小学奥数平面几何五种面积模型
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
A B
①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； S S 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
C D
如右图S 1:S 2=a :b
1
2
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S △ACD =S △BCD ； 反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中，D , E 分别是AB , AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上) ，
则S △ABC :S △ADE =(AB ⨯AC ) :(AD ⨯AE )
A
A
D
E
E
D
C
A S 1
图⑴ 图⑵ S 4
S 2
三、蝶形定理
S 3
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”) ：
B
①S 1:S 2=S 4:S 3或者S 1⨯S 3=S 2⨯S 4②AO :OC =(S 1+S 2):(S 4+S 3)
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造
B
C
B
C
a 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边A D S 1
形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积S 2S 4
对应的对角线的比例关系．
S 3梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”) ：
①S 1:S 3=a 2:b 2 B
b
22
②S 1:S 3:S 2:S 4=a :b :ab :ab ； ③S 的对应份数为(a +b )2．
四、相似模型
(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型
C
A
E
F D
D B
AB
AC
F G
BC
AG
E C
B G C
①AD =AE =DE =AF ；
②S △ADE ：S △ABC =AF 2:AG 2．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么A S ∆ABO :S ∆ACO =BD :DC ．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因E
F
为∆ABO 和∆ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称
为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，
C D 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为B
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题
【例 1】 如图，正方形
ABCD 的边长为6，AE =1. 5，CF =2．长方形EFGH 的面
积为 ．
_A _E
_G
_A
_E
_G
_B
_F
_C
_B
_F
_C
【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S △DEF =6⨯6-1.5⨯6÷2-2⨯6÷2-4.5⨯4÷2=16.5, 所以长方形EFGH
面积为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘
米，那么长方形的宽为几厘米？
__ F
_ D
_ G
_ C _ B
_ F
_ D
_ C
__ B
_ G
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一
起) ．
∵在正方形ABCD 中，S △AB G =⨯AB ⨯AB 边上的高，
∴S △ABG =S ABCD (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半)
1
S =S EFGB ． 同理，△ABG
2
=8⨯8
12
12
∴正方形A B C D 与长方形÷10=(6厘米. ) ．
E F G B 面积相等． 长方形的宽
【例 2】 长方形ABCD 的面积为
36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任
意一点，问阴影部分面积是多少？
E
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
E
可得：S ∆EHB =S ∆AHB 、S ∆FHB =S ∆CHB 、S ∆DHG =S ∆DHC ，而
S ABCD =S ∆AHB +S ∆CHB +S ∆CHD =36
1
2
12
12
即S ∆EHB +S ∆BHF +S ∆DHG =(S ∆AHB +S ∆CHB +S ∆CHD ) =⨯36=18； 而
S ∆EHB +S ∆BHF +S ∆DHG =S 阴影+S ∆EBF
1212
，
11111
S ∆EBF =⨯BE ⨯BF =⨯(⨯AB ) ⨯(⨯BC ) =⨯36=4.5．
22228
所以阴影部分的面积是：S 阴影=18-S ∆EBF =18-4.5=13.5
解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图：
(H )
E G
这样阴影部分的面积就是∆DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111
S 阴影=S ABCD -S ∆AED -S ∆BEF -S ∆CFD =36-⨯⨯36-⨯⨯⨯36-⨯⨯36=13.5．
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边
二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接, 求阴影部分面积．
【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，
假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴
影三角形的面积分别占正方形面积的1和1，所以阴影部分的面积为
4
6
11
62⨯(+) =15平方厘米．
46
（法2）连接PA 、PC ．
由于∆PAD 与∆PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1，同理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1，所以阴
6
影部分的面积为62⨯(1+1) =15平方厘米．
4
6
【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为
AD =15，四边形EFGO 的面积为．
70，AB =8，
B
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE
、DOG 和四边形EFGO 的
面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
由于长方形ABCD 的面积为15⨯8=120，所以三角形BOC 的面积为
4
11⎫
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为120⨯⎛ -⎪=30，所以⎝24⎭1
120⨯=30，所以三角形AOE
4
和DOG 的面积之和为120⨯3-70=20；
四边形EFGO 的面积为30-20=10．
另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
分的面积，即120-70=50，所以四边形的面积为60-50=10．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，AE =2ED ，则
阴影部分的面积为 ．
B
【解析】 如图，连接OE ．
B
根据蝶形定理，ON :ND =S ∆COE :S ∆CDE =S ∆CAE :S ∆CDE =1:1，所以
S ∆O
1
=E N S ∆
2
12
；O E
D
11
OM :MA =S ∆BOE :S ∆BAE =S ∆BDE :S ∆BAE =1:4，所以S ∆OEM =S ∆OEA ．
52
11
又S ∆OED =⨯S 矩形ABCD =3，S ∆OEA =2S ∆OED =6，所以阴影部分面积为：
34
11
3⨯+6⨯=2.7． 25
【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为
400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC
)
B
【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的
中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有S ∆ABC -S 丙=S ∆ABN +S ∆AMC -S AMHN ，
即400-S 丙= 200+200-S AMHN ，所以S 丙=S AMHN ． 又S 阴影+S ∆ADF =S 甲+S 乙+S AMHN ，所以
