不定积分的分部积分法教学浅谈
２０１２年第５期第１总第６１卷（２期）
商丘职业技术学院学报
ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＳＨＡＮＧＱＩＵ ＶＯＣＡＴＩＯＮＡＬＡＮＤ ＴＥＣＨＮＩＣＡＬＣＯＬＬＥＧＥ
Ｖｏｌ．１１，Ｎｏ．５
，Ｏｃｔ．２０１２
（）文章编号：１６７１－８１２７２０１２０５－００１５－０４
不定积分的分部积分法教学浅谈
罗 琼
（）江西财经职业学院，江西九江３３２０００
摘 要：高等数学中，分部积分法是计算不定积分的一种重要方法，是教学的主要环节．针对高职学生的特点，对分部积分法的教学给出了具体方法：知识过渡要衔接自然，方法讲解要分类总结．
、关键词：不定积分；分部积分法；ｕｖ选择
中图分类号：Ｏ１７５ 文献标识码：Ａ
１ 分部积分法的引入
首先引导学生回顾前面所学的不定积分知识，让学生进一步熟悉不定积分和微分的关系，分清微分基本让学生思考引例中的两个题：公式与不定积分基本公式的异同．然后，
（）（）引例 填空：１ｄ（ｎｘｄｘ；２ｄ（ｒｃｓｉｎｘｄｘ学生很快就明白这实质上就是求下列两个 ） ）＝ｌ＝ａ（））ａ学生也不难发现，无论是在导数基本公式中还是在不定积分基不定积分：１ｌｎｘｄｘ（２ｒｃｓｉｎｘｄｘ．而且，本公式中，这两道题都不能直接找到答案，也就是说，对数函数和反三角函数这两类基本初等函数的不定积分不能用直接积分法求出．那么，用换元法呢？于是，又引导学生尝试换元积分法．通过分析解答，学生们随
ｔ
（））即就得出结论，换元后得到两个更难求的不定积分：３ｔｅｄｔ（４ｔｃｏｓｔｄｔ．
∫∫
∫∫
２ 分部积分法的介绍及其应用
——分部积分法．为了解决上述积分问题，下面介绍这种新的积分方法—
，定理 设ｕ＝ｕ（并且乘积ｕ则有分部积分公式ｘ）ｖ＝ｖ（ｘ）都是可微函数，′ｖ及ｕｖ′都有原函数，
∫
ｕｖ′ｄｘ＝ｕｖ－ｖｕ′ｄｘ或ｕｄｖ＝ｕｖ－ｖｄｕ１．
值得注意的是，鉴于公式的特征以及高职学生的特点，在介绍定理内容时，最好只给出公式的第二种形
∫∫∫
［］
式ｕ公式的证明、公式特点分析、公式的记忆及其应用都以此形式为准．对于公式的ｄｖ＝ｕｖ－ｖｄｕ．并且，基础较好的学生自然能理解明白．第一种形式，
利用函数乘积的微分公式）２．１ 公式证明（
由ｄ（得ｕ两边积分，则有ｕｖ）＝ｕｄｕ＋ｕｄｖ，ｄｖ＝ｄ（ｕｖ）ｄｕ，－ｖ
∫∫
ｕｄｖ＝ｕｖ－ｖｄｕ
∫∫
２．２ 公式诠释
（）１
）称为分部积分公式，式（使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法．它就是将积分ｕ１ｄｖ分成两部分的差：第一部分是乘积ｕ第二部分是ｖ即原积分中的ｕ和ｖ位置互换．而且第二部分的积ｖ；ｄｕ，分ｖｄｕ比原积分ｕｄｖ容易算出．
由此可知，分部积分法的核心是将不易求出的积分ｕ但实例中的积分ｄｖ转化为较易求出的积分ｖｄｕ，
２０１２－０４－１１ 收稿日期：
，作者简介：罗 琼（女，湖南长沙人，江西财经职业学院讲师，主要从事数学教育研究。１９６７—）
∫
∫
∫∫
∫∫
·１５·
），不能直接套用公式（所以解题的关键是如何把积分ｆ（ｘ）ｄｘ通常都不恰是ｕｄｖ的形式，１ｄｘ先转化ｆ（
∫∫∫ｘ）
