角接触球轴承

角接触球轴承打滑行为的非线性动态

模型

Qinkai Han , Fulei Chu.The State Key Laboratory of

Tribology, Tsinghua University, Beijing 100084, China.

摘要：

用一个三维非线性动态模型来预测复合载荷组合条件下角接触球轴承

的打滑行为。该模型考虑了钢球的自转和公转引起的离心力和陀螺效应、钢

球与内外圈之间的赫兹接触变形、钢球与保持架之间的非连续接触以及弾流

动体润滑。通过对试验结果的比较，验证了该动态模型正确性。在此基础

上，讨论了在复合载荷作用下，轴承钢球滑动速度随时间和位置的变化规

律。该模型表明，径向载荷的变化将使钢球在内外圈之间的的滑动速度产生

波动，对低负载区域的钢球影响更大。增加径向负荷将大幅增加滑移速度的

幅度和范围，使打滑更加严重。当钢球在低载区时，大的滑动速度会使轴承

和润滑油的温度升高，加剧轴承磨损，缩短轴承的使用寿命。因此，在旋转

工件的设计和检测中应考虑径向载荷。

1.导论：

角接触球轴承是许多旋转机械的核心支撑部件，其动态特性对整个设

备的使用性能、运行可靠性和使用寿命起着决定性的作用。轴承在运行过程

中，滚道应为钢球提供足够大的摩擦力和摩擦力矩，以确保钢球处于纯滚动

状态。否则，滚动体和内、外滚道之间可能会出相对滑移。随着现代旋转机

械的高速化、重载化，轴承的滑动将使轴承和润滑油的温度升高，从而加速

轴承磨损。如果轴承早期就开始打滑，它可能会导致轴承寿命减少，甚至更

严重的事故。

因此，当前准确预测滚动轴承的打滑行为并提出防滑设计准则是很重

要的问题。哈里斯[1,2]已经在这方面做了开创性的工作。基于沟道控制理

论和准静态学，哈里斯[1,2]建立了用于高速角接触球轴承的滑行预测模

型。该模型考虑了滚动体的各种受力情况（包括：接触力，摩擦力，流体力

和离心力等），还考虑了轴向载荷、旋转速度、滚动体的数量对打滑的影

响。Liao and Lin[3]在几何约束条件和受力平衡中考虑了每一个滚动体受到

的接触力和每一个滚动体的接触角。希拉诺[4]打滑的评判标准中分析了在

轴向和径向负荷下钢球和滚道的打滑。此外,他们还研究了热效应引起的钢

球滑动[5]。基于准动态分析，Jiang et al.[6], Cui et al.[7] and Yuan

et al.[8]等提出了估计防止轴承打滑的最小轴向载荷的经验公式。最近，

Chen et al. [9,10]提出推力球轴承在固体润滑条件下的准静态模型。该理

论构想了一种用于准确界定钢球与内外圈之间相对运动的滑动比和旋滚比。

它表明，钢球与滚道的密切接触引起的滑差使滑动和接触力分布不对称。

Xu et al.[11]建议用预载分析法作为球轴承的滑动准则。实验结果表明采

用最佳预紧力的轴承具有良好的温度特性。Chen et al [12]等人对高速旋转

的轴承进行准静态打滑分析，发现钢球自转挤压油膜对打滑和轴承疲劳寿命

有不利的影响。