1
S 阴影=S 甲+S 乙+S 丙-S ∆ADF =143-⨯400=43．
4
【例 5】 如图，已知CD =5，DE =7，EF =15，FG =6，线段AB 将图形分成两部
分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．
A
C D
E G
C G
【解析】 连接AF ，BD ．
根据题意可知，CF =5+7+15=27；DG =7+15+6=28；
15
S ∆CBF ，S ∆BE C =12S ∆CBF ，S ∆AEG =21S ∆ADG ，S ∆AED =7S ∆ADG ， 27282728
7122115
S +S ∆CBF =38； S +S =65于是：；∆ADG ∆ADG ∆CBF
28272827
可得S ∆ADG =40．故三角形ADG 的面积是40．
所以，S ∆BE F =
AE :AC =4:7，D , E 分别是AB , AC 上的点，【例 6】 如图在△ABC 中，且AD :AB =2:5，
S △ADE =16平方厘米，求△ABC 的面积．
A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯4) :(5⨯4) ，
S △ABE :S △ABC =AE :AC =4:7=(4⨯5) :(7⨯5)
=C (2⨯4) :⨯(7，设，所以S △A D E :S △A B
S △ADE =8份，则S △ABC =35份，S △ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC 的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角
形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
C
C
B
【解析】 连接BE ．
B
∵EC =3AE
∴S ABC =3S ABE 又∵AB =5AD
∴S ADE =S ABE ÷5=S ABC ÷15，∴S ABC =15S ADE =15．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分) 、乙两部分，BD =DC =4，
BE =3，AE =6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
E B
甲
D
E
乙
C
【解析】 连接AD ．
B
甲
D
乙
C
∵BE =3，AE =6
∴AB =3BE ，S ABD =3S BDE 又∵BD =DC =4，
∴S ABC =2S ABD ，∴S ABC =6S BDE ，S 乙=5S 甲．
【例 7】 如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC
上，且AB :AD =5:2，
AE :EC =3:2，S △ADE =12平方厘米，求△ABC 的面积．
D
A
A
E
B
C
E
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯3) :(5⨯3)
S △ABE :S △ABC =AE :AC =3:(3+2) =(3⨯5) :[(3+2) ⨯5]，
S △A D E =6份，则S △ABC =25份，5(3+]2) =6:，设25所以S △A D E :S △A B C =(3⨯2) [:⨯
△ABC 25份就是50平方厘米，S △ADE =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，
的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比
B C
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE =AB ，CF =2CB ，GD =3DC ，HA =4AD ，平
行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
H
A
G
D F
B E
A
G
D F
B E
【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在△ABC 和△BFE 中，∠ABC 与∠FBE 互补，
∴S △ABC =AB ⋅BC =1⨯1=1．
S △FBE
BE ⋅BF
1⨯3
3
又S △ABC =1，所以S △FBE =3．
同理可得S △GCF =8，S △DHG =15，S △AEH =8．
所以S EFGH =S △AEH +S △CFG +S △DHG +S △BEF +S ABCD =8+8+15+3+2=36． 所以S ABCD
S EFGH
=
21
=． 3618
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
13
12
13
D
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置. 这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12⨯12=144.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，∆ABC 中，∠ABC =90︒，AB =3，BC =5，以AC 为一边向∆ABC
外作正方形ACDE ，中心为O ，求∆OBC 的面积．
12
B
【解析】 如图，将∆OAB 沿着O 点顺时针旋转90︒，到达∆OCF 的位置．
由于∠ABC =90︒，∠AOC =90︒，所以∠OAB +∠OCB =180︒．而∠OCF =∠OAB ， 所以∠OCF +∠OCB =180︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．
由于OB =OF ，∠BOF =∠AOC =90︒，所以∆BOF 是等腰直角三角形，且斜边
1
BF 为5+3=8，所以它的面积为82⨯=16．
4
根据面积比例模型，∆OBC 的面积为16⨯5=10．
8
【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，
、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求
三角形OBE 的面积．
∠AEB =90︒，AC
F
【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将∆ADE 顺时针旋转90︒到∆ABF 的位置．
那么∠EAF =∠EAB +∠BAF =∠EAB +∠DAE =90︒，而∠AEB 也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且AF =AE =3， 所以梯形AFBE 的面积为：
1
(3+5)⨯3⨯=12(cm 2) ．
2
又因为∆ABE 是直角三角形，根据勾股定理，AB 2=AE 2+BE 2=32+52=34，
2
所以S ∆ABD =AB =17(cm 2) ．
12
那么S ∆BDE =S ∆ABD -(S ∆ABE +S ∆ADE )=S ∆ABD -S AFBE =17-12=5(cm 2) ， 所以S ∆OBE =S ∆BDE =2.5(cm 2) ．
12
【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB =ED ，AF =CD ，BC =EF ，且有AB 平行
BC 平行于EF ，于ED ，AF 平行于CD ，对角线FD 垂直于BD ，已知FD =24
厘米，BD =18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？
B
A
C
G
A
B
C
F
E
D
F
E
D
【解析】 如图，我们将∆BCD 平移使得CD 与AF 重合，将∆DEF 平移使得ED 与AB 重
合，这样EF 、BC 都重合到图中的AG 了．这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为24⨯18=432平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为432平方厘米．
【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且
BD :DC =1:2，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于
A
A 33C D
E
B
D
A
E
B
D
C
C
B
S △ABF AE S △ABF BD 1
==1, ==【解析】 方法一：连接CF ，根据燕尾定理，，S
EC S △ACF DC 2△CBF
设S △BDF =1份，则S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，
如图所标
所以S DCEF =
55S △ABC = 1212
方法二：连接DE ，由题目条件可得到S △ABD =S △ABC =，
BF S △ABD 11121
==， S △ADE =S △ADC =⨯S △ABC =，所以
FE S △ADE 12233
1
313
1111111
S △DEF =⨯S △DEB =⨯⨯S △BEC =⨯⨯⨯S △ABC =，
22323212
211S =⨯⨯S =而△CDE ．所以则四边形DFEC 的面积等于5． △ABC
32312
EC =2DE ，【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，阴F 是DG 的中点．
影部分的面积是多少平方厘米
?