，，成ｕ这就要求正确地选取ｕ＝ｕ（使积分ｖｄｖ的形式，ｘ）ｖ＝ｖ（ｘ）ｄｕ比积分ｕｄｖ容易求出．以下通过例
∫∫∫）适用的题型及如何正确选择ｕ，子说明公式（１ｖ．２．３ 公式应用
在举例讲解公式的应用时，按公式适用的题型分两类讲解，并进行总结归纳．２．３．１ 可直接套用公式的题
被积函数形如ｌ即对数函数、反三角函数的不定积分，一般用分部积ｎａｘｄｘ、ａｒｃｓｉｎａｘｄｘ的不定积分，而且无论被积函数简单还是复杂，都可以取被积函数作ｕ，取ｘ作ｖ，直接套用公式，解题步骤总归于分法，
“：三步曲”分部→化简→积分．如例１、例２．
例１ 求∫ａｒｃｓｉｎｘｄｘ
解 设ｕ＝ａｒｃｓｉｎｘ，ｄｖ＝ｄｘ则ｖ＝ｘ于是
∫∫
∫∫
ａｒｃｓｉｎｘｄｘａｒｃｓｉｎｘ－ｘｄ（ａｒｃｓｉｎｘ）ａｒｃｓｉｎｘ－ｘｘ
分部
∫
化解
∫
ｘ·
积分２
ｘｘａｒｃｓｉｎｘｘ＋－＋Ｃ．ｘ－
２
ｎｄｘ．（） 例２ 求ｌ ｘ＋＋ｘ
２，２２ 解 设ｕ＝ｌｎｎｄｘｌｎ（）ｖ＝ｘ，则ｌ（）（）－ ｘ ｘ＋＋ｘｘ＋＋ｘｘ＋＋ｘ
∫
分解
∫
２２
ｘｄｌｎｌｎ（）（）－ ｘ ｘ＋＋ｘｘ＋＋ｘ
化简
积分２２
（）ｘｘｌｎｘｘｘ＋－－＋＋Ｃ．２
ｘ＋
讲解完例１、例２后，让学生练习：【】练习１ｎｘｄｘ． 求ｌ
解答 设ｕ＝ｌｎｘ，ｖ＝ｘ则ｌｎｘｄｘｌｎｘ－ｘｄ（ｌｎｘ）ｌｎｘ－ｄｘｌｎｘ－ｘ＋Ｃ．ｘｘｘ２．３．２ 不可直接套用公式的题
一般都用分部积被积函数是两类不同函数的乘积而且用直接积分法和换元积分法都很难求出的积分，
ａａａａｘａｘａａａ
分法．如：ｘｓｉｎｂｘ、ｘｃｏｓｂｘ、ｘｌｎｂｘ、ｅｓｉｎｂｘ、ｅｃｏｓｂｘ、ｘａｒｃｃｏｓｂｘ、ｘａｒｃｔａｎｂｘ、ｘａｒｃｓｉｎｂｘ、（ａ，ｂ都是正整２］数）等［才能套用公式．这个转化变形实际上就是第一类换元．这类积分要先将原积分转化成ｕｄｖ的形式，
∫
∫
分解
∫
化简
∫
积分
∫
：关键是如何正确地选取ｕ四步曲”凑微变形→分部→化简→法中的凑微分变形，ｖ．解题步骤一般总归于“积分．如例３、例４．
ｘ
例３ 求ｘｅｄｘ
∫
分析 被积函数是幂函数与指数函数的乘积，且用直接法、换元法都积不出，想分部积分法．
ｘｘｘｘｘｘｘｘｘ
，，解 设ｕ＝ｘ，则ｖ＝ｅ于是ｘｄｖ＝ｅｄｘ＝ｄｅｅｄｘｄｅｅｘｅｘｘｘ－ｅｄ－ｅ
∫
凑微分
∫
分部
∫
积分
＋Ｃ．
凑微分２２分部ｘ·２２，ｘｘｘ
，此题若令ｕ＝ｅ则ｘｄｖ＝ｘｄｘ＝ｄ，ｖ＝ｅｄｘ－ｅｄｅ
２２２２
）
∫
∫）
∫
２ｘ
） ｄ（ｅ．
２
２ｘｘ
）反而比原积分ｘ这样新得到的积分ｄ（ｅｅｄｘ更难求了．
２
∫
注１：分部法中，选定ｕ后，被积式剩余部分选作ｄ再凑微分变形，算出ｖ来．ｖ，·１６·
例４ 求ｘｃｏｓｘｄｘ；
分析 被积函数是幂函数与三角函数的乘积，积不出，想分部．，解 令ｕ＝ｘ，则ｖ＝ｓ于是ｄｖ＝ｃｏｓｘｄｘ＝ｄ（ｓｉｎｘ）ｉｎｘ，
∫
∫
ｘｃｏｓｘｄｘｄ（ｓｉｎｘ）ｓｉｎｘ－ｓｉｎｘｄｘｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋Ｃ．ｘｘｘ
凑微分
∫
分部
２２，则分部后新得的积分比原积分更难求．ｏｓｘ，ｄｖ＝ｘｄｘ＝ｄ，ｖ＝ 此题若令ｕ＝ｃ
２２
