[流体力学]Ⅰ主要公式及方程式

《流体力学与流体机械》(上) 主要公式及方程式

1．流体的体积压缩系数计算式：β1d ρ

p =-

1d V V d p =

ρd p

流体的体积弹性系数计算式：E =-V

d p d p

d V =ρd ρ

流体的体积膨胀系数计算式：βd V T =

1V d T =-

1d ρ

ρd T

2．等压条件下气体密度与温度的关系式：ρ0t =

ρ1+βt

， 其中β=1

273。

3T =±μA

d u

d y

或 τ=T d u A =±μd y

恩氏粘度与运动粘度的转换式：ν=(0. 0731E -

0. 0631

E

) ⨯10-4 f 1∂p

⎫x -ρ∂x =0⎪f r -1∂p =0⎫⎪

ρ∂r ⎪

⎪4．欧拉平衡微分方程式： f ⎪y -1∂p ρ∂y =0⎪

⎬ 和 f θ-1∂p ρ=0⎬

f 1∂p ⎪r ∂θρ∂z =0⎪⎪

⎪⎭f 1∂p

⎪z -z -ρ∂z =0⎪

⎭

欧拉平衡微分方程的全微分式： d p =ρ(f x d x +f y d y +f z d z ) d p =ρ(f r d r +f θr d θ+f z d z ) 5 f x d x +f y d y +f z d z =0

f r d r +f θr d θ+f z d z =0 6p

γ

+z =C 或

p 1

γ

+z p 2

1=

γ

+z 2 或 p 1+ρg z 1=p 2+ρg z 2相对于大气时： p m +(ρ-ρa ) g z =C 或 p m 1+(ρ-ρa ) g z 1=p m 2+(ρ-ρa ) g z 2 7p =p 0+γh ，其中p 0为自由液面上的压力。

8．水平等加速运动液体静压力分布式：p =p 0-ρ(ax +gz ) ；等压面方程式：ax +g z =C ；自由液面方程式：ax +g z =0。注意：p 0为自由液面上的压力。

9．等角速度旋转液体静压力分布式：p =p 0+γ(

ω2r 2

2g

-z ) ；等压面方程式：

ω2r 2

2

-g z =C ；自

由液面方程式：

ω2r 2

2

-g z =0。注意：p 0为自由液面上的压力。

10．静止液体作用在平面上的总压力计算式：P =(p 0+γh c ) A =p c A ，其中p 0为自由液面上的相对压力。

压力中心计算式：y D =y c +

γsin αI xc

(p 0+γy c sin α) A

I x c y c A

或y D -y c =

I x c y c A

。

当自由液面上的压力为大气压时：y D =y c +矩形截面的惯性矩I xc 计算式：I xc =圆形截面的惯性矩I xc 计算式：I xc

11b h 3； 三角形截面的惯性矩I xc 计算式：I xc =b h 3 1236π4=d 64

11．静止液体作用在曲面上的总压力的垂直分力计算式：P z =p 0A z +γV P ，注意：式中p 0应为自由液面上的相对压力。 12

∂u x ∂u x ∂u x ∂u x ⎫

+u x +u y +u z ∂τ∂x ∂y ∂z ⎪

⎪

∂u y ∂u y ∂u y ∂u y ⎪

+u x +u y +u z 直角坐标系： a y =⎬ ∂τ∂x ∂y ∂z ⎪∂u ∂u z ∂u z ∂u z ⎪a z =z +u x +u y +u z

∂τ∂x ∂y ∂z ⎪⎭

a x =

∂u r ∂u r ∂u r ∂u r u θ2

a r =+u r +u θ+u z -

∂τ∂r r ∂θ∂z r ∂u ∂u ∂u ∂u u u

圆柱坐标系： a θ=θ+u r θ+u θθ+u z θ+r θ

∂τ∂r r ∂θ∂z r ∂u ∂u z ∂u z ∂u z

a z =z +u r +u θ+u z

∂τ∂r r ∂θ∂z

⎫

⎪⎪⎪⎬ ⎪⎪⎪⎭

流体质点的压力、密度等流动参量对时间的变化率计算式：

d p ∂p ∂p ∂p ∂p

=+u x +u y +u z d τ∂τ∂x ∂y ∂z d ρ∂ρ∂ρ∂ρ∂ρ

=+u x +u y +u z

∂τ∂x ∂y ∂z d τ13

d r r d θd z d x d y d z

==== 及 u x u y u z u r u θu z

∂ρ∂(ρu x ) ∂(ρu y ) ∂(ρu z )

