高中物理奥赛讲义(热学)

热 学

热学知识在奥赛中的要求不以深度见长，但知识点却非常地多（考纲中罗列的知识点几乎和整个力学——前五部分——的知识点数目相等）。而且，由于高考要求对热学的要求逐年降低（本届尤其低得“离谱”，连理想气体状态方程都没有了），这就客观上给奥赛培训增加了负担。因此，本部分只能采新授课的培训模式，将知识点和例题讲解及时地结合，争取让学员学一点，就领会一点、巩固一点，然后再层叠式地往前推进。

一、分子动理论

1、物质是由大量分子组成的（注意分子体积和分子所占据空间的区别）

对于分子（单原子分子）间距的计算，气体和液体可直接用3分子占据的空间，对固体，则与分子的空间排列（晶体的点阵）有关。

【例题1】如图6-1所示，食盐（N a Cl ）的晶体是由钠离子（图中的白色圆点表示）和氯离子（图中的黑色圆点表示）组成的，离子键两两垂直且键长相等。已知食盐的摩尔质量为58.5×10kg/mol，密度为2.2×10kg/m，阿伏加德罗常数为6.0×10mol ，求食盐晶体中两个距离最近的钠离子中心之间的距离。

【解说】题意所求即图中任意一个小立方块的变长（设为a ）的倍，所以求a 成为本题的焦点。

由于一摩尔的氯化钠含有N A 个氯化钠分子，事实上也含有2N A 个钠离子（或氯离子），所以每个钠离子占据空间为 v =

V mol

2N A

3

23

－1

－3

3

3

而由图不难看出，一个离子占据的空间就是小立方体的体积a ， 即 a =

3

V mol M /

= mol ，最后，邻近钠离子之间的距离l = 2a 2N A 2N A

－10

【答案】3.97×10m 。

〖思考〗本题还有没有其它思路？

〖答案〗每个离子都被八个小立方体均分，故一个小立方体含有×8个离子 = 分子，

1

8

1

2

所以…（此法普遍适用于空间点阵比较复杂的晶体结构。） 2、物质内的分子永不停息地作无规则运动

固体分子在平衡位置附近做微小振动（振幅数量级为0.1A ），少数可以脱离平衡位置运动。液体分子的运动则可以用“长时间的定居（振动）和短时间的迁移”来概括，这是由于液体分子间距较固体大的结果。气体分子基本“居无定所”，不停地迁移（常温下，速率数量级为10m/s）。

无论是振动还是迁移，都具备两个特点：a 、偶然无序（杂乱无章）和统计有序（分子数比率和速率对应一定的规律——如麦克斯韦速率分布函数，如图6-2所示）；b 、剧烈程度和温度相关。

气体分子的三种速率。最可几速率v P ：f(v) =

∆N

N

2

中ΔN 表示v 到v +Δv 内分子数，N 表示分子总数）极大时的速率，v P =

2RT

=μ

2kT

；平均速率v ：所有分子速率的m

算术平均值，v =

8RT 8kT

=；方均根速率v 2：与分子平πμπm

3RT

=μ

均动能密切相关的一个速率，v 2=8.31J/(mol.K)。k 为玻耳兹曼常量，k =

3kT

〔其中R 为普适气体恒量，R = m

R －23

= 1.38×10J/K 〕 N A

【例题2】证明理想气体的压强P = n εK ，其中n 为分子数密度，εK 为气体分子平均动能。

【证明】气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的撞击力，这里可以设理想气体被封闭在一个边长为a 的立方体容器中，如图6-3所示。

考查yoz 平面的一个容器壁，P =

F

a 2

23

①

设想在Δt 时间内，有N x 个分子（设质量为m ）沿x 方向以恒定的速率v x 碰撞该容器壁，且碰后原速率弹回，则根据动量定理，容器壁承受的压力

F =

∆p N x ∙2mv x

= ② ∆t ∆t

在气体的实际状况中，如何寻求N x 和v x 呢？

考查某一个分子的运动，设它的速度为v ，它沿x 、y 、z 三个方向分解后，满足

22

v = v 2x + v y + v z

2

分子运动虽然是杂乱无章的，但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律，即

222v 2 = v 2x + v y + v z = 3v x ③

这就解决了v x 的问题。另外，从速度的分解不难理解，每一个分子都有机会均等的碰撞3个容器壁的可能。设Δt =

1

6

12

3

a

，则 v x

Nx = ·3N 总 = na ④

注意，这里的是指有6个容器壁需要碰撞，而它们被碰的几率是均等的。 结合①②③④式不难证明题设结论。 〖思考〗此题有没有更简便的处理方法？

〖答案〗有。“命令”所有分子以相同的速率v 沿+x、−x 、+y、−y 、+z、−z 这6个方向运动（这样造成的宏观效果和“杂乱无章”地运动时是一样的），则 Nx =N 总 = na ；而且v x = v