A
B
D E C
B B A D
D E
y E
G
C
【解析】 设S △DEF
=1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S 阴影=
55
S △BCD =1212
平方厘米.
【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC
与BD 交于点O (如图所示) ．如果三角形ABD
的面积等于三角形BCD 的面积的1，且AO =2，DO =3，那么CO 的长度
3
是DO 的长度的_________倍．
A
B
C
B
D
A D 【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无
外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件S ABD :S BCD =1:3，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH 垂直BD 于H ，CG 垂直BD 于G ，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．
36=，C O D :3=6:12:=解法一：∵AO :OC =S ∆ABD :S ∆BDC =1:3，∴OC =2⨯∴O ．
解法二：作AH ⊥BD 于H ，CG ⊥BD 于G ．
∵S ∆ABD
111S =S ∆DOC ， =S ∆BCD ，∴AH =CG ，∴∆AOD
333
3
C
∴AO =1CO ，∴OC =2⨯3=6，∴OC :OD =6:3=2:1．
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知， 求：⑴三角形BGC 的面积；⑵AG :GC =？
B
【解析】 ⑴根据蝶形定理，S BGC
⨯1=2⨯3，那么S BGC =6；
⑵根据蝶形定理，AG :GC =(1+2):(3+6)=1:3．
【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，△CEF 、△OEF
、△ODF 、
△BOE 的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求△OCF 的面积；⑵求△GCE 的面积．
A
B
E
C
D
F
【解析】 ⑴根据题意可知，△BCD 的面积为2+4+4+6=16，那么△BCO 和∆CDO 的
面积都是16÷2=8，所以△OCF 的面积为8-4=4；
⑵由于△BCO 的面积为8，△BOE 的面积为6，所以△OCE 的面积为
8-6=2，
根据蝶形定理，EG :FG =S ∆COE :S ∆COF =2:4=1:2，所以
S ∆G C :∆E S =G C E :F G =F 1 G ，
那么S ∆GCE =
【例 16】 如图，长方形ABCD 中，BE :EC =2:3，DF :FC =1:2，三角形DFG 的面积
112
S ∆CEF =⨯2=． 1+233
为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．
A
D F C
A
D F C
B
E
B
B :
E =
2E
E
DF :FC =1:2
，
所
以
【解析】 连接AE ，FE ．
因为，C
3111
S DEF =(⨯⨯) S 长方形ABCD =S 长方形ABCD ．
53210
1
S =S 长方形ABCD ，AG :GF =1:1=5:1，所以S AGD =5S GDF =10平方因为 AED
2210
1
S =12S =S 长方形ABCD ，所以长方形厘米，所以 AFD 平方厘米．因为 AFD
6
ABCD 的面积是72平方厘米．
【例 17】 如图，正方形ABCD
面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中
阴影部分的面积．
B
C
A
【解析】 因为M 是AD 边上的中点，所以AM :BC =1:2，根据梯形蝶形定理可以知
道
S △AMG :S △ABG :S △MCG :S △BCG =12（:1⨯2）（:1⨯2）:22=1:2:2:4，设S △A G M =1份，则S △M C D =1+2=3 份，所以正方形的面积为1+2+2+4+3=12份，
S 阴影:S 正方形=1:3，所以S 阴影=1平方厘米． S 阴影=2+2=份，所以4
【巩固】在下图的正方形ABCD 中，E 是BC 边的中点，AE 与BD 相交于F 点，
三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD 面积是 平方厘米．
A D
B
【解析】 连
E
C
接DE ，根据题意可知BE :AD =1:2，根据蝶形定理得
2
S 梯形=（1+2）=9(平方厘米) ，S △ECD =3(平方厘米) ，那么
S ABCD =12(平方厘米) ．
【例 18】 已知ABCD 是平行四边形，BC :CE =3:2，三角形ODE
的面积为6平方厘
米．则阴影部分的面积是 平方厘米．
B
【解析】 连接AC
B
．
由于ABCD 是平行四边形，BC :CE =3:2，所以CE :AD =2:3，
根据梯形蝶形定理，S COE :S AOC :S DOE :S AOD =22:2⨯3:2⨯3:32=4:6:6:9，所以S AOC =6(平方厘米) ，S AOD =9(平方厘米) ，又S A B =C S =A 6C +D 9=(1平方厘米) ，阴影部分面积为6+15=21(平方厘米) ．
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所
示(单位：平方厘米) ，阴影部分的面积是 平方厘米．
B
B
【分析】 连接AE
S ∆OCD
．由于AD 与
=S ∆OAE ．
BC
是平行的，所以
AECD
也是梯形，那么
2
根据蝶形定理，S ∆OCD ⨯S ∆OAE =S ∆OCE ⨯S ∆OAD =4⨯9=36，故S ∆OCD =36， 所以S ∆OCD =6(平方厘米) ．
【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所
示(单位：平方厘米) ，阴影部分的面积是 平方厘米．
B
【解析】 连接AE
B
．由于AD 与BC 是平行的，所以AECD
S ∆OCD =S ∆OAE ．
S ∆OCD ⨯S ∆OAE =S ∆OCE ⨯S ∆OAD =2⨯8=16，根据蝶形定理，故S ∆OCD 2=16，
所以S ∆OCD =4(平方厘米) ．
另解：在平行四边形ABED 中，S ∆ADE =S ABED =⨯(16+8)=12(平方厘米) ， 所以S ∆AOE =S ∆ADE -S ∆AOD =12-8=4(平方厘米) ，
根据蝶形定理，阴影部分的面积为8⨯2÷4=4(平方厘米) ．
12
12
也是梯形，那么
【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE
、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别
为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．
A E
25
8
D
C
D
?
