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微分方程的基本概念

02-12

第一节 微分方程的基本概念

1．微分方程：微分方程主要处理未知函数、未知函数的导数与自变量间的关系。 例1：

dy

2x为一阶微分方程。 dx

d2ydy

例2：x2x24x3x3为二阶微分方程。

dxdx

注：微分方程的阶数等于方程中的导数的最高阶数。

2．微分方程的通解：微分方程中的通解包含任意常数，且任意常数的个数等于微分方程的阶数。

注：微分方程的通解必包含任意常数C，因为它是求不定积分，而不是定积分。

例1：解微分方程

dy

2x。 dx

移项，得：dy2xdx

等号两边分别求不定积分，得：dy2xdx， 即有yx2C，其中C为任意常数 于是，微分方程

dy

2x的通解为yx2C，其中C为任意常数 dx

d2y

例2：解微分方程22x。

dx等号两边分别求不定积分，得：

dy

2xdxx2C1，其中C1为任意常数 dx

移项，得：dyx2C1dx

x3

等号两边分别求不定积分，得：yxC1dxC1xC2，其中C1,C2为任

3

2

意常数（要注意到C1,C2为两个不相关的常数，不能都写为C）

d2yx3

于是，微分方程22x的通解为yC1xC2，其中C1,C2为任意常数

dx3

注：例2中的微分方程是二阶的，所以通解包含两个常数C1,C2，而且需要注意到C1与C2是两个不相关的常数。

3．具有初始条件的微分方程：此类微分方程的特点是给定了某些函数值，如都是给定的数（称为初值）等，其中y0，y0yxxy0，yxxy0。此时所求出

的微分方程的解称为微分方程的特解，不包含任意常数C。

注1：微分方程的特解不包含任意常数C，因为此时可利用初始条件将常数C变为确定的数。

注2：一般来说，初始条件中所含的等式个数等于微分方程的阶数，比如，一阶微分方程的初始条件包含一个等式（函数值）；二阶微分方程的初始条件包含两个等式（函数值以及导数值）。

dy

2x，初始条件为yx01。 dx

dy

前面已求得yx2C是微分方程2x的通解，其中C为任意常数

dx

例1：解微分方程

现将初始条件yx01代入通解yx2C，得：102C，从而有C1 于是，该微分方程的特解为yx21

注：解具有初始条件的微分方程大致分为两步：求出微分方程的通解（此时无需

理会初始条件）；代入初始条件求得特解。

d2y

例2：解微分方程22x，初始条件为yx12，yx13。

dx

d2yx3

前面已求得yC1xC2是微分方程22x的通解，其中C1,C2为任意常数

3dx

x3

对于通解yC1xC2求导，得：yx2C1

3

先将初始条件yx13代入yx2C1，得：312C1，从而有C12

x3x3

于是有yC1xC22xC2

33

x3131

再将初始条件yx12代入y2xC2，得：221C2，从而有C2

333x31

于是，该微分方程的特解为y2x

33


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