13

na ∙2mv x

F 12N x ∙2mv x 2

所以，P = 2 = ==nm = n εK v x

3a 3∆t ∙a 22

∙a v x

16

16

3

16

3、分子间存在相互作用力（注意分子斥力和气体分子碰撞作用力的区别），而且引力和斥力同时存在，宏观上感受到的是其合效果。

分子力是保守力，分子间距改变时，分子力做的功可以用分子势能的变化表示，分子势能E P 随分子间距的变化关系如图6-4所示。

分子势能和动能的总和称为物体的内能。

二、热现象和基本热力学定律

1、平衡态、状态参量

a 、凡是与温度有关的现象均称为热现象，热学是研究热现象的科学。热学研究的对象都是有大量分子组成的宏观物体，通称为热力学系统（简称系统）。当系统的宏观性质不再随时间变化时，这样的状态称为平衡态。

b 、系统处于平衡态时，所有宏观量都具有确定的值，这些确定的值称为状态参量（描述气体的状态参量就是P 、V 和T ）。

c 、热力学第零定律（温度存在定律）：若两个热力学系统中的任何一个系统都和第三个热力学系统处于热平衡状态，那么，这两个热力学系统也必定处于热平衡。这个定律反映出：处在同一热平衡状态的所有的热力学系统都具有一个共同的宏观特征，这一特征是由这些互为热平衡系统的状态所决定的一个数值相等的状态函数，这个状态函数被定义为温度。 2、温度

a 、温度即物体的冷热程度，温度的数值表示法称为温标。典型的温标有摄氏温标t 、华氏温标F （F = t + 32）和热力学温标T （T = t + 273.15）。

b 、（理想）气体温度的微观解释：εK = kT （i 为分子的自由度 = 平动自由度t + 转动自由度r + 振动自由度s 。对单原子分子i = 3 ，“刚性”〈忽略振动，s = 0，但r = 2〉双原子分子i = 5 。对于三个或三个以上的多原子分子，i = 6 。能量按自由度是均分的），所以说温度是物质分子平均动能的标志。

c 、热力学第三定律：热力学零度不可能达到。（结合分子动理论的观点2和温度的微观解释很好理解。） 3、热力学过程

a 、热传递。热传递有三种方式：传导（对长L 、横截面积S 的柱体，Q = K 对流和辐射（黑体表面辐射功率J = αT ）

b 、热膨胀。线膨胀Δl = αl 0Δt

【例题3】如图6-5所示，温度为0℃时，两根长度均为L 的、均匀的不同金属棒，密度分别为ρ1和ρ2 ，现膨胀系数分别为α1和α2 ，它们的一端粘合在一起并从A 点悬挂在天花板上，恰好能水平静止。若温度升高到t ℃，仍需它们水平静止平衡，则悬点应该如何调整？

【解说】设A 点距离粘合端x ，则 ρ1（

L (ρ1-ρ2) L L

− x ）=ρ2（ + x ） ，得：x =

2(ρ1+ρ2) 22

4

9

5

i 2

T 1-T 2

S Δt ）、L

设膨胀后的长度分别为L 1和L 2 ，而且密度近似处理为不变，则同理有

ρ1（

L 12

− x ′）=ρ2（

L ρ

-L ρL 2

+ x ′） ，得：x ′= 1122

2(ρ1+ρ2) 2

另有线膨胀公式，有 L1 = L（1 + α1t ），L 2 = L（1 + α2t ） 最后，设调整后的悬点为B ，则AB = x′− x 【答案】新悬点和原来的悬点之间相距

α1ρ1-α2ρ2

Lt 。

2（ρ1+ρ2）

L L

ρ1 、ρ2′= ρ2 ，此题仍然是

L 2L 1

〖说明〗如果考虑到密度变化的实际情况ρ1′= 可解的，但最后的结果却复杂得多…

c 、系统由一个平衡态变化到另一个平衡态，即构成一个热力学过程。特殊的热力学过程有等压过程、等温过程、等容过程、绝热过程和自由膨胀等。

准静态过程：如果变化过程相对缓慢，则过程的每一个状态可视为平衡态，这样的过程也称为准静态过程。

循环：如果系统经过一系列的变化后，又回到原来的平衡态，我们成这个过程为循环。 d 、热力学第一定律：外界对系统所做的功W 和系统从外界吸收热量Q 之和，等于系统内能的增量ΔE ，即 ΔE = Q + W 。热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的具体体现。

e 、热力学第二定律：克劳修斯表述（克劳修斯在1850年提出）：热量总是自动的从高温物体传到低温物体，不可能自动地由低温物体向高温物体传递。开尔文表述（开尔文在1851年提出）：不存在这样一种循环过程，系统从单一热源吸取热量，使之完全变为有用功而不产生其他影响。