14．三维连续性方程式的一般式： +++=0

∂τ∂x ∂y ∂z

∂ρρu r ∂(ρu r ) ∂(ρu θ) ∂(ρu z ) ++++=0 ∂τr ∂r r ∂θ∂z

∂u x ∂u y ∂u z

15．不可压缩流体的三维连续性方程式：++=0

∂x ∂y ∂z u r ∂u r ∂u θ∂u z

+++=0∂r r ∂θ∂z r 16M =ρ11A 1=ρ22A 2 对于不可压缩流体： Q =1A 1=2A 2

∂u ∂u ∂u ⎫1∂p ∂u x

=+u x x +u y x +u z x ⎪ρ∂x ∂τ∂x ∂y ∂z

⎪

∂u y ∂u y ∂u y ⎪1∂p ∂u y

=+u x +u y +u z 17f y -⎬ ρ∂y ∂τ∂x ∂y ∂z ⎪1∂p ∂u z ∂u ∂u ∂u f z -=+u x z +u y z +u z z ⎪

ρ∂z ∂τ∂x ∂y ∂z ⎪⎭

f x -

1∂p ∂u r ∂u r ∂u r ∂u r u θ2

f r -=+u r +u θ+u z -

ρ∂r ∂τ∂r r ∂θ∂z r

∂u ∂u ∂u u u 1∂p ∂u θ

=+u r θ+u θθ+u z θ+r θ f θ-

ρr ∂θ∂τ∂r r ∂θ∂z r 1∂p ∂u z ∂u ∂u z ∂u f z -=+u r z +u θ+u z z

ρ∂z ∂τ∂r r ∂θ∂z

⎫

⎪⎪⎪⎬ ⎪⎪⎪⎭

∂z ∂u ∂u 1∂p ⎫

+g ++u =0⎪ρ∂s ∂s ∂τ∂s ⎪

18．沿流线的欧拉运动微分方程式：⎬ 2

∂z u 1∂p ⎪+g =

⎪ρ∂r ∂r r ⎭对于稳定流动：

d p

ρ

+g d z +u d u =0

1

ρu 2=C 2

19p +ρg z +或 p 1+ρg z 1+

112ρu 12=p 2+ρg z 2+ρu 2 22

112

相对于大气时： p m 1+(ρ-ρa ) g z 1+ρu 12=p m 2+(ρ-ρa ) g z 2+ρu 2

22

∑F x =ρ2A 2u n 2u x 2-ρ1A 1u n 1u x 1⎫

⎪

20∑F y =ρ2A 2u n 2u y 2-ρ1A 1u n 1u y 1⎬

⎪

∑F z =ρ2A 2u n 2u z 2-ρ1A 1u n 1u z 1⎭

∑F x =ρQ (u x 2-u x 1) ⎫

⎪

或 ∑F y =ρQ (u y 2-u y 1) ⎬

∑F z =ρQ (u z 2-u z 1) ⎪⎭

21．稳定流的动量矩方程式：M =∑F ⨯r =ρQ (u 2⨯r 2-u 1⨯r 1)

或 M =∑F τr =ρQ (u 2τr 2-u 1τr 1)