5
F
B
A E
28
C F
B
【解析】 连接DE 、CF ．四边形EDCF 为梯形，所以S ∆EOD =S FOC ，又根据蝶形定理，
S ∆EOD ⋅S ∆FOC =S ∆EOF ⋅S ∆COD ，所以S ∆EOD ⋅S ∆FOC =S ∆EOF ⋅S ∆COD =2⨯8=16，所以
S ∆EOD =4(平方厘米) ，S ∆ECD =4+8=12(平方厘米) ．那么长方形ABCD 的面积为12⨯2=24平方厘米，四边形OFBC 的面积为24-5-2-8=9(平方厘
米) ．
【例 20】 如图，∆ABC 是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交
于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，AK :KB =1:3，则∆BKD 的面积是多少？
B
B
【解析】 由于DEFG 是正方形，所以DA 与BC 平行，那么四边形ADBC
是梯形．在
梯形ADBC 中，∆BDK 和∆ACK 的面积是相等的．而AK :KB =1:3，所以∆ACK 的面积是∆ABC 面积的1=1，那么∆BDK 的面积也是∆ABC 面积的1．
1+3
4
4
由于∆ABC 是等腰直角三角形，如果过A 作BC 的垂线，M 为垂足，那么M 是BC 的中点，而且AM =DE ，可见∆ABM 和∆ACM 的面积都等于正方形DEFG 面积的一半，所以∆ABC 的面积与正方形DEFG 的面积相等，为48．
那么∆BDK 的面积为48⨯1=12．
4
【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为
1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是
AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分
n
的面积之比是最简分数m ，那么，(m +n ) 的值等于 ．
E
【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观
察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．
如下图所示，在左图中连接EG ．设AG 与DE 的交点为M ．
左图中AEGD 为长方形，可知∆AM D 的面积为长方形AEGD 面积的1，所
4
以三角形AMD 的面积为12⨯1⨯1=1．又左图中四个空白三角形的面积是
24
8
相等的，所以左图中阴影部分的面积为1-1⨯4=1．
8
2
E
E
如上图所示，在右图中连接AC 、EF ．设AF 、EC 的交点为N ． 可知EF ∥AC 且AC =2EF ．那么三角形BEF 的面积为三角形ABC 面积的1
，所以三角形BEF 的面积为12⨯1⨯1=1，梯形AEFC 的面积为1-1=3．
4
24
8
2
8
8
B
在梯形AEFC 中，由于EF :AC =1:2，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：12:1⨯2:1⨯2:22=1:2:2:4，所以三角形EFN 的面积为
311
，那么四边形BENF 的面积为1+1=1．而右图中四个空⨯=
81+2+2+4248246
白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为1-1⨯4=1．
63
那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为1:1=3:2，
23
即m =3，
n
2
那么m +n =3+2=5．
【例 22】 如图， △ABC 中，DE ，FG
，BC 互相平行，AD =DF =FB ，
则S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGCB = ．
A D F B
E
C
【解析】 设S △ADE =1份，根据面积比等于相似比的平方，
所以S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，S △ADE :S △ABC =AD 2:AB 2=1:9， 因此S △AFG =4份，S △ABC =9份，
进而有S 四边形DEGF =3份，S 四边形FGCB =5份，所以S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGCB =1:3:5
【巩固】如图，DE 平行BC ，且AD =2，AB =5，AE =4，求AC 的长．
A D B
E
C
【解析】 由金字塔模型得AD :AB =AE :AC =DE :BC =2:5，所以AC =4÷2⨯5=10
【巩固】如图， △ABC 中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，
AD =D F =FM =M P =PB ，则
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =
A D
E G
M
F
． 【解析】 设S △ADE =1份，S △ADE :S △AFG =AD 2:AF 2=1:4，因此
S △AFG =4份，进而有S 四边形D E G F =3份，同理有
S 四边形MNQP =7份，S 四边形F G N M =5份，S 四边形PQCB =9份．
N
C
P
B
所以有
S △ADE :S 四边形DEGF :S 四边形FGNM :S 四边形MNQP :S 四边形PQCB =1:3:5:7:9
【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F
是BC 边的中点，E 是DC 边上
的点，且DE :EC =1:3，AF 与BE 相交于点G ，求S △ABG
A
B
A
B
A
B
F
F
D
【解析】 方法一：连接AE ，延长AF ，DC 两条线交于点M ，构造出两个沙漏，
所以有AB :CM =BF :FC =1:1，因此CM =4，根据题意有CE =3，再根据另
G :B =G :=E A B 一个沙漏有，所E 以
S △ABG =
4432
S △ABE =⨯(4⨯4÷2) =． 4+71111
AE , EF
E
D
E
C
M D
E
C
M
方法二：连接
S △A
:
S F =
=A :B
S △AEF =4⨯4-4⨯1÷2-3⨯2÷2-4=7
B △
E