违背热力学第二定律并不违背能量守恒，它所展示的是热力学过程的不可逆性——即自发的热力学过程只会朝着混乱程度（熵）增大的方向发展。

三、理想气体

1、气体实验三定律

在压强不太大，温度不太低的条件下，气体的状态变化遵从以下三个实验定律 a 、玻意耳-马略特定律：一定质量气体温度不变时，P 1V 1 = P2V 2或PV = 恒量 b 、查理定律：一定质量气体体积不变时，

P P 1P

= 2或 = 恒量

T 2T 1T

V V 1V

= 2或 = 恒量

T T 2T 1

c 、盖·吕萨克定律：一定质量气体压强不变时，

【例题4】如图6-6所示，一端封闭、内径均匀的玻璃管长L = 100cm ，其中有一段长L ′= 15cm的水银柱把一部分空气封闭在管中。当管水平放置时，封闭气柱A 长L A = 40cm 。现把管缓慢旋转至竖直后，在把开口端向下插入水银槽中，直至A 端气柱长L A " = 37.5cm 为止，这时系统处于静止平衡。已知大气压强P 0 = 75cmHg，过程温度不变，试求槽内水银进入管内的水银柱的长度h 。

【解说】在全过程中，只有A 部分的气体质量是不变的，B 部分气体则只在管子竖直后质量才不变。所以有必要分过程解本题。

过程一：玻管旋转至竖直 A 部分气体，L A ′=

P A 75

L ×40 = 50cm A = 75-15P A

此时B 端气柱长L B ′= L − LA ′− L′= 100 − 50 − 15 = 35cm 过程二：玻管出入水银槽

A 部分气体（可针对全程，也可针对过程二），P A

"

'

50L A

= P A '= ×60 = 80cmHg

37. 5L A

B 部分气体，L B

"

'

P P B 75'

L B = = L B '= 0×35 ≈ 27.6cm

80+15P B P A +P L '

最后，h = L - L A "− L′− L B " 【答案】19.9cm 。 2、理想气体

宏观定义：严格遵守气体实验定律的气体。

微观特征：a 、分子本身的大小比起它们的间距可以忽略，分子不计重力势能；b 、除了短暂的碰撞过程外，分子间的相互作用可以忽略——意味着不计分子势能；c 、分子间的碰撞完全是弹性的。

*理想气体是一种理想模型，是实际气体在某些条件约束下的近似，如果这些条件不满足，我们称之为实际气体，如果条件满足不是很好，我们还可以用其它的模型去归纳，如范德瓦尔斯气体、昂尼斯气体等。

理想气体压强的微观解释：P = n εK ，其中n 为分子数密度（n = 3、理想气体状态方程：一定质量的理想气体，

23N V

）。

P 1V 1P V PV

= 22或 = 恒量

T 2T 1T

理想气体状态方程可以由三个试验定律推出，也可以由理想气体的压强微观解释和温度微观解释推导得出。

【例题5】如图6-7所示，在标准大气压下，一端封闭的玻璃管长96cm ，内有一段长20cm 的水银柱，当温度为27℃且管口向上竖直放置时，被封闭的气柱长为60cm 。试问：当温度至少升高到多少度，水银柱才会从玻璃管中全部溢出？

【解说】首先应该明确的是，这是一个只有唯一解的问题还是一个存在范围讨论的问题。

如果是前一种可能，得：T 2 = 380K

但是，仔细研究一下升温气体膨胀的全过程，就会发现，在某些区域，准静态过程是不可能达成的，因此状态方程的应用失去意义。

为了研究准静态过程是否可能达成，我们可以假定水银柱是受到某种制约而准静态膨胀的，这样，气柱的压强只受玻马定律制约（而与外界大气压、水银柱长没有关系），设为P 。而对于一般的末状态，水银柱在管中剩下的长度设为x 。从初态到这个一般的末态

PL （76+20）⨯60P 1L 1P (96-x ) 19. 2T

= ，即 = ，得 P =

T 300T 1T 96-x

（76+20）⨯60P L 76⨯96P 1L 1

= 22，即 = ，

T 2T 2300T 1

隔离水银柱下面的液面分析，可知 P ≤ 76 + x时准静态过程能够达成（P 可以随升温而增大，直至不等式取等号），而P ＞ 76 + x时准静态过程无法达成（T 升高时，P 增大而x 减小），水银自动溢出。

所以，自动溢出的条件是：T ＞ 考查函数 y =

12

（－x + 20x + 7296） 19. 2

12

（－x + 20x + 7296）发现，当x = 10cm 19. 2

时，y max = 385.2K

而前面求出的x = 0时，T 只有380K ，说明后阶段无须升．．．．．．温，即是自动溢出过程（参照图6-8理解）。而T ＞ ymax 即是．．．．．．．．．．题意所求。