上述的大多数分析是在稳态条件下采用静态/动态模型来研究打滑行

为和防滑判据。实际上，滚动轴承上经常被施加动载荷，滚动体和保持架之

间的接触和碰撞是不可避免的。这些因素往往造成滑移随时间和空间的变

化。显然，基于静态模型的稳态分析很难准确地描述和预测滚动体打滑的行

为。因此，发展动态分析方法在当前得到了广泛关注。采用动态法，古普塔

[13]首先建立微分方程来模拟一个推力球轴承在弹流润滑条件下钢球的瞬时

运动。奥斯滕森等人[14]建立了轴承运动的动力学模型，并对轴承运动进行

了仿真模拟，并与测量结果进行比较。他们发现，卸载区的滑动主要受局部

润滑剂分布状态和滚子在轴承中的位置的影响。Imado[15]提出了一个霍尔

元件检测法来检测钢球在轴承中的运动。最近，米尼安·拉尼阿多哈科梅等

人[16]利用有限元法建立了滚动轴承的动态接触模型。动态接触模型应用在

钢球与滚道打滑的研究中。Jain和亨特[17]忽略离心力和钢球接触角引起的

陀螺力的影响，提出了一种应用在风力机传动系统高速输出轴上的轴承的动

力学模型。塞尔瓦拉和marappan [18]研发了一种圆柱滚子轴承试验台，用

于测量各种工况下运行的轴承元件的速度，在实验结果的基础上讨论了工作

参数对圆柱滚子轴承的影响。Tu et al.[19]以滚动体与滚道、保持架之间

的接触力和摩擦力，以及滚动体的离心力为基础建立了研究滚动轴承加速时

打滑的分析模型。

对轴承打滑的动态问题的一些研究工作已在目前的文献中提出，但研

究对象仅限于推力轴承（只适用于轴向载荷）和深沟轴承（仅适用于径向载

荷）。角接触轴承在轴向和径向载荷作用下（复合载荷条件下）的研究较少

受到关注。高速度和复合载荷工况会使角接触轴承的滚动元件具有三维运

动，而推力轴承和深沟轴承的运动可以简化为二维运动。因此，本论文提出

分析角接触球轴承打滑行为的动力学模型。首先，考虑了内圈的五个自由

度，对轴承的载荷分布和每个滚动体的接触力和内/外接触角进行了分析。

根据赫兹接触理论和弹流动力润滑，确定了钢球与内/外滚道之间的摩擦力

和摩擦力矩随时间的变化规律。考虑到钢球和保持架之间的不连续接触，利

用欧拉方程建立了角接触滚动轴承的三维非线性动力学模型。本论文给出了

模型的求解方法和过程并通过与实验结果的比较对其进行了验证，在此基础

上，讨论了在复合载荷作用下，轴承的滑动速度随时间和空间的变化规律。

最后，得出了一些结论。

2、角接触球轴承载荷分布分析

通过对角接触球轴承载荷分布的分析，获得了三种类型的参数，包括

接触力，赫兹接触面积的尺寸和钢球和内外圈之间的接触角。钢球摩擦力矩

的大小和方向可以通过这些参数分析计算得到。因此，载荷分布分析在打滑

分析之前进行。

外圈固定，内圈以恒定的角速度ωi旋转。两个坐标，其中一个

(X-Y-Z) 固定在内圈的旋转中心线上，另一个（x-y-z）随Z轴旋转，如图

1所示。x-y-z的中心与球的质心重合。忽略了内圈的旋转自由度，重点考

虑余下的五个自由度（包括：三平移和两旋转）。自由向量用

表示。作用于内圈的外力向量用Fin=(FXin;

