高等数学(数学分析)

一、极限

第一章 函数、极限、连续

1.1数列极限的定义：

∀ε>0，存在自然数N ，使得当n ＞N 时，就有 xn−a

那么称数列 xn 收敛于a，记为lim xn=a. 称a为此数列的极限；极限不存在的数列称为发散数列.

n→∞

1.2函数极限的定义：

设f x 在a的某个去心领域有定义，A 是一个实数。如果对任一个ε>0，存在一个δ>0，使得当0

x→a

limf x =A或f x →A x→a .

海涅定理：limx→af x =A的充分必要条件是，对任一满足

xn→a(∀n, xn≠a) 的数列，均有f xn →A.

定理：limx→af x ≠A成立的充分必要条件是，存在一个常数ε0>0，

使得在a的任何去心邻域，都可以找到一点，满足 f x −A ≫ε0.

1.3极限的性质及运算

定理：如果f x 在λ处极限存在，则f x 比在λ的某去心邻域上有界。 定理：函数的极限若存在，则必唯一。

定理：若limx→λf x =A，limx→λf x =B，且A >B，则存在λ的某个去心

λ(δ) ，使得在N λ(δ) 上，f x >g x 成立。邻域N（反之，也成立。）

定理（夹逼准则）：若f(x) ≪ (x) ≪g(x) 在λ的某个去心邻域上成立，

且limx→λf x =limx→λg x =A，则limx→λ x =A。

注:（1）limx→af x =∞(±∞) , 函数f x 为无穷大量；

limx→af x =0，函数f x 为无穷小量.

（2）若函数极限存在，则函数的极限运算符合四则运算法则。 （3）limx→af x =∞ ±∞ ，则limx→a

limx→af x =0，limx→a

1f x

1f x

=0；

=∞ ±∞ .

（4）若f x 在λ的某个去心邻域上有界，g x 当x→λ时为无穷小量，则f(x) g x 当x→λ时也为无穷小量。

（5）若f x 当x→λ时极限存在切部位零（或在λ的某个去心邻域上满足 f(x) ≫c>0），而g x 当x→λ时为无穷大量，则f(x) g x 当x→λ时也为无穷大量。

（6）极限limx→af x 存在的充要条件时，limx→a−f x 和limx→a+f x 都存在，并且相等，即lim x→af x =lim f x =

x→a+

lim x→a−f x .

（7）（单调有界准则）区间上的单调函数，在每一点处存在左极限和右极限. 1.4重要极限 （1）limx→0

sinxx

=1 （2）limn→∞ =1

1x

x

n

（3）limx→∞(1+

1x

1

=e⇒limx→0 1+x =e⇒limx→∞ 1−

1x

1 =e⇒limx→0 1−x =e⇒limx→0x

公式：cosα−cosβ=−2sin

nα+β2

1ln 1+x

x2

=1

∙sin

n

α−β

n

[sin(βx)]=βsin(βx+π)

1() n=(−1) nn! ∙an(ax+b) −(n+1) an−bn= a−b an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1

二、连续

2.1函数连续：

定义：设f x 在a点的某个邻域 a−δ, a+δ 上有定义。如果

lim x→af x =f(a) ，则称f x 在a处连续。（如果f x 在一个区

间上的每个点处都连续，则称f x 是此区间上的连续函数） 定义：函数f x 称为区间I 上的一致连续函数, 如果∀ε>0, ∃δ>0，

使得当I 上两点x1, x2满足 x1−x2

定义：数列 xn 称为柯西列，如果∀ε>0，存在N ϵℕ使得当m, n>N时，

就有 xm−xn

注：f x 在a处连续的充要条件为：

x→a+

lim f x =lim f x =f(x)

x→a−

即左连续与右连续取值相同（前提是左极限limx→a−f x 和右极限limx→a+f x 均存在）。

康托尔定理：有界闭区间 a, b 上的连续函数f x 一定一致连续。 柯西收敛准则：ℝ上的柯西列必收敛。 定理：一致连续函数把柯西列映为柯西列。

定理：有界开区间(a, b) 上的连续函数f x 是一直连续的充分必要条

件是，f x 在a处的右极限及b处的左极限都存在。

柯西收敛准则：设f x 在λ的某去心邻域有定义，那么lim x→λf(x) 存

在

λ(δ) ，使的充要条件是，∀ε>0，存在λ的去心邻域N

λ(δ) 时，就有 f(x) −f(y)