【答案】385.2K 。

a 、推论1：

P 1P

= 2，此结论成功地突破了“质量一定”的条件约束，对解某些

ρ2T 2ρ1T 1

特殊问题非常有效。

b 、克拉珀龙方程：原方程中，将“恒量”定量表达出来就成为PV = νRT ，其中ν为气体的摩尔数，这个结论被成为克拉珀龙方程。它的优点是能使本来针对过程适用的方程可以应用到某个单一的状态。

c 、推论2：气体混合（或分开）时，很容易由克拉珀龙方程导出。

【例题6】图6-9是一种测量低温用的气体温度计，它的下端是测温泡A ，上端是压力计B ，两者通过绝热毛细管相连，毛细管容积不计。操作时先把测温计在室温T 0下充气至大气压P 0 ，然后加以密封，再将A 浸入待测液体中，当A 和待测液体达到热平衡后，B 的读数为P ，已知A 和B 的容积分别为V A 和V B ，试求待测液体的温度。

【解说】本题是“推论2”的直接应用

P 0(V A +V B ) PV PV

= A + B T 0T A T 0

P 1V 1P V P V

+ 22 + „ + n n

T 2T n T 1

⇔

PV

，这个推论T

【答案】T A =

PV A T 0

P 0(V A +V B ) -PV B

【例题7】图6-10所示是一定质量理想气体状态变化所经历的P-T 图线，该图线是以C 点为圆心的圆。P 轴则C 点的纵坐标P C 为单位（T 轴以T C 为单位）。若已知在此过程中气体所经历的最低温度为T 0 ，则在此过程中，气体密度的最大值ρ和最小值ρ2之比ρ1/ρ2应等于多少？

【解说】本题物理知识甚简，应用“推论1”即可。

P 1P P T P /T ρ

= 2 ⇒ 1 = 12 = 11

ρ2T 2ρ1T 1P 2T 1P 2/T 2ρ2

1

此式表明，值和极小值。

P P

越大时，ρ就越大。故本题归结为求的极大T T

方法一：P 与T 的关系服从圆的方程（参数方程为佳） T = Tc + rcosθ P = PC + rsinθ 引入 y =

P +r sin θP

= C ，然后求这个函数的极值„

T C +r cos θT

方法二：见图6-11，从正切值，求

P P

的几何意义可知，等于状态点到原点的连线与T 轴夹角的T T

P

的极大和极小归结为求这个正切值的极大和极小—T

—很显然，当直线与圆周的两处相切时，出现了这样的极大和极小值。

θ

max

= α + β ，θ

P C

T C

r

22C +P C

min

=α − β

而 tgα=

sin β= ⇒ tgβ=

T C -T 02T C T 0

（注意：依题意，r = TC − T0 ） 所以 tgθ

=

P 2T C T 0+T C (T C -T 0) tg α+tg β

= C

1-tg αtg βT C 2T C T 0-P C (T C -T 0) P 2T C T 0-T C (T C -T 0) tg α-tg β

= C

1+tg αtg βT C 2T C T 0+P C (T C -T 0)

P C 2T C T 0-T C (T C -T 0) T C 2T C T 0+P C (T C -T 0)

max

tgθ

min

=

【答案】〔

P C 2T C T 0+T C (T C -T 0) T C 2T C T 0-P C (T C -T 0)

〕/〔〕。

d 、道尔顿分压定律：当有n 种混合气体混合在一个容器中时，它们产生的压强等于每一种气体单独充在这个容器中时所产生的压强之和。即 P = P1 + P2 + P3 + „ + Pn 4、理想气体的内能、做功与吸放热计算

a 、理想气体的内能计算

由于不计分子势能，故 E = N·εK = NkT = N

i

2

i R 2N A

T = ν

i 2

RT ，其中N 为分子总

数，ν为气体的摩尔数。由于（对一定量的气体）内能是温度的单值函数，故内能的变化与过程完全没有关系。

b 、理想气体的做功计算

气体在状态变化时，其压强完全可以是变化的，所以气体压力的功从定义角度寻求比较困难。但我们可以从等压过程的功外推到变压过程的功（☆无限分割→代数累计„），并最终得出这样一个非常实用的结论：准静态过程理想气体的功W 总是对应P-V 图象中的“面积”。这个面积的理解分三层意思——