FYin; FZin; MXin; MYin)T表示。第i个球相对于旋转坐标x-y-z有三个旋转

角速度（ωxj;ωyj;ωzj）和一个基于固定轴Z的滚道旋转速度Wcj。在

时间t，第j个球的位置角用下公式表示：

图1。轴承坐标示意图。

ϕcj =ϕ0+ωcj +2π/Nb(j-1),其中ϕ0为初始位置角，ωcj 为滚道角速

度，Nb为钢球的数量。 一般情况下ϕ0=0，外力会使内圈移动。因此，第j

个球内圈沟曲率中心的位移 ，包括沿y,z轴的移动和沿x轴的转动，用

uj=（yj; zj; θxj)T表示。在小挠度的假设下,uj可以通过坐标变换得到 uj=TjUin (1)。

其中Tj是变换矩阵，可表示为

其中Ri=0.5de+（rgi-0.5db)cosβ0表示由内到槽曲率中心的内轴

旋转中心的距离，de是轴承的节圆直径 ，rgi是沟曲率半径，db是钢球的

直径，β0是公称接触角。

没有负载时，钢球与内外滚道之间没有接触变形。由于偏转是零，所

以球的中心和内外滚道的沟曲率中心位于一条直线，如图2虚线。 钢球的

内外接触角是相同的，等于公称接触角β0。施加负载后，内圈滚道将首先

移动，然后钢球也因接触变形而移动。平衡状态，如图2所示的实心线，可

以表示钢球和内外滚道之间的状态。因为外圈是固定的，所以它的沟曲率中

心保持不变。根据公式（1）内圈沟曲率中心的位移可以用 (yj;zj)表示。

钢球中心的位移是未知参数可用 (vjy;vjz)表示。因为负载的影响，钢球与

内外沟道的接触角变的不相等。外接触角减小为βoj，而内接触角增大为β

ij。在偏转前，内圈沟曲率中心到钢球质心的距离为 Lij。偏转后，距离变

得 lij，如图2所示。同样，外圈沟曲率中心到钢球质心的距离从Loj（偏

转前）变为loj（偏转后），对于给定的内外沟曲率半径(rgi; rgo)，有

Lij=rgi-0.5db和Loj=rgo -0.5db。根据图2的几何关系，可以获得以下公

式：

荷载分布分析应满足上述的四个几何方程。图3给出了第j个钢球的受力情

况。在图中， Fcj 和 Mgj表示由于球的自转和公转引起的离心力和陀螺

力。

图2。轴承前后挠度的几何关系

图3，第j钢球受力图。[20]

显然有

和 mb和Ib为钢球的瞬

时质量和惯性。ωs和ωc为自转角速度和沟道角速度，αj 为自转轴和Z

轴之间的夹角。对于纯滚动轴承，有

钢球与内、外滚道之间的接触力用Qij和Qoj表示，根据赫兹接触理论，有

Qij=χijKiδij3/2 和Qoj=χojKoδoj3/2。Ki和Ko为钢球与内外滚道的接触

刚度系数，δij和δoj 为钢球与内外滚道的变形量。从上面的几何分析中

可以得到δij =lij-Lij和δOj=loj- Loj。 当δij，δoj>0；χij =1,

χoj=1。δij,δoj≦0时；Χij=0， χoj=0 。接触刚度系数通

过接触区材料性能和几何尺寸的确定，即

K=

其中E’=E/(1-ν2)表示的有效弹性模量,E为材料的弹性模量，ν为泊松

比，R为等效曲率半径，κ为椭圆率，ξ和ϵ为椭圆第一类和第二类积分。

这些参数的表达式从哈里斯和kotzalas [ 20 ]的论文中可以得到，接触刚度

系数Ki和Ko可以通过以上公式求解得到。

在负荷分布分析，忽略了x水平的摩擦力，陀螺力矩由y-z平面的

瞬时摩擦力产生，如图3所示。哈里斯和kotzalas [20]在他们的论文中首

先对钢球进行这样的受力平衡分析。Λij和λoj表示钢球与内外沟道之间的，

摩擦系数。在这里对λij和λoj都设置初始值为1。从图3可以得到力的平

衡方程如下：

第j个钢球与内沟道之间的接触力和摩擦力的方向与图3所示的方向相反。

把这些力等效到内沟曲率中心可以得到

得到钢球与内滚道的力平衡方程

上述研究表明在未知参数负荷分布的位移分析中可以用该钢球与内滚

道的模型(vjy，vjz和Xin，Yin，Zin，θX in，θY in)代替进行计算。

(公式(7)–（10）)是一组非线性代数方程，可以用Newton-Raphson方法

迭代求解。该非线性方程的维数是2Nb+5.得到这些未知参数后，每一个钢球

的接触力（Q ij，Q oj）和内外接触角（βij；βoj）可以通过公式（1）

和（3）-（6）计算得到。

3.施加在球上的摩擦力矩和力矩

运行中滚动轴承，内外沟道对钢球产生摩擦力和摩擦力矩。弹流润滑

条件下的钢球和滚道之间的接触与图4所示。图中的x’，y’轴分别表示

接触椭圆的主要和次要轴，Z’表示垂直于接触椭圆的轴。根据赫兹接触理

论，接触应力在接触区为椭圆分布，并可以表示如下：

其中， PHj 为最大接触应力，a和b为接触椭圆的长半轴和短半轴。有

b = a/κ。在求出接触力，等效曲率半径和椭圆率后，

可以求出接触区的面积(ain，bin和aout，bout) 。一般情况下，油膜厚度

hc远小于接触区尺寸,接触区域任一点的剪切应力τ（x’,y’）可以用下

公式表示：

其中η（pj，T）是润滑剂的粘度，是接触压力Pj和油的温度T的函数。相

对之间的接触界面的滑动速度用表Δu示，Δu=u1-u2。

图4.对于钢球和滚道之间的接

触示意图。

根据结果Hamrock和道森[ 21 ]

