浅谈抛物线焦点弦的性质及应用
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。由于抛物线定义的特殊性,使得它有许多其他圆锥曲线所没有的特征,特别是抛物线过焦点的弦的性质尤其突出,同时也是高考中经常要考查的内容。 设抛物线的方程为y2=2px(P>0),过焦点F ,0作倾斜角为θ的直线,交抛物线于P、Q两点,则线段PQ称为抛物线的焦点弦。 抛物线的焦点弦具有以下性质: 性质1:设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1y2=-p2,x1x2=。 证明:①当θ=90°时,PQ方程为x=,代入y2=2px中有y2=p2, 即y1=p,y2=-p,∴y1y2=-p2.。 ②当θ≠90°时,设直线PQ斜率为k,则 PQ方程为y=k x-与y2=2px联立,消x后得到: ky2-2py-kp2=0,∴y1y2=-p2。 因为y2 1=2px1,y2 2=2px2,所以y2 1・y2 2=4p2x1x2, 所以x1x2===。 例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q,通过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证:直线MQ平行于抛物线的对称轴。 证明:为了方便比较,可将P点横坐标及Q点纵坐标均用P点的纵坐标y1表示, ∴P,y1,Q(x2,y2),但y1y2=-p2,∴y2=-, PM方程是y=x,当x=-时,y=-即为M点的纵坐标,这样M点与Q点的纵坐标相同,故MQ∥Ox。 例2 设坐标原点为O,抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A、B两点,则・=______。 A. B.- C.3 D.-3 解析:设弦的两个端点为A(x1,y1)、B(x2,y2),x1x2=,y1y2=-P2,∴・=x1x2+y1y2=-p2=-= -,故答案选B。 性质2:抛物线焦点弦的长度:AB=p+(x1+x2)=。 证明:分别做AA1、BB1垂直于准线l,由抛物线定义得|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p。 且有|AF|=|AA1|=|AF|・cosα+p, |BF|=|BB1|=p-|BF|・cosα, 于是可得|AF|=,|BF|=。 ∴|AB|=|AF|+|BF|=+==。 故命�}成立。 例3 已知圆M:x2+y2-4x=0及一条抛物线,抛物线顶点在O(0,0),焦点是圆M的圆心F,过F作倾斜角为α的直线l,l与抛物线及圆由上而下顺次交于A、B、C、D四点,若α=arcsin,求|AB|+|CD|。 解:如图3所示,方程x2+y2-4x=0,表示图的圆心为(2,0)即为抛物线的焦点, 对于上述结论,重在考查抛物线的定义、直线方程、根与系数的关系等知识的综合应用,考查数形结合的数学思想,在处理客观题时,可以提高思维起点,迅速求解。 (作者单位:河南省上蔡第一高级中学)