博尔扎诺 – 魏尔斯特拉斯定理：有界数列必有收敛子列。 区间套定理：设有闭区间套 a1, b1 ⊃ a2, b2 ⊃⋯⊃ an, bn ⊃⋯，满

足bn−an→0，则有唯一点，属于区间套中每一个区间。 介值定理：设函数f x 是 a, b 上的连续函数，那么

（1） 若f a 与f b 异号，即f a f b

足 f c =0.

（2） 对于介于f a ，f b 之间的任何数y0, 必存在一个x0∈ a, b 使

y0=f(x0) .

确界定理：有上界的非空数集一定有最小上界；有下界的非空数集一

定有最大下界。

最大、最小值定理：有界闭区间 a, b 上的连续函数f x 具有最大值

和最小值。换一说法，存在, x∈ a, b 使f =sup f及=inf f.

2.2不连续点的分类

第一类不连续点：在a处左、右极限都存在，这是，如果左、右极

限相等，则称a为可去不连续点。在这种情况下，可以定义函数值等于此处点的极限，使函数在此点处连续。

如果左、右极限不相等，则称a为跳跃间断点。

第二类不连续点：其余不连续点。第二类不连续点也可以分成为两种，

一种不连续点a的特征是函数在a的任何邻域上无界，称为无穷间断点；另一种不连续点b的特征是函数在b的某个邻域上有界，并且在b的同一侧存两点列 xn , yn 趋于b使得limf(xn) , limf(yn) 都存在但不想等，这种不连续点称为震荡间断点。例如，π 2是tanx的无穷间断点；0是sin 1 x 的震荡间断点。

三、等价无穷小（当x →0时：）

1、 x~sinx~arcsinx~tanx~arctanx~ex−1~ln(1+x) 2、1−cosx~x2

21

3、x2+x~x 4、(1+x) α−1~αx 5、ax−1~xlna 6、loga(1+x) ~

m

1lnamn

x αx

7、(1+αx) −1~

8、 − x

注：等价无穷小的使用条件是独立的乘积因子为无穷小，与自变量的

趋势无关，也就是说在可以在0×0以及的时候可以使用。

四、洛必达法则

λ上可导，g′(x) 在N λ上没有 定理：若f(x) ，g(x) 在λ的某个去心邻域N

零点，另外limx→λf x =limx→λg x =0【或者limx→λg x =∞（两者只需满足其中一个条件）】，如果limx→λf′ x /g′(x) =Λ，则limx→λf x /g(x) =Λ。 注：简单理解就是：

limx→∞

f(x) g(x)

=limx→∞

f(x) ′g(x) ′

=⋯=limx→∞

f(x) (k) g(x)

00

∞∞

其中f(x) (k) , g(x) (k) 是f x , g(x) 的k阶导数

洛必达法则只有当因式极限为零或者无穷的时候才能用，即或者的 时候方可使用

洛必达法则未定型式的变换：（变成或者的形式）

∞

∞

10110−0

0∙∞=0∙=∞−∞=−=

1∞=e∞∙ln1=e∞∙000=e0∙ln0=e0∙∞

∞0=e0∙ln∞=e0∙∞

五、泰勒公式

局部泰勒公式(Peano余项泰勒公式) ：

f x 在a的某邻域具有n-1阶倒数，且f n a 存在，则：

n

a f′ a f′′ a f2 x−a +f x =f a +(x−a) +⋯+(x−a) n

+o((x−a) n)

泰勒公式（拉格朗日余项定理）：

f x 在[α, β]上有连续的n 阶导函数f n x , 且f n+1 x 在(α, β) 上存在. 取定一个a∈[α, β]，则∀x∈[α, β]，存在一个ξ介于a与x之间，使得：

f′ a f′′ a

x−a +f x =f a +(x−a) 2+⋯ n+1

a f n a fn

+(x−a) +(x−a) n+1

常用泰勒公式： 1. e=1+x+2. sinx=x−3. cosx=1−

x33! x22!

x

x2!