，油膜厚度是由下面的经验公式计算：

其中表示无量纲速度，η0是20

℃大气压力下润滑油的粘度，

表示沿滚动方向的等效半径，外圈用“+”，内

圈用“-

”。是等效转速，dri，dro 表示内圈和外圈沟道

的直径，G =E’cηp是无量纲的弹性模量,其中cηp为粘度压力系数。

无量纲载荷由计算得到 。润滑油的粘度η(pj, T)由经典的巴勒

斯方程[17]来确定。然而，目前的研究表明在接触压力大的情况下使用该公

式将会产生较大的误差。滚动轴承的接触压力通常大于1 GPa，属于高接触

压力。因此，在这种情况下，巴勒斯方程不能用。贝尔和科特基[ 22 ]的实

验研究了润滑剂的接触压力和油温在高接触压力（高达2 GPa）下的变化情

况。以下的经验公式是通过数据拟合得到的

。

（14）

其中B，R0，R分别润滑油的杜利特–泰特参数，r为油量随温度的线性变

化，即r=1+ϵ1（T -T0），其中ϵ1为20℃室温下体积的膨胀量。V/V0为体积

随压力和温度的变化率，公式如下：

(15) 其

中 a为热膨胀系数，K0为体积模数， K’0

为常数用

这里的温度是Kelvin（绝对温度）。 计算，

接触界面之间的相对滑动速度Δu有钢球的自转和公转速度以及内外

圈的旋转速度确定。图5给出了钢球相对于x，y，z轴的三个旋转速度

（ωxj；ωyj；ωzj）和一个相对于轴心的轨道速度（ωcj)

。

图5.钢球与内外滚道之间的运动关系图。 对于钢球与

外滚道的接触，短轴（xo，钢球的滚动方向）和长轴（yo轴）的滑移速度可

以用下边的公式计算。

（16）

（17）

当

的旋转速度，有以下公式

时，ωsoj 为钢球的相对于zo轴

（18） 内圈转速为ωi，钢球相对于内圈滚道的速度为ωi -ωcj。同样的，钢球

沿短轴（xi轴）和长轴（yi

轴）的相对滑动速度可以用以下公式表示：

当

速度有以下公式：

时，ωsij 为钢球相对于zi轴的旋转

（21）

知道油膜厚度，润滑油的粘度和相对滑动速度后，接触区任意点

切应力τ（x’,y ’

）可以按下公式求解得到。

的剪

摩擦力矩的推导如下：

4.三维非线性动力学模型 在旋转坐标（x-y-z）中，第j个钢球的运动包括三个旋转运动 ω

xj， ωyj， ωzj 和一个沿滚道绕轴心的运动ωcj。钢球的旋转矢量定

义如下：

其中，钢球的惯性矩为Ixj =Iyj= Izj=Ib， Tvj为牵

连角速度矩阵

ωX，ωY，ωZ 为旋转坐标系（x-y-z）相对于固定坐标系（X-Y -Z）的旋转速度。可以得到ωX =ωY =0 和ωZ =ωcj

。

为施加在滚动钢球上的总外力矩。这些力矩由钢

球与内外沟道之间的摩擦力和摩擦力矩计算得到。根据前面的分析和图5中

的几何关系，可以得出如下的公式：

对于钢球的在沟道上的运动，钢球表面的摩擦力矩与内外沟道的摩擦力有关，在钢球的轨道运动方程中也应该考虑润滑剂的阻力和钢球与保持架之间的不连续接触。哈里斯和kotzalas [20]给了一个计算球轴承润滑油阻力的经验公式

。

其中，ρv 为润滑油的密度，cv 为阻力系数，g为重力加速度。

钢球和保持架之间的相对位移δ+ ，δ-如图6所示。其中t为时间，ϕcage为保持架的角位移，cr为钢球与保持架之间的间隙。根据图6的几何关系，可以得到计算δ+ ，δ-

的公式：

因此，保持架对第j

钢球的接触力为

kcage 为钢球与保持架之间的接触刚度。当δ+ ，δ-

方程写成

其中，Icj为钢球相对于轴线（Z

轴）的转动惯量，有

样的保持架的的运动方程也可以利用动量定理求出。同

其中，Icage为保持架相对于轴线的转动惯量 ，ωcage为保持架的旋转角速度。从公式（34）-（35）可以看出，要想求出钢球与保持架之间的相对

位移就必须先求出钢球与保持架任意时间的角位移。

图6.钢球与保持架之间的相互作用示意图 由角速度与角位移之间的微分关系可以得到

每一个钢球的一系列方程包括（28），（37），（39）在内，都能够得到，还包括两个形容保持架运动的动态方程（38），（40）。通过计算每个钢球与滚道的运动方程，可以得到角接触球轴承的三维非线性动力学模型