①如果体积是缩小的，外界对气体做功，面积计为正；②如果体积是增大的，气体对外界做功，面积计为负；③如果体积参量变化不是单调的（例如循环过程）

，则面积应计相

应的差值。如图6-3所示。

（☆学员思考：气体膨胀是不是一定对外做功？…） c 、吸放热的计算

初中所学的通式Q = cmΔT 仍适用，但值得注意的是，对固体和液体而言，比热容c 基本恒定（和材料相关），但对气体而言，c 会随着过程的不同而不同。

对理想气体，我们一般引进“摩尔热容”C （从克拉珀龙方程知，我们关心气体的摩尔数更甚于关心气体的质量），物理意义：1摩尔物质温度每升高1K 所吸收的热量。摩尔热容和比热容的关系C =

cm

。 ν

①等容过程的摩尔热容称为“定容摩尔热容”，用C V 表示，所以 Q = νC V ΔT ②等压过程的摩尔热容称为“定压摩尔热容”，用C P 表示，所以 Q = νC P ΔT 对于其它的复杂过程而言，摩尔热容的表达比较困难，因此，用直接的途径求热量不可取，这时，我们改用间接途径：即求得ΔE 和W 后，再用热力学第一定律求Q 。（☆从这个途径不难推导出：① C V = R ，C P = R + R ，即C P = CV + R … ；② E = νC V T ）

【例题8】0.1mol 的单原子分子理想气体，经历如图6-13所示的A →B →C →A 循环，已知的状态途中已经标示。试问：

（1）此循环过程中，气体所能达到的最高温度状态在何处，最高温度是多少？ （2）C →A 过程中，气体的内能增量、做功情况、吸放热情况怎样？

【解说】（1）介绍玻马定律的P-V 图象，定性预计T max

的大概位置（直线BC 上的某一点）。定量计算PV 的极大值步骤如下——

BC 的直线方程为 P = －V + 2

1

2i 2

i 2

y = PV = －V + 2V

显然，当V = 2时，y 极大，此时，P = 1

代入克拉珀龙方程：1×10×2×10 = 0.1×8.31T max ，解得 Tmax = 240.7K

（2）由克拉珀龙方程可以求得 TC = 180.5K = TB ，T A = 60.2K

ΔE = νi

25－3122R ΔT = 0.1××8.31×(60.2－180.5) = －150.0J

5-332根据“面积”定式，W = 0.5×10×2×10 = 100J

计算Q 有两种选择：a 、Q = νC P ΔT = 0.1××8.31×（60.2－180.5) = －250.0J

b、Q = ΔE － W = －250.0J

【答案】（1）V = 2×10时，T max 为240.7K ；（2）内能减少150.0J ，外界对气体做功100J ，气体向外界放热250J 。

〖思考一〗B →C 过程气体吸放热的情况又怎样？

〖解〗由于B →C 过程一直是气体对外界做功，但内能却是先增后减，所以过程的吸放热情况会复杂一些。

由ΔE = Q + W 不难看出，T B 到T max 阶段肯定是吸热，但在T max 到T C 阶段则无法定性判断。所以这里启用定量方法——

在T max 到T C 阶段取一个极短过程V →（V +ΔV ），在此过程中

ΔE = νi

2－352R ΔT = Δ（PV ）≈ （P ΔV + VΔP ）

1

2123232由于 P = －V + 2 ，有ΔP = －ΔV

故ΔE = （2－V ）ΔV

又 W = －ΔV （P +〈P －ΔP 〉）= －P ΔV +ΔP ΔV ≈ －P ΔV =（V －2）ΔV （“过程极短”的缘故…）

所以 Q = ΔE －W =（5－2V ）ΔV

Q ＜ 0时，气体开始放热，即 V ＞ 2.5时开始吸热（转变体积V ′= 2.5×10m ，对应转变压强P ′= 0.75×10P a ，转变温度T ′= 225.6K）。

a 、吸热阶段：ΔE = 0.1××8.31×（225.6－180.5）= 56.2J

W = －（1.5 + 0.75）×10×（2.5－1）×10 = －168.8J

Q = ΔE －W = 225.0J 125-35-[1**********]2

b 、放热阶段：ΔE = 0.1××8.31×（180.5－225.6）= －56.2J

W = －（0.5 + 0.75）×10×（3－2.5）×10 = －31.3J

Q = ΔE －W = －24.9J

（说明：如果针对B →C 全程计算，不难得出Q = 200.0J 。那么，分出吸热、放热的细节是不是没有必要呢？不能这样认为。因为热传递的过程具有不可逆性，所以这里的热量“总帐”对气体可能是与“细帐”没有区别，但对外界而言，吸热必然是来自高温热源，而放热却是针对低温热源，它们就象同一个公司的两个不同贸易伙伴，算清具体往来显然是必要的。）

〖答〗从高温热源吸收225.0J 的热量，向低温热源放出24.9J 的热量。

〖思考二〗B →C 过程吸热过程和放热过程的摩尔热容分别是多少？

〖解答〗解略。吸热过程C 1 = 49.9J/(mol〃K) ，放热过程C 2 = 5.54 J/(mol〃K) 。 〖思考三〗整个循环的效率是多少？

〖解答〗A →B 过程吸热 Q = νC V ΔT = 0.1××8.31×(180.5－60.2)= 150.0J ，B →C 过程吸热225J ，C →A 过程只放热，所以全过程（从高温热源）的吸热总量为375J 。