+⋯+

x55! x44! x22

xnn!

+o(xn)

x2n−1n−1 −1

2n−1 ! x2nn −1

2n ! xnn−1 −1

n

++

−⋯+−⋯++⋯+

2!

+o(x2n)

+o(x2n+1) +o xn

μ μ−1 ⋯ μ−n+1

n!

4. ln 1+x =x−

5. 1+x μ=1+μx+6.

11−x

μ μ−1

x2+⋯+xn+o xn

=1+x+x2+x2+⋯+xn+o(xn)

第二章 一元函数微分学

f x −f(a) x−adydx

一、导数

1.1导数的定义：

设y=f(x) 在a的某个邻域上有定义，如果极限lim x→a在，那么称此极限为f(x) 在a处的导数，记为f′(x) 或

dydxx=a

dfdx

存

(a) 或(a) 或

或y′ x=a. 称此函数在a处可导（或可微）.

f x+ −f(x)

换一种记法，在x处的导数为f′ x =lim →0在x处的右导数为f′+(x) =lim →0+在x处的左导数为f−(x) =lim →0−

′

f x+ −f(x) f x+ −f(x)

. .

注：如果函数f(x) 在一个区间上处处有导数，那么称f(x) 是此区间上的可导（或可微）函数。

定理：f(x) 在a处可导的充要条件是，存在实数A 使得在a的某个邻

域上，函数可以表示为f x =f a +A x−a +o(x−a)

这里o(x−a) 是x−a的高阶无穷小，即limx→a

0(x−a) x−a

=0.

定理：如果f有连续的反函数φ，并且f在φ(x0) 处有非零导数，则φ在

x0处可导且φ′ x0 =注： arcsinx ′=

1f′(φ(x0))

′ arctanx=11+x2

′ arccosx=莱布尼茨求导法则：设u, v是x的函数，如果它们在x处都有n阶导数，

k(k) (n−k)

则在x处(uv) (n) = nCv. k=0nu

1.2可导与连续的关系：

1、连续的函数不一定可导。 2、可导的函数是连续的函数。 3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。 4、存在处处连续但处处不可导的函数。

左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

二、各类定理

费马定理：设f(x) 在c的某邻域 c−δ, c+δ 上有定义，并且在此邻

域上f(x) ≤f(c) （f(c) 是局部最大值）或f(x) ≥f(c) （f(c) 是局部最小值），则当f(x) 在c处可导时，有f′ x =0。 罗尔定理：设f(x) 在 a, b 上连续，在(a, b) 上可导。如果f a =f(b) ，

则必有一点c∈ a, b ，使f′ c =0.

拉格朗日中值定理：设f(x) 在 a, b 上连续，在(a, b) 上可导，则必有

一点ξ∈(a, b) 使f′ ξ =

f b −f(a) b−a

柯西中值定理：若f(x) ，g(x) 在 a, b 上连续，在(a, b) 上可导，且

g′(x) ≠0，则存在一个ξ∈

f b −f(a)

(a, b) 使

g b −g(a)

=

f′ ξ

g′ ξ

三、单调性与极值

定理：设f(x) 在 a, b 上连续，在(a, b) 上可导。如果在(a, b) 上，

f′(x) >0，则f(x) 严格递增；如果在(a, b) 上，f′(x)

