有用的待定系数法
[科目] 数学
[关键词] 有用的待定系数法
[文件] sxbj13.doc
[标题] 有用的待定系数法
有用的待定系数法 [内容]
同学们在初一时，见过这样的题目：“已知ｘ2一５=（２一Ａ）·ｘ2＋Ｂｘ＋Ｃ，求Ａ，
Ｂ，Ｃ的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比
较后，就可得到Ａ，Ｂ，Ｃ的值．这里的Ａ，Ｂ，Ｃ是有待于确定的系数，这种解决问题的
方法就是待定系数法．
待定系数法的特点是先根据数量之间的关系所具有的形式，假定一个含有待定的系数的
恒等式，然后根据恒等式的性质列出几个方程，解这个方程组，求出各待定系数的值或从方
程组中消去这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，从而使问题得到解决．
从教科书中的例子，我们知道用待定系数法求一次函数表达式是一种行之有效的方
法．我们再来看一道求二次函数解析式的例子：二次函数对称轴方程为ｘ= -２，过点（１，
６），在ｘ轴上截得长为
2的线段，求其解析式．
我们设所求解析式为
y =a (x -x 1)(x -x 2) =a [x 2-(x 1+x 2) x +x 1x 2],且x 2〉x 1这里a , x 1, x 2是待定的数. 由题意
a (1-x 1)(1-x 2) =6
=-22
x 2-x 1=2x 1+x
解得a =1, x 1=-2-3, x =-2+3.
故y =(x +2-)(x +2+3) =x 2+4x +1
多项式除法问题，常常用到待定系数法。
已知多项式ax 3+bx2+cx+d能被x 2+p整除，求证：ad=bc.
证明：由于三次多项式能被二次式整除，因而其商必为一次式，可设商式为mx+ｎ（ｍ，
ｎ为待定系数）。这样可得出恒式：ax 3+bx2+cx+d=(mx+n)(x2+p),即
ax 3+bx2+cx+d= mx3+nx2+pmx+pn
比较等式两边同类项的系数，得
a=m，b=n,c=pm, d=pn 由ad=pmn, bc=pmn,可得 ad=bc用待定系数法分解因式也很有效．
请看如何把 ｘ2＋ ３xy ＋ 2y 2 +4ｘ＋5y+3分解因式．
因为我们会把一个二次三项式分解成两个一次因式，而这个多项式的前三项是可以分
解的：ｘ2＋ ３xy ＋ 2y 2=(x+y)x(x+2y) 因而可以推断原式若能分解成两个一次因式的乘
设2x -x 2++2x +3=a (x -1) 3+b (x -1) 2+c (x -1) +d ,
即2x 3-x 2+2x +3=ax 3+(b -3a ) x 2+(3a -2b +c ) x -a +b -c +d .
比较两边同类项系数得
⎧a =2⎪b -3a =-1⎪⎨⎪3a -2b +c =2
⎪⎩-a +b -c +d =3
解得a =2, b =5, c =6, d =6.
故2x 3-x 2+2x +3=2(x -1) 3+5(x -1) 2+6(x -1) +6
巧用待定系数法求某些高次方程的根, 十分简便.
例如, 已知方程x 3-x 2-8x +12=0有两个根相等, 解这个方程..
设这个方程的根是a . a . b (a . b 待定), 由于最高项的系数是1, 故令
x 3-x 2-8x +12=(x -a ) 2(x -b )
=x 3-(2a +b ) x 2+(a 2+2ab ) x -a 2b .
比较恒等式两端的系数, 得
⎧2a +b =1, ⎪2⎨a +2ab =-8,
⎪a 2b =-12⎩
411由(1)(2) 解得a =2, b =-3或a =-, b =, 其中只有a =2, b =-3满足方程(3). 故原33
方程的根是2, 2, -3.
积，则必然是（ｘ十ｙ＋ｍ）（ｘ＋Ｚｙ十ｎ）的形式．再利用多项式恒等求出ｍ、ｎ，则
原式所分解的因式即可求出．具体求法留给同学们完成，答案是ｍ＝１，ｎ=３．
把多项式表示成另一个多项式的各次幂的形式，也可用待定系数法．
如试用（ｘ一１）的各次幂表示出多项式2x 3-x 2+2x+3.用待定系数法解题的思路是：
初二阶段，我们学过把分式化为部分分式的方法，实际上
就是待定系数法．我们再通过一个例子来回顾一下：化分式
23x -11x 2
为部分分式(2x -1)(9-x 2)
因为原分式分母中的因式 ２ｘ一１与（３＋ｘ）（３一ｘ）是互
质的因式，所以原分式可化为下面三个真分式的和：
a b c 23x -11x 2a b c ++设=++, 即得2z -13+x 3-x (2x -1)(9-x 2) 2x -13+x 3-x
23x -11x 2=a (3+x )(3-x ) +b (2x -1)(3-x ) +c (2x -1)(3+x ),
12令x =代入(1) 得:a =1; 令x =-3代入(1) 得:b =4; 令x =3代入(1) 得:c =-23
23x -11x 2142故=++. (2x -1)(9-x 2) 2x -13+X 3(3-x )
待定系数法还有许许多多的应用，随着同学们学习的不断深化将更会体会到这一点。