整个循环对外做的功就是△ABC 的面积，绝对值为×1.0×10×2×10− = 100J 5332125-3321

2

所以，效率η =

放热的重要性。） W 100 = = 26.7% 。（从这个计算我们可以进一步领会区分吸热和Q 吸375

【例题9】如图6-14所示，A 和B 是两个圆筒形绝热容器，中间用细而短的管子连接，管中有导热性能良好的阀门K ，而管子和阀门对外界却是绝热的。F 是带柄的绝热活塞，与容器A 的内表面紧密接触，不漏气，且不计摩擦。

开始时，K 关闭，F 处于A 的左端。A 中有ν摩尔、温度为T 0的理想气体，B 中则为真空。现向右推动F ，直到A 中气体的体积与B 的容积相等。在这个过程中，已知F 对气体做功为W ，气体温度升为T 1 ，然后将K 稍稍打开一点，使A 中的气体缓慢向B 扩散，同时让活塞F 缓慢前进，并保持A 中活塞F 附近气体的压

强近似不变。不计活塞、阀门、容器的热容量，

试问：在此过程中，气体最后的温度T 2是多少？

【解说】为求温度，可以依据能量关系或状态

方程。但事实证明，仅用状态方程还不够，而要

用能量关系，摩尔热容、做功的寻求是必不可少的。

过程一：K 打开前，过程绝热，据热力学第一定律，ΔE = W

又由 E = νC V T 知ΔE = νC V （T 1 − T0）

因此，C V = W ① ν(T 1-T 0)

νRT 1 ② V 1而且在末态，P 1 =

过程二：K 打开后，过程仍然绝热，而且等压。所以，

W ′= P1（V 1 − V 1′） ，其中V 1′为A 容器最终的稳定容积。

〖学员思考〗此处求功时ΔV 只取A 容器中气体体积改变而不取整个气体的体积改变，为什么？——因为B 容器中气体为自由膨胀的缘故… ．．．．

为求V 1′，引进盖·吕萨克定律 'V +V 1V 1 = 1 T 2T 1

从这两式可得 W′= P1V 12T 1-T 2 ③ T 1

而此过程的ΔE ′= νC V ΔT = νC V （T 2 − T1） ④

（注意：这里是寻求内能增量而非热量，所以，虽然是等压过程，却仍然用C V 而非C P ） 最后，结合①②③④式对后过程用热力学第一定律即可。

【答案】T 2 =

2νR (T 1-T 0) +W T 1 。 νR (T 1-T 0) +W

四、相变

相：热学系统中物理性质均匀的部分。系统按化学成分的多少和相的种类多少可以成为一元二相系（如冰水混合物）和二元单相系（如水和酒精的混合液体）。相变分气液相变、固液相变和固气相变三大类，每一类中又有一些具体的分支。相变的共同热学特征是：相变伴随相变潜热。

1、气液相变，分气化和液化。气化又有两种方式：蒸发和沸腾，涉及的知识点有饱和气压、沸点、汽化热、临界温度等。

a 、蒸发。蒸发是液体表面进行的缓慢平和的气化现象（任何温度下都能进行）。影响蒸发的因素主要有①液体的表面积、②液体的温度、③通风条件。从分子动理论的角度不难理解，蒸发和液化必然总是同时进行着，当两者形成动态平衡时，液体上方的气体称为——

饱和气，饱和气的压强称为饱和气压P W 。①同一温度下，不同液体的P W 不同（挥发

性大的液体P W 大），但同种液体的P W 有唯一值（与气、液的体积比无关，与液体上方是否存在其它气体无关）；②同一种液体，在不同的温度下P W 不同（温度升高，P W 增大，函数P W =

L

P 0e

RT ，式中L 为汽化热，P 0为常量）。

汽化热L ：单位质量的液体变为同温度的饱和气时所吸收的热量，它是相变潜热的一种。汽化热与内能改变的关系L = ΔE + PW （V 气 − V液）≈ ΔE + PW V 气

b 、沸腾。一种剧烈的汽化，指液体温度升高到一定程度时，液体的汽化将不仅仅出现在表面，它的现象是液体内部或容器壁出现大量气泡，这些气泡又升到液体表面并破裂。液体沸腾时，液体种类不变和外界压强不变时，温度不再改变。

（从气泡的动力学分析可知）液体沸腾的条件是液体的饱和气压等于外界压强。（如在1标准大气压下，水在100℃沸腾，就是因为在100℃时水的饱和气压时760cmHg 。）

