高二数学导数大题练习(详细答案)
1.已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+(c -3a -2b ) x +d 的图象如图所
示.
(I )求c , d 的值;
(II )若函数f (x ) 在x =2处的切线方程为3x +y -11=0,求函数f (x ) 的解析式;
(III )在(II )的条件下,函数y =
f (x ) 与y =
1
f '(x ) +5x +m 的3
图象有三个不同的交点,求m 的取值范围.
2.已知函数f (x ) =a ln x -ax -3(a ∈R ) . (I )求函数f (x ) 的单调区间;
(II )函数f (x ) 的图象的在x =4处切线的斜率为
g (x ) =
3
, 若函数2
13m
x +x 2[f ' (x ) +]在区间(1,3)上不是单调函数,求m 的取值范围. 32
3.已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +c 的图象经过坐标原点,且在x =1处取得极大值. (I )求实数a 的取值范围; (II )若方程
(2a +3) 2
f (x ) =-
9
恰好有两个不同的根,求f (x ) 的解析式;
(III )对于(II )中的函数f (x ) ,对任意α、β∈R ,求证:|f (2sin α) -f (2sin β) |≤81.
x
4.已知常数a >0,e 为自然对数的底数,函数f (x ) =e -x ,g (x ) =x 2-a ln x . (I )写出f (x ) 的单调递增区间,并证明e a >a ; (II )讨论函数y =g (x ) 在区间(1, e a ) 上零点的个数.
5.已知函数f (x ) =ln(x -1) -k (x -1) +1. (I )当k =1时,求函数f (x ) 的最大值;
(II )若函数f (x ) 没有零点,求实数k 的取值范围;
6.已知x =2是函数f (x ) =(x 2+ax -2a -3) e x 的一个极值点(e =2. 718⋅⋅⋅). (I )求实数a 的值;
(II )求函数f (x ) 在x ∈[3, 3]的最大值和最小值.
2
7.已知函数f (x ) =x 2-4x +(2-a ) ln x , (a ∈R , a ≠0) (I )当a=18时,求函数f (x ) 的单调区间; (II )求函数f (x ) 在区间[e , e 2]上的最小值.
8.已知函数f (x ) =x (x -6) +a ln x 在x ∈(2,+∞) 上不具有单调性. ...(I )求实数a 的取值范围;
(II )若f '(x ) 是f (x ) 的导函数,设g (x ) =f '(x ) +6-
27
2
x 2
,试证明:对任意两个不相
等正数x 1、x 2,不等式|g (x 1) -g (x 2) |>38|x 1-x 2|恒成立.
12
(I )讨论函数f (x ) 的单调性;
9.已知函数f (x ) =x 2-ax +(a -1) ln x , a >1.
f (x 1) -f (x 2)
>-1.
x 1-x 2
(II )证明:若a
10.已知函数f (x ) =x 2+a ln x , g (x ) =(a +1) x , a ≠-1.
(I )若函数f (x ), g (x ) 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,求实数a 的取值范围; (II )若a ∈(1, e ](e =2. 71828) ,设F (x ) =f (x ) -g (x ) ,求证:当x 1, x 2∈[1,a ]时,不
等式|F (x 1) -F (x 2) |
11.设曲线C :f (x ) =ln x -ex (e =2.71828⋅⋅⋅),f '(x ) 表示f (x ) 导函数. (I )求函数f (x ) 的极值;
(II )对于曲线C 上的不同两点A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) ,x 1
x 0∈(x 1, x 2) ,使直线AB 的斜率等于f '(x 0) .
12.定义F (x , y ) =(1+x ) y , x , y ∈(0, +∞) ,
(I )令函数f (x ) =F (3,log2(2x -x 2+4)) ,写出函数f (x ) 的定义域;
(II )令函数g (x ) =F (1,log2(x 3+ax 2+bx +1)) 的图象为曲线C ,若存在实数b 使得曲线C 在x 0(-4F (y , x ) .