，分别求S △ABF =4⨯2÷2=4，
，根据蝶形定理
4432S △ABE =⨯(4⨯4÷2) =． 4+71111
G G S △ABG E =，所以F
【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是
1，E 、F 是AB 、AD 的中
点， BF 交EC 于M ，求∆BMG 的面积．
A E B
A
F D
【解析】 解法一：由题意可得，E
F D :B C =F H :H C =1:2，
、F 是AB 、AD 的中点，得EF //BD ，而
EB :CD =BG :GD =1:2所以CH :CF =GH :EF =2:3，
并得G 、H 是BD 的三等分点，所以BG =GH ，所以
BG :EF =BM :MF =2:3，所以BM =2BF ，S ∆BFD
5
1111=S ∆ABD =⨯S ABCD =； 2224
121354
1
． 30
又因为BG =1BD ，所以S ∆BMG =⨯⨯S ∆BFD =⨯⨯=
3
1235
解法二：延长CE 交DA 于I ，如右图，
可得，AI :BC =AE :EB =1:1，从而可以确定M 的点的位置， BM :MF =BC :IF =2:3，BM =2BF ，BG =1BD (鸟头定理) ，
5
3
可得S ∆BMG =⨯S ∆BDF =⨯⨯S ABCD =
[1**********]30
【例 25】 如图，ABCD 为正方形，AM =NB =DE =FC =1cm 且MN =2cm ，请问四边
形PQRS
的面积为多少？
A
C
C
A 【解析】 (法1) 由AB //CD ，有MP =PC ，所以PC =2PM ，又MQ =MB ，所以
QC EC DC
11111
MQ =QC =MC ，所以PQ =MC -MC =MC ，所以S SPQR 占S AMCF 的
22366
MN
，
所以S SPQR =1⨯1⨯(1+1+2) =2
6
3
(cm2) ．
(法2) 如图，连结AE ，则S ∆ABE =1⨯4⨯4=8(cm 2) ，
2
而RB =ER ，所以RB =AB =2，S ∆ABR =2S ∆ABE =2⨯8=16(cm 2) ．
AB
EF
EF
EF 333
而S ∆MBQ =S ∆ANS =1⨯3⨯4⨯1=3(cm 2) ，因为MN =MP ，
22DC PC
所以MP =1MC ，则S ∆MNP =1⨯2⨯4⨯1=4(cm 2) ，阴影部分面积等于
3233
1642
S ∆ABR -S ∆ANS -S ∆MBQ +S ∆MNP =-3-3+=(cm 2) ．
333
【例 26】 如右图，三角形ABC 中，BD :DC =4:9，CE :EA =4:3，求AF :FB ．
A
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =4:9=12:27
S △AOB :S △BOC =AE :CE =3:4=12:16
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =27:16=AF :FB
【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我
们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =3:4，AE :CE =5:6，求AF :FB .
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =3:4=15:20
S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:6=15:18
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =20:18=10:9=AF :FB
【巩固】如右图，三角形ABC 中，BD :DC =2:3，EA :CE =5:4，求AF :FB .
21
F B
O D
E
C
【解析】 根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD :CD =2:3=10:15
S △AOB :S △BOC =AE :CE =5:4=10:8
（都有△AOB 的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以S △AOC :S △BOC =15:8=AF :FB
【点评】本题关键是把△AOB 的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我
们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！
【例 27】 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =3:2，且三角形ABC 的
面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．
A
E
F
B
【分析】 连接AH 、BI 、CG
A
E
F
I D
C
I D
C
．
由于CE :AE =3:2，所以AE =2AC ，故S ∆ABE =2S ∆ABC =2；
5
5
5
B
根据燕尾定理，S ∆ACG :S ∆ABG =CD :BD =2:3，S ∆BCG :S ∆ABG =CE :EA =3:2，所以
S ∆ACG :S ∆ABG :S ∆BCG =4:6:9，则S ∆ACG =
4
，S ∆BCG =9； 1919
那么S ∆AGE =2S ∆AGC =2⨯
548
=； 51995
S ∆ACH =
919
同样分析可得
EG :EB =S ∆ACG :S ∆ACB =4:19A G :G :I
=I D 10:，5
，则
E :G
=E ∆A H C ∆:G S =
A
S 4C ，H
，所以
E G :G H :
H =B 4:5:，同样分析可得
所以S ∆BIE =
55215511
S ∆BAE =⨯=，S ∆GHI =S ∆BIE =⨯=． [1**********]19
【巩固】 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =3:2，且三角形GHI
的面积是1，求三角形ABC 的面积．
22
A A
F
I
B
D
E
F
C
B
D
E
C
【解析】 连接
BG ，S △AGC =6份
据
燕
尾
定
理
，
，