沸点，液体沸腾时的温度。①同一外界气压下，不同液体的沸点不同；②同一种液体，在不同的外界气压下，沸点不同（压强升高，沸点增大）。

c 、液化。气体凝结成液体的现象。对饱和气，体积减小或温度降低时可实现液化；对非饱和气，则须先使它变成饱和气，然后液化。

常用的液化方法：①保持温度不变，通过增大压强来减小气体的体积；②保持体积不变，降低温度。

【例题10】有一体积为22.4L 的密闭容器，充有温度T 1 、压强3atm 的空气和饱和水汽，并有少量的水。今保持温度T 1不变，将体积加倍、压强变为2atm ，这时容器底部的水恰好消失。将空气、饱和水汽都看成理想气体，试问：（1）T 1的值是多少？（2）若保持温度T 1不变，体积增为原来的4倍，容器内的压强又是多少？（3）容器中水和空气的摩尔数各为多少？

【解说】容器中的气体分水汽和空气两部分。容器中压强与空气压强、水汽压强的关系服从道尔顿分压定律。对水汽而言，第二过程已不再饱和。

（1）在T 1 、3atm 状态，3 = P1 + PW （P 1为空气压强）

在T 1 、2atm 状态，2 = P2 + PW （P 2为空气压强）

而对空气，P 1V = P22V

解以上三式得 P1 = 2atm ，P 2 = 1atm ，P W = 1atm ，可得T 1 = 100℃ = 373K

（2）此过程的空气和水汽质量都不再改变，故可整体用玻-马定律：2×2V = P′4V （这里忽略了“少量的”水所占据的体积„）

（3）在一过程的末态用克拉珀龙方程即可。

【答案】（1）373K ；（2）1atm ；（3）均为1.46mol 。

【例题11】如图6-15所示，在一个横截面积为S 的封闭容器中，有一质量M 的活塞把容器隔成Ⅰ、Ⅱ两室，Ⅰ室中为饱和水蒸气，Ⅱ室中有质量为m 的氮气，活塞可以在容器中无摩擦地滑动。开始时，容器被水平地放置在地面上，活塞处于平衡，Ⅰ、Ⅱ两室的温度均为T 0 = 373K，压强为P 0 。现将整个容器缓慢地转到竖直位置，两室的温度仍为T 0 ，但Ⅰ室中有少量水蒸气液化成水。已知水的汽化热为L ，水蒸气和氮气的摩尔质量分别为μ1和μ2 ，试求在整个过程中，Ⅰ室内系统与外界交换的热量。

【解说】容器水平放置时，设水蒸气的体积为V 1 ，氮气的体积为V 2 ；直立时，设有体积为ΔV 的水蒸气液化成水。

直立后水的饱和气在同温度下压强不变，故氮气的压强 P = P0－

在直立过程，对氮气用玻-马定律 P0V 2 = P（V 2 + ΔV ）

结合以上两式可得ΔV = Mg V 2 P 0S -Mg

m RT 0 μ2Mg S 为解决V 2 ，对初态的氮气用克拉珀龙方程 P0V 2 =

这样，ΔV = Mg mRT 0· P 0S -Mg P 0μ2

所以，水蒸汽液化的质量（用克拉珀龙方程）为 Δm =

这部分水蒸气液化应放出热量 Q =Δm ·L =

【答案】向外界放热μ1mMgL ·。 μ2P 0S -Mg μmMg μ1P 0ΔV = 1· μ2P 0S -Mg RT 0μ1mMgL · μ2P 0S -Mg

〖思考〗解本题时，为什么没有考虑活塞对Ⅰ室做的功？

〖答〗注意汽化热L 的物理意义——它其中已经包含了气体膨胀（汽化）或收缩（液化）

所引起的做功因素，若再算做功，就属于重复计量了。

〖*再思考〗Ⅱ中氮气与“外界”交换的热量是多少？

〖*答〗氮气没有相变，就可直接用热力学第一定律。ΔE = 0 ，W = −

= −m V +∆V RT 0ln 2 μ2V 2m Mg m Mg RT 0ln （1 +），所以 Q =ΔE – W = RT 0ln （1 +），吸热。 μ2P 0S -Mg μ2P 0S -Mg

2、湿度与露点

a 、空气的湿度。表示空气干湿程度的物理量，有两种定义方式。①绝对湿度：空气中含有水蒸气的压强；②相对湿度B ：空气中含有水蒸气的压强跟该温度下水的饱和蒸气压的比值，即 B = P ×100%（相对湿度反映了空气中水蒸气离开饱和的程度，人体感知的正P W

是相对湿度而非绝对湿度，以B 值为60~70%比较适宜。在绝对湿度一定的情况下，气温升高，B 值减小——因此，夏天尽管绝对湿度较大，但白天仍感到空气比晚上干燥）。

b 、露点：使空气中的水蒸气刚好达到饱和的温度。露点的高低与空气中含有水蒸气的压强（即绝对湿度）密切相关，根据克拉珀龙方程，也就是与空气中水蒸气的量有关：夏天，空气中水蒸气的量大，绝对湿度大（水蒸气的压强大），对应露点高；反之，冬天的露点低。