12
答案
1.解:函数f (x ) 的导函数为 f ' (x ) =3ax 2+2bx +c -3a -2b …………(2分) (I )由图可知 函数f (x ) 的图象过点(0,3),且f ' (1) =0 得
⎧d =3
⎨
⎩3a +2b +c -3a -2b =0
⎧d =3
⇒⎨⎩c =0
…………(4分)
(II )依题意
f ' (2) =-3
且f (2) =5
⎧12a +4b -3a -2b =-3
⎨
⎩8a +4b -6a -4b +3=5
解得 a =1, b =-6 所以f (x ) =x 3-6x 2+9x +3 …………(8分) (III )f '(x ) =3x 2-12x +9.可转化为:x 3-6x 2+9x +3=(x 2-4x +3)+5x +m 有三个
不等实根,即:g (x )=x 3-7x 2+8x -m 与x 轴有三个交点;
'2⎛2⎫68
g ⎪=-m , g (4)=-16-m . …………(10分) 327⎝⎭
2⎫68
当且仅当g ⎛-m >0且g (4)=-16-m
327⎝⎭
故而,-16
27
2.解:(I )f ' (x ) =
a (1-x )
(x >0) (2分) x
当a >0时, f (x ) 的单调增区间为(0, 1], 减区间为[1, +∞)
当a
(5分)
3a 3
=得a =-2, f (x ) =-2ln x +2x -3 42
1m
∴g (x ) =x 3+(+2) x 2-2x , ∴g ' (x ) =x 2+(m +4) x -2(6分)
32
g (x ) 在区间(1, 3) 上不是单调函数, 且g ' (0) =-2 ⎧g ' (1) 0. ⎩
⎧m
19
(8分)∴⎪(10分)m ∈(-, -3) 19⎨
3m >, ⎪3⎩
(12分)
3.解:(I )f (0) =0⇒c =0, f '(x ) =3x 2+2ax +b , f '(1) =0⇒b =-2a -3
∴f '(x ) =3x 2+2ax -(2a +3) =(x -1)(3x +2a +3), 由f '(x ) =0⇒x =1或x =-2a +3,因为当x =1时取得极大值,
3
所以-2a +3>1⇒a
3
(
a +6(2a +3) 2
依题意得:,解得:a =-9 (2a +3) =-
279
所以函数f (x ) 的解析式是:f (x ) =x 3-9x 2+15x
(III )对任意的实数α, β都有-2≤2sin α≤2, -2≤2sin β≤2,
在区间[-2,2]有: f (-2) =-8-36-30=-74, f (1) =7, f (2) =8-36+30=2 f (x ) 的最大值是f (1) =7, f (x ) 的最小值是f (-2) =-8-36-30=-74 函数f (x ) 在区间[-2, 2]上的最大值与最小值的差等于81, 所以|f (2sin α) -f (2sin β) |≤81. 4.解:(I )f '(x ) =e x -1≥0,得f (x ) 的单调递增区间是(0, +∞) , …………(2分) ∵a >0,∴f (a ) >f (0) =1,∴e a >a +1>a ,即
e a >a . …………(4分)
2a 2a )(x -)
a 22(II )g '(x ) =2x -=,由g '(x ) =0,得x =2a
2x x
2a 2a 2a
(0, ) (, +∞) x
222
g '(x ) - 0 +
2(x +
,列表
g (x )
单调递减 极小值 单调递增
a
) ,无极大值. 222
2a
2
当x =
2a 2
时,函数y =g (x ) 取极小值g 2
⎧e 2a >e a
由(I )e a >a ,∵⎪⎨a
⎪a >
2⎩
,∴e 2a >a ,∴e a >
g (1) =1>0,g (e a ) =e 2a -a 2=(e a +a )(e a -a ) >0 …………(8分)
2a
≤1,即0
(ii )当2a >1,即a >2时
2
若a (1-ln a ) >0,即2
22
若a (1-ln a ) =0,即a =2e 时,函数y =g (x ) 在区间(1, e a ) 存在一个零点x =e ;
22
若a (1-ln a ) 2e 时,函数y =g (x ) 在区间(1, e a ) 存在两个零点;
22
(i )当
综上所述,y =g (x ) 在(1,e a ) 上,我们有结论:
当02e 时,函数f (x ) 有两个零点.