严格递减。

定义：设f(x) 在a的某邻域 a−δ, a+δ 上满足f(x) ≤f(a) （或

f(x) ≥f(a) ），则称f(x) 在a处达到极大值（或极小值），这时a称为极值点。

定理：设f(x) 在a的某邻域上可导，那么

（1）如果存在 a−δ, a+δ 使得在 a−δ, a 上f′(x) ≥0，而在 a, a+δ 上f′(x) ≤0，则f(x) 在a处达到极大值。

（2）如果存在 a−δ, a+δ 使得在 a−δ, a 上f′(x) ≤0，而在 a, a+δ 上f′(x) ≥0，则f(x) 在a处达到极小值。

定理：设f(x) 在a的某邻域上可导，且f′ a =0. 如果f′′ a 存在，则

当f′′ a 0时，a是严格极小值点。

四、凸函数与渐近线

4.1凸函数

定义：设I是一个区间，f(x) 是I上函数。如果对于I上任意两点x, y以

及任意θ∈(0,1)，均有f θx+ 1−θ y ≤θf x +(1−θ) f(y) ，则称f(x) 是下凸函数（凸函数）。如果只要x≠y，严格不等号就成立，则称f(x) 是严格下凸函数。若上述不等式换成反向不等式，则称f(x) 是上凸函数（凹函数）。

定理：开区间上的凸函数处处有左导数和右导数，因此是连续函数.

连续，如果f′(x) 是定理：设函数f(x) 在开区间I上可导，在闭区间I上

是（严格）递增函数，则f(x) 在I上（严格）下凸的；如果f′(x) 是

是（严格）上凸的。 （严格）递减函数，则f(x) 在I上

4.2渐近线

定义：曲线y=f(x) 的渐近线一般有下列三种：

（1）水平渐近线：如果lim x→+∞f x =A或lim x→−∞f x =A，则称

y=A是曲线y=f x 的水平渐近线

（2）竖直渐近线：如果lim x→+∞f x =∞或lim x→−∞f x =∞，则称

x=a是曲线y=f x 的竖直渐近线。

（3）斜渐近线：设y=kx+b(k≠0) 是某直线方程。如果 lim x→+∞ f x −(kx+b) =0或lim x→−∞ f x −(kx+b) =0 则称y=kx+b是曲线y=f(x) 的斜渐近线。 注：求斜渐近线的方法：

（1）计算lim x→+∞f x /x（以及lim x→−∞f x /x）。如果得到有限极

限

k，那么进行步骤（2）

（2）计算lim x→+∞(f x −kx) （以及lim x→−∞(f x −kx) ）。如

果仍然

得到有限极限b，那么y=kx+b就是斜渐近线。

4.3不等式

Young 不等式：ab≤ap+bq，等号当且仅当ap=bq时成立。

p

q

1

1

Jensen 不等式：设I是一个区间。x1, x2, ⋯xn是I上任意n个点；

t1, t2, ⋯tn是n个正数，满足 nk=1tk=1

（1）如果在I上f x 是下凸的，则

f t1x1+t2x2+⋯+tnxn ≤t1f x1 +t2f x2 +⋯tnf(xn) （2）如果在I上f x 是上凸的，则

f t1x1+t2x2+⋯+tnxn ≥t1f x1 +t2f x2 +⋯tnf(xn) （3）如果f的凸性是严格的，那么只要x1, x2, ⋯xn不全相等，则上面

的不等式也是严格的。 不等式：n

+⋯+1n

≤ 1n≤

n

x1+⋯+xn

n

（即调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） H older 不等式：设1

p

q1

1

（i=1,2, ⋯, n）是两组正数，则有

a1b1+⋯+anbn≤ a1p+⋯+anp 1 p(b1q+⋯+bnq) 1 q 等号仅在aip biq为常值时成立。（当p=q=2使称为柯西施瓦茨不等

式）

一、积分方法

1.1凑微分法

第三章 一元函数积分学

f φ x φ′ x dx

= f φ x dφ x = f u du 记u=φ x =F u +C=F φ x +C

1.2换元法

f u du= f(φ(x)) φ′(x) dx（令u=φ(x) ）

1.3分部积分法

f(x) g′(x) dx=f x g x − g x f′(x) dx.