⎫1∂u z ∂u θ1∂u z ∂u y ⎫ω=(-) ωx =(-) ⎪r ⎪

2r ∂θ∂z 2∂y ∂z ⎪⎪

∂u ⎪1∂u 1∂u ∂u ⎪

22ωy =(x -z ) ⎬ 及 ωθ=(r -z ) ⎬

2∂z ∂r 2∂z ∂x ⎪⎪1u θ∂u θ∂u r ⎪1∂u y ∂u x ⎪

ωz =(+-) ⎪ωz =(-) ⎪

2r ∂r r ∂θ⎭2∂x ∂y ⎭⎫∂u z ∂u y ⎫∂u z ∂u θ

-ξ=-⎪r ⎪∂y ∂z ⎪r ∂θ∂z ⎪∂u ∂u ⎪∂u ∂u ⎪

流体微团的涡量计算式：ξy =x -z ⎬ 及 ξθ=r -z ⎬

∂z ∂r ∂z ∂x ⎪⎪u θ∂u θ∂u r ⎪∂u y ∂u x ⎪

ξz =+-ξz =-⎪⎪

r ∂r r ∂θ⎭∂x ∂y ⎭

ξx =

23εx =

∂u y ∂u x ∂u

，εy =，εz =z ∂x ∂y ∂z

∂u x ∂u y ∂u z

流体微团的体积变形率计算式：ε=εx +εy +εz = ++

∂x ∂y ∂z 1∂u z ∂u y ⎫

θx =(+) ⎪

2∂y ∂z ⎪1∂u ∂u ⎪

24θy =(x +z ) ⎬

2∂z ∂x ⎪1∂u ∂u ⎪θz =(y +x ) ⎪

2∂x ∂y ⎭25

d x

ωx

=

d y

ωy

=

d z

ωz

26．涡管的旋涡强度定义式：I =⎰

s

A

rot u ⋅d A =⎰ξ⋅d A =⎰ξx d A x +ξy d A y +ξz d A z

A

A

27．速度环量定义式：Γ=u ⋅d s =u x d x +u y d y +u z d z

s

28u x =

∂ψ∂ψ

，u y =-

∂y ∂x

d ψ=-u y d x +u x d y

对于圆柱坐标系： u r =

1∂ψ∂ψ

，u θ=- r ∂θ∂r

d ψ=-u θd r +u r r d θ 29u x =

∂ϕ∂ϕ∂ϕ

，u y =，u z =

∂x ∂y ∂z

d ϕ=u x d x +u y d y +u z d z 对于圆柱坐标系： u r =

∂ϕ1∂ϕ∂ϕ，u θ=，u z = ∂r r ∂θ∂z

d ϕ=u r d r +u θr d θ+u z d z 30．平行于x 轴的均匀直线流的流函数和速度势函数的表达式：

ψ=u 0y ⎫

ϕ=u 0x ⎬⎭

Q Q -1y ⎫θ=±tg ⎪⎪2π2πx 31．源流与汇流的流函数和速度势函数的表达式： ⎬ Q Q ϕ=±ln r =±ln x 2+y 2⎪

⎪2π2π⎭

ψ=±

ΓΓ⎫

ln r =-ln x 2+y 2⎪

⎪2π2π32．涡流（点涡）的流函数和速度势函数的表达式：⎬ ΓΓ-1y ⎪ϕ=θ=tg

⎪2π2πx ⎭

ψ=-

33．偶极流的流函数和速度势函数的表达式：ψ=-

M sin θM y

=-22

2πr 2πx +y

ϕ=

M c o θs M x

=

2πr 2πx 2+y 2

34Re =

ρu l u l

= μν

对于圆截面管道： Re =

ρd d

= μν

对于绕流平板： Re =

ρu ∞x u ∞x

=

μν

对于绕流圆柱体及球体：Re =

ρu ∞d u ∞d

=

μν

p 1

2

u 12p 2u 2

=+z 2+α2+h w 35+z 1+α1

γ2g γ2g

1222

或 p 1+γz 1+α1γ=p 2+γz 2+α2γ+∆p w

2g 2g

1222

相对于大气时： p m 1+(γ-γa ) z 1+α1γ=p m 2+(γ-γa ) z 2+α2γ+∆p w

2g 2g l 2l 2l 1

36h f =λ 或 ∆p f =γh f =λγ=λρ2

d 2g d 2g d 2221

37．局部阻力计算公式：h f =K 或 ∆p j =γh j =K γ=K ρ2

2g 2g 238．圆管层流切应力计算式：τ=39u =

11

R m r =γJ r 22

∆p f 4μl

(R 2-r 2) =

γJ 22

(R -r ) 4μ

40．哈根—泊肃叶公式：Q =

γJ γJ πR 4=πd 4 8μ128μ

u u max

y

=() n R

1

4142．层流区阻力系数λ计算式：λ=

64 Re

0. 316435

（4×10

Re

∆68

粗糙管区阿尔特索里阻力系数λ计算式：λ=0. 11(+) 0. 25

d Re

d

阻力平方区尼古拉兹阻力系数λ计算式：λ=(1. 74+2lg ) -2

2∆

光滑管区布拉修斯阻力系数λ计算式：λ=

43=ϕ2g (H 0+

p 0-p b

γ

)

Q =μ2g (H 0+对于敞口液体容器：=ϕgH Q =μ2gH 对于密闭气体容器：=ϕ

2g (p g -p a )

=ϕ

2∆p

p 0-p b

γ

)

γρ

Q =μA

2g (p g -p a )