5.解:(I )当k =1时,f '(x ) =2-x
x -1
,令f '(x ) =0, 得x =2, f (x ) 定义域为(1,+∞)
∵当x ∈(1,2)时, f '(x ) >0,
当x ∈(2,+∞) 时, f '(x )
∴f (x ) 在(1,2)内是增函数,在(2,+∞) 上是减函数
∴当x =2时,f (x ) 取最大值f (2)=0
(II )①当k ≤0时,函数y =ln(x -1) 图象与函数y =k (x -1) -1图象有公共点,
∴函数f (x ) 有零点,不合要求; ②当k >0时,
1+k
)
11+k -kx ………………(6分) f '(x ) =-k ==-x -1x -1x -1
令f '(x ) =0, 得x =k +1,∵x ∈(1,k +1) 时, f '(x ) >0, x ∈(1+1, +∞) 时, f '(x )
k k k
∴f (x ) 在(1,1+1) 内是增函数,在[1+1, +∞) 上是减函数,
k k
∴f (x ) 的最大值是f (1+1) =-ln k ,
k
∵函数f (x ) 没有零点,∴-ln k 1,
k (x -
因此,若函数f (x ) 没有零点,则实数k 的取值范围k ∈(1,+∞) 6. 解:(I )由f (x ) =(x 2+ax -2a -3) e x 可得
f '(x ) =(2x +a ) e x +(x 2+ax -2a -3) e x =[x 2+(2+a ) x -a -3]e x ……(4分) ∵x =2是函数f (x ) 的一个极值点,∴f '(2)=0 ∴(a +5) e 2=0,解得a =-5
(II )由f '(x ) =(x -2)(x -1) e x >0,得f (x ) 在(-∞, 1) 递增,在(2, +∞) 递增,
由f '(x )
∴f (2) =e 2是f (x ) 在x ∈[3, 3]的最小值; ……………(8分)
2
37f () =e 24
3
2
3
373133
f (3) -f () =e -e 2=e 2(4e e -7) >0, f (3) >f ()
2442
,f (3) =e ∵
3
∴f (x ) 在x ∈[3, 3]的最大值是f (3) =e 3.
2
7.解:(Ⅰ)f (x ) =x 2-4x -16ln x ,
162(x +2)(x -4)
=
x x
由f ' (x ) >0得(x +2)(x -4) >0,解得x >4或x
2分
注意到x >0,所以函数f (x ) 的单调递增区间是(4,+∞) 由f ' (x )
注意到x >0,所以函数f (x ) 的单调递减区间是(0, 4].
综上所述,函数f (x ) 的单调增区间是(4,+∞),单调减区间是(0, 4] 6分 (Ⅱ)在x ∈[e , e 2]时,f (x ) =x 2-4x +(2-a ) ln x
2-a 2x 2-4x +2-a
所以f ' (x ) =2x -4+, =
x x
设g (x ) =2x 2-4x +2-a
当a
此时g (x ) >0,所以f ' (x ) >0,f (x ) 在[e , e 2]上单调递增, 所以f (x ) m in =f (e ) =e 2-4e +2-a 当a >0时,△=16-4⨯2(2-a ) =8a >0, 令f ' (x ) >0,即2x 2-4x +2-a >0,解得x >1+令f ' (x )
8分
2a 2a 或x
2a 2a
解得1-.
22
2a
≥e 2,即a ≥2(e 2-1) 2时, 2
f (x ) 在区间[e , e 2]单调递减,所以f (x ) m in =f (e 2) =e 4-4e 2+4-2a .
2a
2a 2a 2
]上单调递减,在区间[1+, e ]上单调递增, f (x ) 在区间[e , 1+222a a 2a
所以f (x ) min =f (1+) =-2a -3+(2-a ) ln(1+) .
222
2a
③若1+≤e ,即0
2
所以f (x ) m in =f (e ) =e 2-4e +2-a
②若e
综上所述,当a ≥2(e 2-1) 2时,f (x ) m in =a 4-4e 2+4-2a ; 当2(e -1) 2
a 2
=e 2-4e +2-a
2a
) ; 2
14分
0,
a 2x 2-6x +a
8.解:(I )f '(x ) =2x -6+=,
x x
∵f (x ) 在x ∈(2,+∞) 上不具有单调性,∴在x ∈(2,+∞) 上f '(x ) 有正也有负也有...