或 f x dg x =f x g x − g x df(x)

1.4化为有理函数积分

R(∙, ∙) 为二元有理函数，积分 R(sinx, cosx) dx= R(其中t=tan ,sinx=

2x

2t1+t

2t1+t

, 1−t21+t

2dt1+t ,cosx=1−t21+t1μ+1

,dx=2dt1+t。

二、基本函数不定积分

（1） 1dx=x+C（2） xμdx=

xμ+1+C

（3） sinxdx=−cosx+C（4） cosxdx=sinx+C （5） （7）1cos2x1x

=tanx+C（6）

1sin2x

=−cotx+C

11+x1lna

=arcsinx+C（8） dx=arctanx+C ax+C

dx

（9） dx=ln x +C（10） axdx=

（11） tanxdx=−ln cosx +C （12） （13） cotxdx=ln sinx +C （14） （15）a+x=arctan+C

a

a

12a

1x

dxx−a=ln

a+xa−x

+C

=ln x+ +C

三、黎曼积分

定义：设y=f(x) 是 a, b 上的函数，对于任一分割

∆:a=x0

记 ∆ =max 1≤i≤n xi−xi−1 ，并且在每个小区间上任取一点

ξiϵ xi, xi−1 和式 n如果有一个i=1f(ξi) xi−xi−1 称为黎曼和。

实数A 满足：∀ε>0, ∃δ>0使得当 ∆

ni=1f(ξi) xi−xi−1 −A

定理：有界闭区间 a, b 上的连续函数f(x) 黎曼可积。

定理： a, b 上的单调函数黎曼可积。

定理： a, b 上只有有限个不连续点的有界函数是可积。 b

四、定积分的性质

定理：若f x , g(x) 在 a, b 上可积，则

（1）f x ±g(x) 也在 a, b 上可积，且

f x ±g(x) dx= f x dx± g(x) dx

aaabbb

（2）f x g(x) 也在 a, b 上可积，当其中一个函数为常值时, 有

b

aba kf(x) dx=k f(x) dx

（3）如果在 a, b 上另有 g(x) ≥m>0，则f(x) g(x) 也在 a, b

上可积。

区间可加性：设a

a, b 可积，且有 f(x) dx= f(x) dx+ f(x) dx. aac

积分比较定理：（1）如果f x , g(x) 在 a, b 上可积且f x ≤g(x) , 则

b

ababcb f(x) dx≤ g(x) dx

（2）如果f x 在 a, b 上可积，则 f(x) 也在 a, b 上

f(x) dx 可积且， f(x) dx ≤ aa

积分逼近定理：设f x 在 a, b 上黎曼可积则

f x −φ(x) dx0存在阶梯函数φ(x) 使 abbb

f x −g(x) dx0存在 a, b 上连续函数g(x) 使 a

积分第一中值定理：若f x , g(x) 在 a, b 上可积，且g(x) 在 a, b 上

不变号，则存在μ满足inf a, b f(x) ≤μ≤

sup a, b f(x) b使 abf(x) g(x) dx=bμ ag(x) dx.

推论：对于 a, b 上连续函数f(x) ，一定存在ξ∈ a, b 使

b1 f(x) dx=f(ξ) a

f(x) dx称为f x 在 a, b 上的积分平均值。 b−aa

詹森不等式：设f x 在 a, b 上可积且m≤f(x) ≤M，另外设φ(y) 在

m, M 上是下凸的连续函数，则

bb11φ f(x) dx ≤ φ(f(x)) dx aa1b

如果φ(y) 是上凸的，则反向不等式成立。

积分第二中值定理：（1）设f x 在 a, b 上可积，g(x) 在 a, b 上单调，

则存在ξ∈ a, b 使

f(x) g(x) dx=g a f x dx+g(b) f x dx

aaξbξb

（2）设f x 在 a, b 上可积，g(x) 在 a, b 上非负且

递减，则存在ξ∈ a, b 使

f(x) g(x) dx=g(a) f x dx

aabξ

（3）设f x 在 a, b 上可积，g(x) 在 a, b 上非负且

递增，则存在ξ∈ a, b 使

f(x) g(x) dx=g(b) f x dx

aξbb

定理：如果f x 在 a, b 上可积，则

（1）函数F x = f(t) dt在 a, b 上连续； ax

（2）函数F x = f(t) dt在f(x) 的连续点p处可导, 且F′ p =f(p) a

牛顿 – 莱布尼茨公式：设f x 在 a, b 上可积，F x 在 a, b 上连续，

在 a, b 内满足F′ x =f(x) ，则

f(x) dx=F b −F(a)

abx

定积分变量代换公式：设x=φ(x) 在 α，β 上有可积的导函数，f(x)