通过例３、例４的讲解分析后，引导学生归纳出结论：分部积分公式中，是有一ｕ及ｖ的选择不是任意的，定规律的，如果选取不当，就算不出结果．此规律如下：
，第一，即凑微分易凑）这是使用公式的前提；ｕ、ｖ选择的原则：ｖ（ｘ）要容易求（①
这是使用公式的目的．ｄｕ要比ｕｄｖ容易求出，②ｖ
，第二，基本初等函数中（除常值函数外）按“反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数ｕ、ｖ选择的顺序：
和三角函数”这一顺序先后排列，位置在前的函数选作ｕ，位置在后的函数选算
［３］
“反对幂指三”为ｖ．简记为：．
）
∫
积分
∫∫
结论解释：
ｘｘｘ
第一，如例３中，按以上位置顺序，幂函数ｘ排在指数函数ｅ前面，故选ｕ＝ｘ．而且，算ｅｄｘ＝ｄｅ＝ｘ
新积分ｄ幂函数与指数函数、正（余）弦函数之积的不定积分取ｄｖ比较容易，ｄｘ也易求出．具体说来就是：
幂函数作ｕ；幂函数与反三角函数、对数函数之积的不定积分取反三角函数、对数函数作ｕ．剩余部分凑微分为ｖ．
，第二，指数函数与三角函数之间用“和”是指当被积函数是指数函数与三角函数的乘积时，选谁作ｕ都具体参见例５．可以，
有了以上结论以及解题步骤，让学生们牢记套用，结果他们解题就轻松自如多了．
２
【】练习２ｎｘｄｘ； 求ｘｌ
∫
分析 被积函数是幂函数与对数函数的乘积，且积不出，想分部；按以上结论，对数函数ｌｎｘ位置在前，选作ｕ，剩余部分凑微分为ｖ，而且ｖ也容易算出．
３２３
，解答 取ｕ＝ｌ则ｖ＝于是ｎｘ，ｄｖ＝ｘｄｘ＝ｄ，
３３
∫
）
∫
２
ｘｌｎｘｄｘ
凑微分
分部化简积分３２３３
ｌｎｘｄｘ３ｎｘ－ｘ ｄ（ｌｎｘ）ｎｘ－ｘ ｄｘｌｌ３３３３３
３３
ｌｎｘ－＋Ｃ．３９
）应用熟练后，可把认定的ｕ，见例５ｖ记在心里而不写出来．（ 注２：
）注３：分部积分法可以连续多次使用，但每次选择ｕ，见例５ｖ的函数类型前后要一致（．
注４：如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选其一项为ｕ，但一经选定，在后面的解题）过程中要始终选用同类型的项为ｕ．（见例５
∫
解 ｅｓｎｘｄｘ＝ｅｄ（ｏｓｘ）ｅｃｏｓｘ＋ｅｃｓｘｄｘ＝－ｅｃｏｓｘ＋ｅｄ（ｉｎｘ）ｅｃｏｓｘ＋ｅｓｉｎｘ＝－＝－
∫ｉ∫－ｃ∫ｏ∫ｓｎｘｄｘ－ｅｓ∫ｉ
）将再次出现的积分ｅｓ移项合并得ｅｓｉｎｘｄｘ，ｉｎｘｄｘ＝（ｓｉｎｘ－ｃｏｓｘ＋Ｃ．２∫∫
ｘ
例５ 求ｅｓｉｎｘｄｘ；
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
ｘ
此题也可以选指数函数作ｕ，留给学生练习．
）注５：有些不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用．（见例６
·１７·
例６
ｘ
ｘｘ
１－ｘ ２
（），解 设ｔ＝则ｘ＝ｌｎ１＋ｔｄｘ＝－１，
于是ｔ，２
１＋ｔ
２ｘ
２２２（）（）（）ｔｌｎ１＋ｔ－ｔ＝２ｘ２ｌｎ１ｔｄｔ２ｔｌｎ１ｔｔ＋４ａｒｃｔａｎｔ＋Ｃ ＝＋＝＋－４２
ｘ １ｔ＋１－∫
［
］
ｘｘ ｘ
ｘａｒｃｔａｎ＝２－１－４－１＋４－１＋Ｃ．并佐以适当的课后练习，学生们对何时该用分部积分法以及如何利 通过以上几个简单例题的分析讲解，