即二次函数y =2x 2-6x +a 在x ∈(2,+∞) 上有零点 ………………(4分) ∵y =2x 2-6x +a 是对称轴是x =3,开口向上的抛物线,∴y =2⋅22-6⋅2+a
2
的实数a 的取值范围(-∞,4) (II )由(I )g (x ) =2x +a -
x
2
x 2
,
方法1:g (x ) =
f '(x ) -
2a 2+6=2x +-2(x >0) , 2x x x
a 4442x 3-4x +4
∵a 2-2+3=,…………(8分)
x x x x x 3
4(2x -3)
设h (x ) =2-42+43,h '(x ) =83-12 =
x x x x 4x 433338
h (x ) 在(0,) 是减函数,在(, +∞) 增函数,当x =时,h (x ) 取最小值
22227
∴从而g '(x ) >38,∴(g (x ) -38x ) '>0,函数y =g (x ) -38x 是增函数,
272727
3838
x 1、x 2是两个不相等正数,不妨设x 1g (x 1) -x 1
2727
∴g (x 2) -g (x 1) >38(x 2-x 1) ,∵x 2-x 1>0,∴g (x 1) -g (x 2) >38
x 1-x 22727
∴
g (x 1) -g (x 2) 38
,即|g (x 1) -g (x 2) |>38|x 1-x 2| >
x 1-x 22727
………………(12分)
方法2:
M (x 1, g (x 1)) 、N (x 2, g (x 2)) 是曲线y =g (x ) 上任意两相异点,
g (x 1) -g (x 2) 2(x 1+x 2) a
=2+-2
x 1-
x 2x 12x 2x 1x 2
, x 1+x 2>a
4
………(8分)
∴2+
2(x 1+x 2) a a 4
->2
>2-2
x 12x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2
设t =
t >0,令k MN =u (t ) =2+4t 3-4t 2,u '(t ) =4t (3t -2) ,
由u '(t ) >0,得t >2, 由u '(t )
3
3
22
33238g (x ) -g (x 2) 38
,∴u (t ) ≥38,∴所以1 ∴u (t ) 在t =处取极小值>
x 1-x 22727273
∴u (t ) 在(0, ) 上是减函数,在(, +∞) 上是增函数,
即|g (x 1) -g (x 2) |>38|x 1-x 2|
27
9. (1)f (x ) 的定义域为(0, +∞) ,
a -1x 2-ax +a -1(x -1)(x +1-a )
f ' (x ) =x -a +==
x x x
(x -1) 2
. 故f (x ) 在(0, +∞) 单调增加. (i )若a -1=1, 即a =2,则 f ' (x ) =
x
(ii )若a -11, 故1
当x ∈(0, a -1) 及x ∈(1, +∞) 时, f ' (x )>0, 故f (x ) 在(a -1, 1) 单调减少,在(0,a-1), (1, +∞) 单调增加.
(iii )若a -1>1, 即a >2, 同理可得f (x ) 在(1, a -1) 单调减少, 在(0, 1), (a -1, +∞) 单调增加. (II )考虑函数g (x ) =f (x ) +x =x 2-ax +(a -1) ln x +x .
a -1a -1
≥2x ⋅-(a -1) =1-(a -1-1) 2. x x
由于a 0, 即g (x ) 在(0, +∞) 单调增加,从而当x 1>x 2>0时有 g (x 1) -g (x 2) >0, 即f (x 1) -f (x 2) +x 1-x 2>0,
12
由 g ' (x )=x -(a -1) +
f (x 1) -f (x 2) f (x 1) -f (x 2) f (x 2) -f (x 1)
>-1,当0-1
x 1-x 2x 1-x 2x 2-x 1
a
10.解:(I )f '(x ) =x +, g '(x ) =a +1,
x
∵函数f (x ), g (x ) 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同,
故
(a +1)(x 2+a )
∴当x ∈[1,3]时,f '(x ) ⋅g '(x ) = 即(a +1)(x 2+a ) ≥0恒≥0恒成立,
x
成立, ∴⎨
⎧a >-1⎩a ≥-x
在x ∈[1,3]时恒成立,或⎨2
⎧a
2
在x ∈[1,3]时恒成立,
∵-9≤x ≤-1,∴a >-1或a ≤-9 (II )F (x ) =1x 2+a ln x , -(a +1) x ,F '(x ) =x +a -(a +1) =(x -a )(x -1)
2
x
x
∵F (x ) 定义域是(0,+∞) ,a ∈(1,e ],即a >1
∴F (x ) 在(0,1)是增函数,在(1,a ) 实际减函数,在(a , +∞) 是增函数 ∴当x =1时,F (x ) 取极大值M =F (1)=-a -1,
2