在φ(t) 的值域（仍为闭区间）上连续，则

φ(b) β

φ(a) f(x) dx= f(φ(t)) φ′(t) dt α

定理：设x=φ(x) 在 α，β 上严格单调且有可积的导函数，f(x) 在

φ(t) 的值域上可积，则 f(x) dx= f(φ(t)) φ′(t) dt φ(a) α

定理：设f x 在 −a, a 上可积

（1）如果f x 是偶函数，即f −x =f(x)(∀x∈ −a, a ) ，则

a

−aa0φ(b) β f(x) dx=2 f(x) dx

（2）如果f x 是奇函数，即f −x =−f(x)(∀x∈ −a, a ) ，则

a

f(x) dx=0

−a

定理：设f x 在 −∞, +∞ 上是周期为T 的函数，并且在 0, T 上可积，

则f x 在任何有界闭区间上可积，并且∀a∈R，有

a+TT

af(x) dx= f(x) dx 0

分部积分公式：设f x , g(x) 在 a, b 上连续，在 a, b 上可导，并且导

函数可积，则

f(x) g′(x) dx=f(x) g(x) ba− g(x) f′(x) dx

aabb

这也写成

f(x) g′(x) dx=f(x) g(x) ba− g(x) f′(x) dx

aabb

五、定积分的应用

5.1面积

定理：设 a, b 上连续函数满足g(x) ≤f(x) ，则曲线y=f(x) ，y= g(x) ，以及x=a, x=b围成的区域的面积

S= (f x −g(x)) dx

ab

x=x(t) 定理：如果曲线y=f(x) ≥0由参数方程 表示，这里x(t) 单 y=y(t)

调，x′(t) 连续, 则此曲线与x轴以及竖直线x=x(α) ，x=x(β) 所围区域的面积为S= y(t) x′(t) dt α

定理：设简单封闭且分段光滑的曲线γ有参数方程x=x(t) ，y= y(t)(α≤t≤β) . 当参数增加时，懂点沿曲线你是正方向运动（沿 运动方向行进，曲线保卫的区域在左边），那么γ包围的区域面积为

S= x t y′ t dt=− y(t) x′(t) dt

ααβββ

定理：设简单封闭且分段光滑的极坐标曲线r=r(t)(α≤t≤β) ，

那么r包围的区域面积为S= αr2(t) dt 21β

5.2弧长

x=x(t) 定理：如果x′(t) , y′(t) 在 α, β 上连续, 则曲线Γ: (α≤t≤β) y=y(t)

dt 是可求长曲线，并且长度为s= αβ

推论：光滑曲线y=f(x)(a≤x≤b) 的弧长为s=β α dx 推论：若曲线由极坐标方程r=r(t)(α≤t≤β) 给出，且r(t) 有连续

x=r(t) cost的导函数, 则化成参数表示，有 (α≤t≤β) 因此 y=r(t) sint

曲线的弧长为s= = ααββ

5.3旋转体的体积

定理：连续曲线y=f(x) ≥0(a≤x≤b) 与x轴及x=a, x=b所围图

2形绕x轴旋转一周所形成的旋转体体积为V=π f(x) dx ab

推论：连续曲线y=f(x) ≥0(a≤x≤b) 与x轴及x=a, x=b所围图

形绕y轴旋转一周所形成的旋转体体积为V=

2πβ 3αb2π ax f(x) dx 定理：区域0≤α≤φ≤β≤π, 0≤r≤r(φ) 绕极轴一周形成的体积 为V=r3(φ) sinφdφ

5.4旋转体的面积

定理：光滑曲线y=f(x) ≥0(a≤x≤b) 与x轴旋转一周所得旋转面

面积为S=2π f(x) ab

x=φ(t) 定理：光滑曲线参数方程 (α≤t≤β) ，则它绕x轴旋转一周y=ψ(t)