根
S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:2=6:4
6
, 19
S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:2=9:6
得S △BGC =4(份) ，S △ABG =9(份) ，则S △ABC =19(份) ，因此S △AGC
S △ABC
=
同理连接AI 、CH 得S △ABH
S △ABC
=
S 6S △BIC 619-6-6-61
=, 所以△GHI ==,
19S △ABC 19S △ABC 1919
三角形GHI 的面积是1，所以三角形ABC 的面积是19
【巩固】如图，∆ABC 中BD =2D A ，CE =2EB ，AF =2FC ，那么∆ABC 的面积是阴
影三角形面积的 倍．
B
C
C
B
【分析】 如图，连接AI ．
根据燕尾定理，S ∆BCI :S ∆ACI
=BD :AD =2:1，S ∆BCI :S ∆ABI =CF :AF =1:2，
所以，S ∆ACI :S ∆BCI :S ∆ABI =1:2:4，那么，S ∆BCI =2S ∆ABC =2S ∆ABC ．
1+2+47
同理可知∆ACG 和∆ABH 的面积也都等于∆ABC 面积的2，所以阴影三角
7
形的面积等于∆ABC 面积的1-2⨯3=1，所以∆ABC 的面积是阴影三角形面
77
积的7倍．
【巩固】如图在△ABC 中，DC =EA =FB =1, 求△GHI 的面积的值．
DB
EC
FA
2
△ABC 的面积
23
A
E
H
F
B
G D
C
B F
A
E
H
G D
C
【解析】 连接
BG , 设S △BGC =1份，根据燕尾定理
S △AGC :S △BGC =AF :FB =2:1, S △ABG :S △AGC =BD :DC =2:1, 得S △AGC =2(份) ，
S 2
S △ABG =4(份), 则S △ABC =7(份) ，因此△AGC =, 同理连接AI 、CH 得
S △ABC 7S △ABH 2S △BIC 2S 7-2-2-21
=, =, 所以△GHI == S △ABC 7S △ABC 7S △ABC 77
【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.
【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD =DE =EC ，CF =FG =GA ，三角形ABC
被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?
A
A
P
B
B
N D
E
C
【解析】 设BG 与AD 交于点P ，BG 与AE 交于点Q ，BF 与AD 交于点M ，BF 与AE
交于点N ．连接CP ，CQ ，CM ，CN ．
=AG :GC =1:2根据燕尾定理，S △A B P :S △C B P ，S △ABP :S △ACP =BD :CD =1:2，设
S △ABP =1(份) ，则S △ABC =1+2+2=5(份) ，所以S △ABP =
D E C
1
5
7
5
3，35
同理可得，S △ABQ =2, S △ABN =1, 而S △ABG =1，所以S △APQ =2-1=
7
2
3
121
S △AQG =-=．
3721
同理，S △BPM
S 四边形MNED
311239
，S △BDM =, 所以S 四边形PQMN =--=
[1**********]395
, S 四边形NFCE =1-1-5=1, S 四边形GFNQ =1-1-1=5 =--=
[***********]2
=
24
【巩固】如图，∆ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC
边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少？
C F G
A
【解析】 连接CK
C
D E
G
B
B
A
F
D E
、CI 、CJ ．
根据燕尾定理，S ∆ACK :S ∆ABK =CD :BD =1:2，S ∆ABK :S ∆CBK =AG :CG =1:2， 所以S ∆ACK :S ∆ABK :S ∆CBK 类似分析可得S ∆AGI 又S ∆ABJ :S ∆CBJ 那么，S CGKJ
=1:2:4，那么S ∆ACK =
1111
=，S ∆AGK =S ∆ACK =． 1+2+47321
=
2
． 15
=AF :CF =2:1，S ∆ABJ :S ∆ACJ =BD :CD =2:1，可得S ∆ACJ =
1
． 4
=
1117
-=． 42184
84172161
，所以四边形JKIH =⨯2++=
8415370
根据对称性，可知四边形CEHJ 的面积也为17，那么四边形JKIH 周围的图形的面积之和为S CGKJ ⨯2+S ∆AGI +S ∆ABE 的面积为1-61=
70
9
． 70
【例 29】 右图，△ABC 中，G
是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，
已知△ABM 的面积比四边形FCGN 的AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，
面积大7.2平方厘米，则△ABC 的面积是多少平方厘米？
A G
F
C
B
D E
F
C A G
B
【解析】 连接CM
D E
、CN ．
根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM
1
S △ABM =S △ABC ；
5
=AG :GC =1:1，S △ABM :S △ACM =BD :CD =1:3，所以
再根据燕尾定理，S △ABN :S △CBN
=AG :GC =1:1，所以
S △ANG 142
=⨯=，S △AFC 24+37
25
S △ABN :S △FBN =S △CBN :S △FBN =4:3，所以AN :NF =4:3，那么
所以S FCGN
515⎛2⎫
= 1-⎪S △AFC =⨯S △ABC =S △ABC ．
77428⎝⎭
根据题意，有1S △ABC -5S △ABC =7.2，可得S △ABC =336(平方厘米)
528
【例 30】 如图，面积为
l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、
CA 的三等分点, 求阴影部分面积
.