当x =a 时,F (x ) 取极小值m =F (a ) =a ln a -1a 2-a ,
2
∵x 1, x 2∈[1,a ],∴|F (x 1) -F (x 2) |≤|M -m |=M -m
设G (a ) =M -m =a 2-a ln a -,则G '(a ) =a -ln a -1,
1a
∴G '(a ) =a -ln a -1在a ∈(1,e ]是增函数,∴G '(a ) >G '(1)=0
11
∴G (a ) =a 2-a ln a -在a ∈(1,e ]也是增函数
22
121(e -1) 2
-1, ∴G (a ) ≤G (e ) ,即G (a ) ≤e -e -=
222
121(e -1) 2(3-1) 2
-1
2222
∴当x 1, x 2∈[1,a ]时,不等式|F (x 1) -F (x 2) |
11-ex 1
11.解:(I )f '(x ) =-e ==0,得x =
x x e
当x 变化时,f '(x ) 与f (x ) 变化情况如下表:
1212
∴[G '(a )]'=1-,∵a ∈(1,e ],∴[G '(a )]'>0
e
∴当x =1时,f (x ) 取得极大值f () =-2,没有极小值;
e
(II )(方法1)∵f '(x 0) =k AB ,∴
ln x 2-ln x 1-e (x 2-x 1) 1x -x x
-e =,∴21-ln 2=0 x 0x 2-x 1x 0x 1
x 2x
-(x 2-x 1) =0,设g (x ) =x ln 2-(x 2-x 1) x 1x 1
x x /
g (x 1) =x 1ln 2-(x 2-x 1) ,g (x 1) x =ln 2-1>0,g (x 1) 是x 1的增函数, 1
x 1x 1
x
∵x 1
x 2
x x /
g (x 2) =x 2ln 2-(x 2-x 1) ,g (x 2) x =ln 2-1>0,g (x 2) 是x 2的增函数, 2
x 1x 1
x
∵x 1g (x 1) =x 1ln 1-(x 1-x 1) =0,
x 1
x
∴函数g (x ) =x ln 2-(x 2-x 1) 在(x 1, x 2) 内有零点x 0,
x 1
x x x
又∵2>1, ∴ln 2>0,函数g (x ) =x ln 2-(x 2-x 1) 在(x 1, x 2) 是增函数,
x 1x 1x 1
x -x x
∴函数g (x ) =21-ln 2在(x 1, x 2) 内有唯一零点x 0,命题成立
x x 1
ln x -ln x 1-e (x 2-x 1) 1
(方法2)∵f '(x 0) =k AB ,∴-e =2,
x 0x 2-x 1
即x 0ln
即x 0ln x 2-x 0ln x 1+x 1-x 2=0,x 0∈(x 1, x 2) ,且x 0唯一
设g (x ) =x ln x 2-x ln x 1+x 1-x 2,则g (x 1) =x 1ln x 2-x 1ln x 1+x 1-x 2, 再设h (x ) =x ln x 2-x ln x +x -x 2,00 ∴h (x ) =x ln x 2-x ln x +x -x 2在00
∴方程x ln x 2-x ln x 1+x 1-x 2=0在x 0∈(x 1, x 2) 有解 ∵一次函数在(x 1, x 2) g (x ) =(lnx 2-ln x 1) x +x 1-x 2是增函数 ∴方程x ln x 2-x ln x 1+x 1-x 2=0在x 0∈(x 1, x 2) 有唯一解,命题成立………(12分) 注:仅用函数单调性说明,没有去证明曲线C 不存在拐点,不给分. 12.解:(I )log 2(2x -x 2+4) >0,即2x -x 2+4>1 得函数f (x ) 的定义域是(-1,3) , (II )g (x ) =F (1,log2(x 2+ax 2+bx +1)) =x 3+ax 2+bx +1,
设曲线C 在x 0(-40, g '(x )=3x 2+2ax +b ,
2⎧3x 0+2ax 0+b =-8①⎪
∴存在实数b 使得⎨-4
⎪32
> 1⎩x 0+ax 0+bx 0+1③22
b =-8-3x 0-2ax 0, 代入③得-2x 0-ax 0-8
2
⎧2x 0+ax 0+8>0⎪∴由⎨有
-4
解, ……………………(8分)
高二数学导数部分大题练习
方法1:a
………………(10分)
方法2:得2⨯(-4) 2+a ⨯(-4) +8>0或2⨯(-1) 2+a ⨯(-1) +8>0, ∴a
x -ln(1+x ) ln(1+x ) (III )令h (x ) = , x ≥1, 由h '(x ) =2x x
11-x x 又令p (x ) =-=0, ∴p '(x ) =1+x (1+x ) 21+x (1+x ) 2
∴p (x ) 在[0, +∞) 单调递
减. ……………………(12)分 ∴当x >0时有p (x )
∴h (x ) 在[1, +∞) 单调递减,
∴1≤x , ∴y ln(1+x ) >x ln(1+y ), ∴(1+x ) y >(1+y ) x , x y
∴当x , y ∈N *且x F (y , x ).