γ

=μA

2∆p

ρ

2g H (a -g ) 2

44．零压面位于炉底的炉门逸气量计算公式：Q =μB H

3γg

对于斜壁炉门： Q =

2g H (γa -γg ) s i n α2

μB H

3γg

8(λ

45S H =

l l +∑K ) 8ρ(λ+∑K ) 或 S =P 2424πd g πd

h w =S H Q 2 或 ∆p w =S P Q 2

1

46h w =S H (Q z 2+Q z Q t +Q t 2)

31

或 h w =S H (Q 2-QQ t +Q t 2)

3

τx y =τy x =μ(

47τy z

∂u y

τz x

∂x ∂u

=τz y =μ(z

∂y ∂u

=τx z =μ(x

∂z

⎫∂u x

) =2μθz ⎪∂y ⎪∂u y ⎪+) =2μθx ⎬ ∂z ⎪∂u z +) =2μθy ⎪

⎪∂x ⎭+

⎫∂u x 2

-μdiv u ⎪∂x 3

⎪

∂u 2⎪

48σyy =-p +2μy -μdiv ⎬

∂y 3⎪

⎪∂u 2

σzz =-p +2μz -μdiv u ⎪

∂z 3⎭

σxx =-p +2μ

d u x ∂2u x ∂2u x ∂2u x ⎫1∂p =f x -+ν(2++) ⎪d τρ∂x ∂x ∂y 2∂z 2⎪d u y ∂2u y ∂2u y ∂2u y ⎪1∂p

=f y -+ν(2++) ⎬ 49d τρ∂y ∂x ∂y 2∂z 2⎪d u z 1∂p ∂2u z ∂2u z ∂2u z ⎪

=f z -+ν(2++) ⎪d τρ∂z ∂x ∂y 2∂z 2⎭

d δd δ∂p 2

ρu d y -u ρu d y =-(δ+τw ) 50x ∞x

d x ⎰0d x ⎰0∂x

对于绕流平板的情况：

d δ

ρu x (u ∞-u x ) d y =τw ⎰0d x

51．平板层流附面层的解析计算结果：

(1)平板层流附面层厚度δ的计算式：δ=5. 0x Re x

-1

2

(其中Re x =

u ∞x

ν

)

2

(2)平板表面上x 处摩擦切应力τw 的计算式：τw =0. 332ρu ∞Re x

-

1

2

(3)平板表面上x 处摩擦阻力系数C fx 的计算式：C fx =

τw

12ρu ∞2

=0. 664Re x

-

12

2

(4)平板单侧面上总摩擦阻力F f 的计算式：F f =0. 664BL ρu ∞Re L

-

1

2

(5)平板总摩擦阻力系数C f 的计算式：C f =

F f 12ρu ∞BL 2

15

=1. 328Re L (其中Re L =

-

12

u ∞L

ν

)

52．平板紊流附面层的近似计算结果：

(1)平板紊流附面层厚度δ的计算式：δ=0. 382x Re x

(2)平板表面上x 处摩擦切应力τw 的计算式：τw =0. 0297ρu Re x (3)平板表面上x 处摩擦阻力系数C fx 的计算式：C f x =

2∞

-15

-

τw

12ρu ∞2

2∞

=0. 0594Re x

-

15

(4)平板单侧面上总摩擦阻力F f 的计算式：F f =0. 037BL ρu Re L (5)平板总摩擦阻力系数C f 的计算式：C f =

F f 12ρu ∞BL 2

=0. 074Re L (3×105≤Re L ≤107)

-15

-

15

当Re L >107时，C f =

0. 455(lgRe L ) 2. 58

(106≤Re L ≤109)

0. 074A

-0. 2

Re L Re L

53．平板混合附面层总摩擦阻力系数C fM 计算式：C f M =

0. 455A

-

(lgRe L ) 2. 58Re L

(3⨯105≤Re L ≤107) ；

C f M =

(106≤Re L ≤109)

54．粘性流体绕流其他物体时的阻力系数C D 的定义式：C D =

F D 2ρu ∞A 2

24 Re

55．绕流球体的斯托克斯阻力计算公式：F D =3πd μu ∞；阻力系数计算式：C D =56．球体自由沉降速度计算式：u f =

4g d ρs -ρ

3C D ρ

对于非球形物体：u f =

8g V 0ρs -ρ4g d e Ωρs -ρ

或 u f =

3C D ρA 0C D ρ