A
【解析】 三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理
吧！
令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P , BI 与CE 的交点为Q , 连接AM 、BN 、CP
⑴求S 四边形ADMI ：在△ABC 中，根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM =AI :CI =1:2S △ACM :S △CBM =AD :BD =1:2
设S △ABM =1(份) ，则S △CBM =2(份), S △ACM =1(份), S △ABC =4(份),
1111
=S △ACM =S △ABC ，所以S △ADM =S △ABM =S △ABC , S △AIM =S △ABC ,
431212
所以S 四边形ADMI =(1+1) S △ABC =1S △ABC ,
12126
同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC 面积的1
6
B
C B
G
C
所以S △ABM
⑵求S 五边形DNPQE ：在△ABC 中，根据燕尾定理
S △ABN :S △ACN =BF :CF =1:2S △ACN :S △BCN =AD :BD =1:2,
所以S △ADN =1S △ABN =1⨯1S △ABC =1S △ABC , 同理S △BEQ =1S △ABC
3372121
在所
S 五边形D
=
△A
N
△ABC
中，
S △A
根
1
=S △B 51⎫
=⎪△E 2⎭
据燕，P
尾所
2
N
定理以B
S △ABP :S △ACP =BF :CF =1:2, S △ABP :S △CBP =AI :CI =1:2
以
-
△
A C
S -B
△P
⎛1
= -⎝5
Q
S -
△
S
1
1D
1
S 1
1
B
E
同理另外两个五边形面积是
1
S 阴影=16
⨯3
11
3105
13 =70
△ABC
面积的
11
105
，所以
26
【例 31】 如图，面积为
l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、
CA 的三等分点, 求中心六边形面积
.
A
A
C
【解析】 设深黑色六个三角形的顶点分别为N 、R 、P 、S 、M 、Q ，连接CR
在△ABC 中根据燕尾定理，S △ABR :S △ACR =BG :CG . =2:1, S △ABR :S △CBR =AI :CI =1:2
所以S △ABR =2S △ABC , 同理S △ACS =2S △ABC , S △CQB =2S △ABC
7
7
7
B
G
B
G
C
所以S △RQS =1-2-2-2=1，同理S △MNP =1
7
7
7
7
根据容斥原理，和上题结果S 六边形
7
11131=+-=777010
课后练习： 练习1. 已知△DEF 的面积为7平方厘米，BE =CE , AD =2BD , CF =3AF ，求△ABC 的
面积．
A
D B
E
S △BDE :S △ABC =(BD ⨯BE ) :(BA ⨯BC ) =(1⨯1) :(2⨯3) =1:6，【解析】
S △CEF :S △ABC =(CE ⨯CF ) :(CB ⨯CA ) =(1⨯3) :(2⨯4) =3:8S △ADF :S △ABC =(AD ⨯AF ) :(AB ⨯AC ) =(2⨯1) :(3⨯4) =1:6
C
设S △ABC =24份，则S △BDE =4份，S △ADF =4份，S △CEF =9份，S △DEF =24-4-4-9=7份，恰好是7平方厘米，所以S △ABC =24平方厘米
练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA =AB ，CB =BF ，DC =CG ，
HD =DA ，求四边形ABCD 的面积．
27
H D A E
H D
C
F
A E
F
【解析】 连接BD ．由共角定理得S △BCD :S △CGF =(CD ⨯CB ) :(CG ⨯CF ) =1:2，即
D B S △C G =F 2S △C
同理S △ABD :S △AHE =1:2，即S △AHE =2S △ABD 所以S △AHE +S △CGF =2(S △CBD +S △ADB ) =2S 四边形ABCD
连接AC ，同理可以得到S △DHG +S △BEF =2S 四边形ABCD
S 四边形EFGH =S △AHE +S △CGF +S △HDG +S △BEF +S 四边形ABCD =5S 四边形ABCD 所以S 四边形ABCD =66÷5=13.2平方米
练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，
四边形BGHF 的面积是 平方厘米．
A
D
E
F
A
D
B
C
E
F
M
【解析】 欲求四边形BGHF 的面积须求出∆EBG 和∆CHF 的面积．
B
C
由题意可得到：EG :GC =EB :CD =1:2，所以可得：S ∆EBG =1S ∆BCE
3
将AB 、DF 延长交于M 点，可得：
BM :DC =MF :FD =BF :FC =1:1，
而EH :HC =EM :CD =(1AB +AB ) :CD =3:2，得CH =2CE ，
2
5
2255
S ∆BCE =1⨯1AB ⨯BC =1⨯120=30
224
S 四边形BGHF =S ∆EBC -1S ∆EBC -1S ∆EBC =7S ∆EBC =7⨯30=14
．
1515
而CF =1BC ，所以S ∆CHF =1⨯2S ∆BCE =1S ∆BCE
EF ，确定H 的位置(也就是
FH :HD )
28
练习4. 如图，已知AB =AE =4cm ，BC =DC ，∠BAE =∠BCD =90︒，AC =10cm ，则
S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE =cm 2．
C
B
C
B
A
E
D
A'
A
E
D
C'
【解析】 将三角形ABC 绕A 点和C 点分别顺时针和逆时针旋转90，构成三角形
AEC ' 和A ' DC ，再连接A ' C ' ，显然AC ⊥AC ' ，AC ⊥A ' C ，AC =A ' C =AC ' ，所以ACA ' C ' 是正方形．三角形AEC ' 和三角形A ' DC 关于正方形的中心O 中心对称，在中心对称图形ACA ' C ' 中有如下等量关系： S ∆AEC =S ∆A ' DC ' ；S ∆AEC ' =S ∆A ' DC ；S ∆CED =S ∆C ' DE ．
所以S ∆ABC +S ∆ACE +S ∆CDE =S ∆AEC ' +S ∆ACE +S ∆CDE =1S ACA ' C ' =1⨯10⨯10=50cm 2．
2
2
练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的
中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．
D
D
E
E
【解析】 连接BH , 根据沙漏模型得BG :GD =1:2, 设S △BHC =1份，根据燕尾定理
S △CHD =2份，S △BHD =2份，因此S 正方形=（1+2+2) ⨯2=10份，S BFHG =
127
+=，所236
以S BFHG =120÷10⨯7=14(平方厘米).