。

其

中是（5Nb+2）X（5Nb +2）的尺寸系数矩阵

，

移矢量，Θ为（5Nb+2）X1的外力向量。 是（5Nb+2）X1的三维位

由于钢球自转和公转产生的陀螺效应和钢球与保持架之间的间断接触，公式（41）为非线性耦合一阶微分方程。外部负载的大小，钢球自转和公转的初始值，保持架和内圈的旋转速度都对方程（41）的收敛过程有显著影响。显然，外部负载的不足会导致系统响应花费更多的时间收敛， 不合理的旋转和轨道速度的初始值可能会导致系统响应的振荡。本研究中，用滚道控制理论[ 20 ]所获得的结果作为初始值。增加内圈速度意味着陀螺耦合效应变得显着，钢球与沟道之间的不连续接触可能会更频繁。在该计算中应减少时长以保证收敛，公式（41）可用MATLAB的ode15s程序求解。该解算程序是专用刚性微分方程，在每一个时间段，解算程序可以估计该计算的局部误差。这种误差必须小于或等于可接受的误差，这是一个指定的相对误差（reltol）与绝对容差（abstol）之间的函数。在本研究中RelTol和

AbsTol分别设置为1e-3 和1e-6,当总时间超过设定时间时，计算停止，详细的计算过程如图7所示。

5.模型的验证

Pasdari and Gentle [23] 测试了角接触球轴承的保持架在轴向载荷下的旋转速度，35毫米口径的角接触球轴承在最高转速为3000转的变速直流电机的驱动下旋转，试验轴承的参数在表一中列出。轴承被安装在驱动轴上，驱动轴由由2个深槽球轴承支撑，并通过皮带轮与电机相连。轴承垂直安装，可以用重力作为轴向载荷的一部分，使其更容易作用在轴承上。本文的动态模型可以预测保持架在各种轴向载荷下的作用，其速度随时间变化的规律。将计算数值与实验结果进行比较，以验证动态模型的正确性。本试验中未给出润滑剂的类型[23]。本动态模型使用了一种专用于滚动轴承的典型润滑油（MIL-L-23699）。拜尔和科特基[ 22]提供了MIL-L-23699润滑剂的参数，见表2，该润滑剂的温度T为30℃。

7.非线性动力学模型的求解过程。

试验中，内圈转速2000 rpm (ωi =209:4395 rad/s)

，在纯滚动条件下

= 82。0994 rad/s

。在模拟中，初始角速度和位移被设置为

轴向载荷为40,80,120...，300N，基于非线性动力学模型和图8中的结

cage

的影响小与。由于轴向载荷较低，摩擦力和摩擦力矩也会较低，不能提供足够的阻力来保证钢球一直处于纯滚动状态。

表1.滚动轴承的物理参数。

表2.润滑油MIL-L-23699参数

图8.随着ωcage在各种轴向负荷随时间的变化。

因此，宏观滑移出现在钢球与内外沟道的接触区。加大

的摩擦力，可以使ωcage接近纯滚动速度

接近。以增大对钢球 越大，可以ωcage

的时间就越短，如图8中的放大图所示。

把在不同轴向载荷下的保持架的速度ωcage，与Pasdari and

Gentle[23]实验结果进行比较, 如图9所示。在较低的轴向载荷作用下，ωcage出现明显的波动，这是因为严重的打滑导致测试结果不准确。随着轴向载荷的增加，ωcage

为恒定值，即。图9所示的数值结果与实验结果很吻合，表明预测滑移行为的动态模型是可靠的。

此外，从图9可以看出在FZin>120N时，ωcage/ωi接近纯滚动比0.3920，表明保持架的打滑变弱。但是，无论球是否在纯滚动状态，应通过观察钢球的自转速度（ωxj，ωyj，ωzj）来判断打滑的程度。以j=1的钢球为例，三个旋转速度随时间和轴向载荷的变化如图10所示。 它表明，随

着时间的增加，在>500N

后，三个转动分量变为恒定值。该图表明，当

=520N时，ωx1≈0 rad/s, ωy1 ≈187rad/s，ωz1≈-376rad/s。公称接触角β0=25º，钢球的旋转速度可以通过公式（18）和（20）计算得到该