3、固液相变，分熔解和凝固。

a 、熔解。物质从故态变成液态。晶体有一定的熔解温度——熔点（严格地说，只有晶体才称得上是固体），非晶体则没有。大多数物质熔解时体积会膨胀，熔点会随压强的增大而升高，但也有少数物质例外（如水、灰铸铁、锑、铋等，规律正好相反）。（压强对熔点的影响比较微弱，如冰的熔点是每增加一个大气压熔点降低0.0075℃。）

熔解热λ：单位质量的晶体在溶解时所吸收的热量。从微观角度看，熔解热用于破坏晶体的空间点阵，并最终转化为分子势能的增加，也就是内能的增加，至于体积改变所引起的做功，一般可以忽略不计。

b 、凝固。熔解的逆过程，熔解的规律逆过来都适用与凝固。

4、固气相变，分升华和凝华。

a 、升华。物质从固态直接变为气态的过程。在常温常压下，碘化钾、樟脑、硫磷、干冰等都有显著的升华现象。

升华热：单位质量的物质在升华时所吸收的热量。（从微观角度不难解释）升华热等于同种物质的汽化热和熔解热之和。

b 、凝华。升华的逆过程。如打霜就是地面附近的水蒸气遇冷（0℃以下）凝华的结果。凝华热等于升华热。

5、三相点和三相图

亦称“三态点”。一般指各种稳定的纯物质处于固态、液态、气态三个相（态）平衡共存时的状态，叫做该物质的“三相点”。该点具有确定的温度和压强（清注意：两相点，如冰点和汽点并不具备这样的特征）。所以三相点这个固定温度适于作为温标的基点，现在都以水的三相点的温度作为确定温标的固定点。

附：几种物质的三相点数据

怎样理解三相点的存在呢？将相变的气化曲线

OK （即饱和气压随温度变化的曲线——对应函数P W

L

= P 0e

RT ）、溶解曲线OL （压强随熔点变化的曲线）、

升华曲线OS （压强随升华点变化的曲线）描绘在同

一个P －t 坐标中，就构成“三相图”。三条曲线的

交点就是三相点，如图6-16所示。

在图中，为了表示三相点的精确位置，坐标的标

度并不是均匀的，所以坐标轴用虚线表示。OK 、OL

和OS 事实上分别是水汽两相点、冰水两相点和冰汽两相点“运动”的结果——也就是相应两相的分界线。

五、固体和液体

1、固体——晶体和非晶体

a 、晶体和非晶体的根本区别是：是否具有固定的熔点。晶体又分为单晶体和多晶体，

单晶体（如石英、云母、明矾、冰等）还具有规则的几何形状、物理性质上表现为各向异性；多晶体（如岩石、金属等）则和非晶体一样，无规则几何形状、各向同性。

b 、空间点阵：组成晶体的微观粒子所形成的规则排列（非晶体没有空间点阵）。晶体之所以具有固定的熔点，是因为发生相变时，吸收的热量全部用来破坏空间点阵结构——分子间距的改变导致分子势能增大，而分子的平均动能则不变。

2、液体的表面张力

a 、表面张力：存在于液体表面的使表面收缩的力。表面张力的微观解释是：蒸发使表面分子间距大于r 0 ，因此分子力体现为引力。

表面张力系数α：设想在液面作长为L 的线段，则线段两边表面张力必垂直于这条线段，且于液面相切，各自的大小均为 f = αL ，其中α称表面张力系数。

b 、浸润现象：液体与固体接触时，若接触角θ（见图

6-17）为锐角，称为浸润现象；反之，接触角为钝角，称为

不浸润。液体相对固体是否浸润取决于液体和固体的组合关

系，如水能浸润玻璃却不能浸润石蜡，水银能浸润锌版却不

能浸润玻璃。

当θ= 0时，称为“完全浸润”；当θ=π时，称为“完

全不浸润”。

从微观角度看，液体能否浸润固体取决于液体与固体接触的“附着层”分子受液体分子力（内聚力）更大还是受固体分子力（附着力）更大。

c 、毛细现象：浸润管壁的液体在毛细管中液面升高，不浸润管壁的液体在毛细管中液面降低的现象。毛细现象的形成事实上是液体表面张力的合效果。

☆如果毛细管的为r ，液体的表面张力系数为α，对管壁的浸润角为θ，不难求出毛细现象导致的液面上升（或下降）量h = 2cos θ 。 ρgr

【例题12】如图6-18所示，在一个两端开口的、半径为1mm 的长毛细管中

装满水，然后把它竖直地放在空间，认为水完全浸润毛细管，且水的表面张力

系数为7.3×10N/m ，则留在管中的水柱应有多长？

【解说】由于有两个曲面，故曲面边缘的表面张力合力为

F = 2·α2πrcos θ

液柱的重力 G =ρπr hg 2

－2

解它们的平衡方程即可（θ= 0）

【答案】h = 2.94×10m 。

－2