所得旋转体的侧面积为S=2π ψ(t) ab

一、多元函数 第四章多元函数微积分学

1. 多元函数的极限

定义：设函数f X =f(x1, x2, ⋯, xn) 定义在Rn的子集S 上，取值于

R。设P 是S 的一个聚点，a是一个实数，称f X 在P 处有 极限a，记为

X→Plim f X =a

如果∀ε，∃δ使得当X∈S∩(B P, δ − P ) 时，有 f X −a

聚点，则F X 在P 处的极限A 的充要条件是，对S − P 上任 何收敛于P 的点列 Xk ，都有F(Xk) →A(当k→∞)

定理：设f(x, y) 在 a, b 的去心邻域上定义，如果

lim (x,y)→(a,b)f x, y =c∈R，并且对每个x极限lim y→bf(x, y) 存在，

对每个y极限lim x→af(x, y) 存在，那么两个累次极限

lim x→a lim y→bf(x, y) ，lim y→b lim x→af(x, y) 都存在并且都

等于c。

2. 多元函数的连续

定义：设S ⊂Rn，F:S→Rm，P∈S，称F在P处连续。如果∀ε>0,

∃δ>0使得当X∈S∩B(P, δ) 时，有 F X −F(P)

如果F在S中每一点处连续。那么称F是S上连续函数。

连续函数的介值定理：设F X 是道路连通集E上的连续实值函数，

f(A) ，f(B) 是两个函数值。如果λ是介于这两个函数值之

间的任一个实数，则必存在一个C∈E使得f C =λ。

定理：有界闭集S ⊂Rn上的连续函数是一致连续的。

3. 多元函数的微分

定义：设F定义在开集Ω∈Rn，取值于Rm，对于P∈Ω，称F在P处可

微（可导），如果存在一个线性映射Lp:Rn→Rm使得

F X − F P +Lp(X−P) lim =0 X→P换一个说法，称F在P处可微如果存在P∈Ω的某个邻域，可 以将F X 写成F X =F P +Lp X−P +o(X−P)

这里o(X−P) 是 X−P 的高阶无穷小，即满足

o(X−P) lim =0 X→P如果F在Ω的每点可微，则称F是可微函数。

定理：设F X 在P 的邻域有定义并且在P 处达到局部最大或最小值。

如果f在P 处可微，则∇f P =0

其中，∇f P = ðf

ðx1ðfðx2ðfðxn P ， P ，⋯ P

定理：设F定义在开集Ω∈Rn，取值于Rm，如果在P∈Ω的某个邻域，

存在每个偏导数Djfi(X) ，并且这些函数在P 处连续，则F 在P 处可微。

链式法则：如果F定义在P∈Rn的邻域并在P 处可微，G 定义在

F(P) ∈Rm的邻域并在F(P) 处可微，则G∘F定义在P 的某个邻域并且在P 处可微，此外有 G∘F ′ P =G′(F(P)) F′(P)

推论1：设y=f x1, x2, ⋯, xn , xi=xi(t) ，其中i=1,2, ⋯, n则

dyðyðx1ðyðx2ðyðxn=++⋯ 12n推论2：设y=f x1, x2, ⋯, xn , xi=xi(u, v) ，其中i=1,2, ⋯, n则

ðyðyðx1ðyðx2ðyðxn =++⋯12n ðyðyðxðyðxðyðx12n =++⋯n 12高维微分中值定理：设Ω⊂Rn，映射F:Ω→Rm是可微的，如果以

X ，Y 为端点的线段L X, Y = X+t Y−X :0≤t≤1 包含在Ω中，则∀V∈Rm，存在P∈L X, Y 使得

V ∙ F Y −F X =V ∙ F′ P Y−X

定理：设F =(f1, f2, ⋯fn) ，且F 在P ∈Rnd 的邻域可微，则每个偏导

数都在P 处连续的充要条件时，对人任意ε>0，存在δ>0当 X−P

定理：如果F′(X)的每个分量在开集Ω上连续，则F′(X)在任何紧集

K ⊂Ω上一致连续：∀ε>0, ∃δ>0当X, Y∈K满足 X−Y

4. 高阶偏导数