值近似为零。因此，当>500N时可以认为钢球是在纯滚动状态。

4.轴向和径向载荷下轴承的打滑

在前一节中，仅在角接触球轴承的内圈上施加轴向载荷，在实际应用中，轴向和径向载荷（联合载荷）将同时作用于内圈。与仅仅轴向加载系统相比，联合负荷对打滑行为的影响有明显的不同。在这一

节中，考虑了2种类型的载荷，即：恒定的径向载荷（时不变载荷）和正弦径向载荷（时变载荷）。

6.1.恒定的径向负荷

轴向负荷总是作用在内圈，设置=600N

，径向载荷为为

100,200,300,400,500N，第j=1个钢球运行速度随时间的变化如11所示。径向载荷的添加将引起钢球运行速度ωc1 的小幅波动。径向载荷的增加仅仅减少ωc1的数值，一般情况下，径向负载对轨道运动的影响并不显著。

通过公式（16）-（17）和（19）-（20），可以得到Δuox，Δoy，和Δuix，Δiy，他们为钢球与内外沟道之间椭圆接触区短长轴的相对

滑动速度。为了准确地计算滑动速度，滑动速度的绝对值定义如下：

图9.

在不断增加的情况下对 ωcage

的计算与实验结果进行比较。

图10.转动分量（ωx1，ωy1，ωz1）随时间和轴向载荷的变化

在不同的径向载荷作用下，Δui ，Δuo 随j=1的钢球轨道运动的变化分别如图12和图13所示。 从图12的曲线中可以明显的看出Δui的波动，在轨道周期Top=(2π/ωc1)的某些区域,Δu的值明显大于0，表明严重打滑发生在钢球与内圈接触的区域。一个轨道周期Top可以被划分为四个区域：区域A（（0-0.14）Top和（0.88-1）Top），B区域

（0.14-0.42）Top，C区域（0.42-0.68）Top，D区域（0.68-0.88）Top，如图12所示，很明显，在B和D区域，即使加更高的径向载荷，滑动

速度也很小。这表明，在这2个区域钢球与内滚道之间几乎不存在打滑。而在A和C区域，随着钢球的旋转，滑动速度先增加后减小，A区域滑动速度的最大值大于C

区域的最大值。

的运行速度ωc1

在径向载荷

下随时间的变化

图12.在组合荷载作用下，钢球相对于内圈的绝对速度Δui 。11.钢球图

随着径向载荷的增加，A和C区域的滑动速度也相应增大，表明在这两个区域打滑变得更严重。从图13中可以发现外圈的滑动也有此现象，不同的是，即使加更高的径向载荷D区域的滑动速度也不太低，然而，与A区域和C区域的滑动速度相比，它仍然是较低的值。

在较高的径向载荷下，钢球与内外圈之间的滑动速度出现波动。只要对内圈施加径向载荷其接触载荷分布就会发生显著变化，如图14所示。径向载荷的引入会导致B,D区域的接触力变大，远大于只受到纯轴向载荷时。径向载荷的增加使接触力明显上升，B和D区域被称为载荷增加区域，两载荷区域是由轴向和径向负载综合作用产生的。从图15可以看出径向载荷使B区域的接触力增大，使D区域的接触力减小。在轴向载荷作用下，内圈相对于X轴旋转，如图15所示。然后，钢球和沟道在D区域再接触时将会产生更大的接触力。不过，在相同的载荷条件下，D区域接触力的峰值低于B区域的峰值。在联合载荷条件下，存在两个接触力增加区（B和D），同时也存在两个接触力减小区（A和C）。当施加径向载荷时，这2个区域的接触力减少，加大径向载荷接触力降低的更明显。

在联合载荷作用下，该系统滑动速度的波动，可以用接触力增加的区域来解释。较高的接触力，可提供足够的阻力，以保证钢球处于纯滚动状态，此时滑移速度很小，几乎不存在打滑。钢球从接触力增加的区域移动到接触力减小的区域时，接触力降低，从而没有足够的摩擦力和摩擦力矩来带动钢球运动。