用分部积分公式积分，就不那么茫然和混乱了．需要强调的是，课堂上一定要注重解题的方法思路和操作步至于那些抽象的理论推导和繁杂的难题演算技巧，留给少数好生课后深究．骤，
３ 分部积分法小结
最后带领学生一起对不定积分的分部积分法作以下几点小结，让学生们牢记套用，效果很不错：
ｕｄｖ＝ｕｖ－ｖｄｕ．①分部积分公式：
被积函数是对数函数或反三角函数或两类不同函数的积的不定积分．②公式适用情形：
∫∫
∫ｄｘｄｖｖ－ｖｄｕｖ－ｖｕ′ｄｘ④公式适用步骤：ｆ（ｕｕｕ……
∫ｘ）∫∫∫
积不出，想分部，且ｕ、新积分ｖｖ的选取始终遵循ｖ易求，ｄｕ易算．③公式适用原则：
凑微变形
分部
化简
积分
２
ｘ，，，（，）所以，我们不易求出．例如ｅｄｘ，ｘＦｋφ＝４ｘｌｎｘ＋ｘ
值得特别注意的是，尽管所有初等函数在其定义区间上都有原函数，但其原函数不一定都是初等函数，
∫４］（）等．［０ｋｌ＜＜２２
－ｋｓｉｎφ
参考文献：
［］高等数学［北京：中国人民大学出版社，１Ｍ］．２００７．
［］盛祥耀．［高等数学（第三版）北京：高等教育出版社，２Ｍ］．２００４．［］段玉珍．］（）：关于分部积分法的几点探索［工科数学，３Ｊ．１９９５，６４３－４４．［］薛 秋．］（）：不定积分常用技巧初探［数学学习与研究，４Ｊ．２００９，１２２－２３．
［责任编辑 刘传岭］
ＯｎＴｅａｃｈｉｎＭｅｔｈｏｄｏｆＤｉｖｉｓｉｏｎａｌＩｎｔｅｒａｌｏｆＩｎｄｅｆｉｎｉｔｅＩｎｔｅｒａｌ ｇｇｇ
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（ＪｉａｎｘｉＶｏｃａｔｉｏｎａｌＣｏｌｌｅｅｏＦｉｎａｎｃｅａｎｄ Ｅｃｏｎｏｍｉｃｓ，Ｊｉｕｉａｎ３２０００，Ｃｈｉｎａ） ｇｇｆ ｊｇ３
：，，ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｅｔｅａｃｈｉｎｏｆａｄｖａｎｃｅｄｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｄｉｖｉｓｉｏｎａｌｉｎｔｅｒａｌｉｓａｎｉｍｏｒｔａｎｔｍｅｔｈｏｄｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｎｉｎｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｒａｌａｎｄａｌｓｏａ ｇｇｐｇｇ ，ｔｅａｃｈｉｎｌｉｎｋ．Ａｃｃｏｒｄｉｎｔｏｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｈｉｈｅｒｖｏｃａｔｉｏｎａｌｓｔｕｄｅｎｔｓｔｈｉｓｅｓｓａｄｉｓｃｕｓｓｅｓｈｏｗｔｏｔｅａｃｈｄｉｖｉｓｉｏｎａｌｉｎｔｅｒａｌｂａｎａｔｕｋｅ －ｇｇｇｙｇｙｙ ｒａｌｔｒａｎｓｉｔｉｏｎｂｅｔｗｅｅｎｄｉｆｆｅｒｅｎｔｋｎｏｗｌｅｄｅａｎｄａｃｌａｓｓｉｆｉｅｄｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ．ｏｉｎｔｓ ｇｐ
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