6
练习6. 如图，∆ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，
若∆ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．
29
A
D
N
C
B
E
A
D
N
B
E
M M
【解析】 由于点D 是边AC 的中点，点E 、如果能求出BN 、F 是边BC 的三等分点，
NM 、MD 三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．
=2S ∆A D 根据燕尾定理，S ∆ABM :S ∆ACM =BF :CF =2:1，而S ∆A C M ，M 所以
4
BD ． 5
那么S ∆BMF =BM ⨯BF ⨯S ∆BCD =4⨯2⨯1=4，S 四边形CDMF =1-4=7．
BD BC 5321521530
另解：得出S ∆ABM =2S ∆ACM =4S ∆ADM 后，可得S ∆ADM =1S ∆ABD =1⨯1=1，
55210
则S 四边形CDMF =S ∆ACF -S ∆ADM =1-1=7．
31030S ∆ABM =2S ∆ACM =4S ∆ADM ，那么BM =4D M ，即BM =
F F
C
练习7. 如右图，三角形ABC 中，AF :FB =BD :DC =CE :AE =4:3，且三角形ABC 的
面积是74，求角形GHI 的面积．
A
A
F
I
B
D
E
F
C
B
D
E
C
【解析】 连接
BG ，S △AGC =12份
据
燕
尾
，
定理，S △AGC :S △BGC =AF :FB =4:3=12:9S △ABG :S △AGC =BD :DC =4:3=16:12
得S △BGC =9(份) ，S △ABG =16(份) ，则S △ABC =9+12+16=37(份) ，因此
S △AGC 12
=, S △ABC 37
根
同理连接AI 、CH 得S △ABH
S △ABC
=
12S △BIC 12
=, , 所以S △GHI =37-12-12-12=1
37S △ABC 37S △ABC 3737
三角形ABC 的面积是74, 所以三角形GHI 的面积是74⨯
1
=2 37
30
月测备选
【备选1】
按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角
三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．
【解析】 如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等
于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为：
3⨯4+6⨯2-（3⨯6÷2+4⨯2÷2）=11（cm 2）
【备选2】
如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积
是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．
【解析】 因为三角形ABP 面积为矩形ABCD 的面积的一半，即18平方厘米，三
角形ABO 面积为矩形ABCD 的面积的1，即9平方厘米，又四边形PMON
4
的面积为3平方厘米，所以三角形AMO 与三角形BNO 的面积之和是18-9-3=6平方厘米．
又三角形ADO 与三角形BCO 的面积之和是矩形ABCD 的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为18-6=12(平方厘米) ．
【备选3】
如图，已知BD =3DC ，EC =2AE ，BE 与CD 相交于点O , 则△ABC 被分
成的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几？
1E 24.5D 1
C
E 9
13.5
B
D
C
B
3
【解析】 连接CO , 设S △AEO =1份，则其他部分的面积如图所示，所以
S △ABC =1+2+9+18=30份，所以四部分按从小到大各占△ABC 面积的
12+4.5139313.59, =, =, =[1**********]020
【备选4】
如图，在△ABC 中，延长AB 至D ，使BD =AB ，延长BC 至E ，使
1
BC ，F 2
CE =
是AC 的中点，若△ABC 的面积是2，则△DEF 的面积是多
少？
A F
B
D
C
E
【解析】 ∵在△ABC 和△CFE 中，∠ACB 与∠FCE 互补，
∴S △ABC =AC ⋅BC =2⨯2=4．
S △FCE
FC ⋅CE
1⨯1
1
又S ABC =2，所以S FCE =0.5． 同理可得S △ADF =2，S △BDE =3．
所以S △DEF =S △ABC +S △CEF +S △DEB -S △ADF =2+0.5+3-2=3.5
【备选5】
如图，BD :DC =2:3, AE :CE =5:3, 则AF :BF =
A
C
F B
D
【解析】 根据燕尾定理有S △ABG :S △ACG =2:3=10:15, S △ABG :S △BCG =5:3=10:6, 所以
S △ACG :S △BCG =15:6=5:2=AF :BF
【备选6】
如图在△ABC 中，DC =EA =FB =1, 求△GHI 的面积DB
EC
FA
3
△ABC 的面积
的值．
A
A
E
E
H
H
F
F
G G B
D
C
B D
C
【解析】 连接
BG , 设S △BGC =1份，根据燕尾定理
S △AGC :S △BGC =AF :FB =3:1, S △ABG :S △AGC =BD :DC =3:1, 得S △AGC =3(份) ，
S ) ，因此S △AGC 3
△ABG =9(份), 则S △ABC =13(份S =13, 同理连接AI 、CH 得
△ABC S △ABH =13, S △BIC 3
S =, △ABC S △ABC 13
所以S △GHI
13-3-3-3S =
△ABC
13=4
13