.290

表3 计算出的圆度误差值(mm)

评定方法 最小二乘法 最小区域法 最小外接圆法最大内接圆法

圆度误差 0.0265 0.0255 0.0266 0.0277

（2） 圆度误差的网格搜索评定

第2期 雷贤卿等：基于极坐标测量的圆度误差评定算法 ·191·

用本文提出的极坐标网格搜索算法，以表2中最小二乘圆心坐标为参考，以表3中最小二乘法圆度误差0.0265mm为半径设置圆形区域，对表1的测量数据进行处理，得到三种评定方法的圆心坐标及圆度误差值如表4所示。

表4 计算出的圆心坐标及圆度误差(mm)

圆度误差

极径(mm) 极角(度) (mm) 0.0172 68.0345 0.02600.0159 69.3081 0.02680.0174 85.4739 0.02840.0172 70.9969 0.02520.0180 71.3285 0.02590.0173 82.5549 0.0277圆心坐标

网格点 评定方法 最小区域法 最小外接圆法 最大内接圆法 最小区域法 最小外接圆法 最大内接圆法

m=10 n=90 n=15 m=180

小误差和小偏差假设。只需重复调用点与点之间

的距离公式即可实现圆度误差的精确评定，其评定精度与网格点数的多少有关，划分的点数越多，精度越高。

（3） 该算法具有通用性和较好的实用性，便于计算机编程，可在实际工程中应用其它形位误差的评定。

参 考 文 献

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（3） 实验结果分析

三坐标测量机（Brown Sharpe, Global Status574，数据采集与处理系统：pc-DMIS）是公认的高精密测量设备，其数据处理系统中的圆度误差评定结果具有权威性。

对比表4与表3的圆度误差数值可以看出，同一种评定方法中，采用极坐标网格搜索算法得到的圆度误差值与三坐标测量机上得到的数值是一致的；比较表4和表2中的圆心坐标可以看出，同一种评定方法中，采用网格搜索算法得到的圆心坐标与三坐标测量机上的数值也是一致的。说明网格搜索算法是可以实现形状误差的精确评定的。

4 结 论

（1） 本文提出的极坐标网格搜索算法，只需计算一次即可得到最大内切圆法、最小外接圆法和最小区域法的圆度误差，可实现圆度误差极坐标测量数据的精确处理。

（2） 使用本算法进行圆度误差评定时，采样点分布是否均匀不受限制，也无需满足所谓的