图13.在联合荷载作用下，钢球相对于外圈的绝对速度Δ

uo

图14.第j=1个钢球与内圈之间的接触力

图15.轴承在联合荷载作用下接触力增加和降低区域示意图

宏观的滑移发生在接触区，严重打滑也发生在该接触区。当钢球从接触力减小区运动到接触力增加区时，因接触力的增加其滑动速度将减小，打滑减轻，滑动速度保持在较低值。

从上面的分析中可以得到，当轴向载荷=600N时，轴承几乎不会出现打滑，而径向载荷的加入会使滑动速度产生波动，在接触力减少区更明显，当径向载荷增大时，可以发现更为明显的波动。在这些区域，钢球仍然承受载荷。较大的滑动速度会增加轴承和润滑油的温度，加剧轴承的磨损，缩短轴承的使用寿命。

6.2.正弦曲线的径向载荷

由于旋转机械的旋转，在轴承上的径向载荷可能随时变化。这里，认为随时间变化的径向载荷是正弦变化的，其频率等于内圈沟道的旋转速度。它

可以表示为，其中 Fr 为恒定的径向负荷，μr

=600N，Fr=400N，μ为正弦载荷的相对振幅。轴向载荷保持恒定值即

r =0.0,0.2,0.4时；滑动速度随钢球沟道速度的变化如图16所示。μr =0.0表示径向载荷为常数，只要径向载荷为时变载荷（μr =0.2,0.4），滑动速度随着钢球轨道运动的波动就是非周期性的，这是因为内圈旋转速度和钢球沿轨道速度之比不是整数。在载荷减小的区域，时变载荷使滑动速度增大了，然而，由于非周期性波动，当钢球再次进入相同的载荷降低区域，时变载荷会使滑动速度减小。因此，很难说，时变载荷是否能提高或减轻钢球的打滑。但可以肯定的是，时变载荷可以增大最大滑移速度，如图16所示。此外，其对研究滑移速度随时间稳态变化中的频率分量有很大意义。利用了快速傅里叶变换，得到的滑移速度Δui 的频谱如图17所示。其中恒定径向载荷（μr =0.0），钢球的轨道速度为频率整倍数即 iωc1（i=1,2,3...）。当径向负荷为正弦时间载荷（μr =0.2,0.4）时，iωc1的振幅会相应地增加。除了钢球的轨道速度和它的整数倍外，内圈转速和钢球轨道速度的合速度，即（ωi±iωc）（i=0,1,2，...）。

本段考虑了恒定的正弦径向负荷，分析其对钢球滑动行为的影响。虽然该动态模型已通过与Ref[23]保持架速度的实验结果的比较得到验证，但本节中研究得到的结果在之前未被发现。几个动态的研究已经进行了，重点是分析深沟球轴承的钢球与保持架之间的作用力[24]，干摩擦的摩擦力矩

[25,26],润滑剂的阻力[27]。他们没有研究钢球在联合载荷作用下其在三维空间中的运动情况，下边我们将对钢球在不同载荷条件下的三维运动进行实验研究。

图16.

时变的径向负荷对滑动

图

17.在时变径向载荷和恒定的轴向载荷作用下滑移速度Δui的频谱。

5.结论

该三维非线性动态模型用来预测角接触球轴承的打滑行为，其综合考虑了钢球旋转引起的离心力和陀螺效应，钢球与内外圈的赫兹接触，钢球和保持架之间的不连续接触，弹流动力润滑等。通过与试验结果的比较，验证了

动态模型可靠性。在此基础上，得出了在联合载荷作用下，钢球滑动速度随时间和空间的变化规律。结果表明径向载荷将使钢球与内外圈之间的滑移速度发生波动，在载荷降低区域其波动更明显。径向载荷的增加将显著增加滑动速度的幅度和范围，使打滑更加严重。钢球在接触载荷降低区承受载荷会使滑动速度变大，较大的滑动速度会大大增加轴承和润滑油的温度，加剧轴承磨损，减少轴承的使用寿命。因此，在旋转机械的设计与检测中应认真考虑径向载荷的影响。

本研究中的弹流润滑模型用于重载接触。当轴承在低的外载荷下运行时，钢球与内外沟道之间存在着严重的打滑。在这种情况下，该模型得到的油膜厚度和润滑油的动态粘度可能是不准确的。未来的研究应致力于通过实验来改善严重打滑的条件下的该模型。

致谢

论文中所进行的研究工作由国家摩擦学重点实验室资助。SKLT2013D02 和北京自然科学基金资助项目no. 3131002。

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