定性和稳定性理论简介
第5章 定性和稳定性理论简介
在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincaré,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍. 5．1 稳定性概念
考虑微分方程
dx
=f(t,x) (5.1) dt
其中函数f(t,x)对xÎDÍRn和tÎ(-∞,+∞)连续，对x满足局部李普希兹条件. 设方程(5.1)对初值(t0,x1)存在唯一解x=j(t,t0,x1)，而其它解记作x=x(t,t0,x0).现在的问题是：当x0-x1很小时，差x(t,t0,x0)-j(t,t0,x1)的变化是否也很小?本章向量x=(x1,...,xn)的范数取x=(åx).
T
i=1n
1
22i
如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.
如果对于任意给定的e>0和t0³0都存在d=d(e,t0)>0，使得只要x0满足
x0-x1
就有
x(t,t0,x0)-j(t,t0,x1)
对一切t³t0成立，则称(5.1)的解x=j(t,t0,x1)是稳定的.否则是不稳定的.
假设x=j(t,t0,x1)是稳定的，而且存在d1(0
x0-x1
就有
lim(x(t,t0,x0)-j(t,t0,x1))=0
t¥
则称(5.1)的解x=j(t,t0,x1)是渐近稳定的.
为了简化讨论，通常把解x=j(t,t0,x1)的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记x(t)=x(t,t0,x0),j(t)=j(t,t0,x1)作如下变量代换.
令
y=x(t)-j(t) (5.2) 则
dydx(t)dj(t)=-=f(t,x(t))-f(t,j(t)) dtdtdt
=f(t,j(t)+y)-f(t,j(t))
d
=F(t,y)
于是在变换(5.2)下，将方程(5.1)化成
dy
=F(t,y) (5.3) dt
其中F(t,y)=f(t,j(t)+y)-f(t,j(t)).这样关于(5.1)的解x=j(t)的稳定性问题就化为(5.3)的零解y=O的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(5.1)的零解x=O的稳定性，即假设f(t,O)ºO，并有如下定义:
定义5.1 若对任意e>0和t0³0，存在d=d(e,t0)，使当x0
x(t,t0,x0)0, 使当x0
limx(t,t0,x0)=0
t¥
则称(5.1)的零解是渐近稳定的.
例1 考察系统
ìdxïdt=y
ídy
ï=-xîdt
的零解的稳定性.
22
解 对于一切t³0，方程组满足初始条件x(0)=x0,y(0)=y0(x0+y0¹0)的解为
ìx(t)=x0cost+y0sint
í
îy(t)=-x0sint+y0cost
对任一e>0，取d=e，则当(x+y)
[x(t)+y(t)]=[(x0cost+y0sint)+(-x0sint+y0cost)]
2=(x0+y)
1
220
2
2
12
2
122
20
1220
故该系统的零解是稳定的. 然而，由于
12
1220
lim[x(t)+y(t)]=(x+y)¹0
t¥
22
20
所以该系统的零解不是渐近稳定的.
例2 考察系统
ìdx
=-xïïdt
í
ïdy=-yïîdt
的零解的稳定性.
解 在t³0上，取初值为(0,x0,y0)的解为：
ìx(t)=x0e-t
í-t
îy(t)=-y0e
22
其中x0+y0¹0
对任一e>0，取d=e，则当(x+y)
[x(t)+y(t)]=(xe
2
2
1
2
2-2t0
20
1220
+ye)
1220
2-2t0
12
2£(x0+y)
故该系的零解是稳定的. 又因为
12
1
2-2t20
2-2t
lim[x2(t)+y2(t)]=lim(x0e+ye)=0 t¥
t¥
可见该系统的零解是渐近稳定的.
例3 考察系统
ìdx
=xïïdt
í
ïdy=yïîdt
的零解的稳定性.
解 方程组以(0,x0,y0)为初值的解为
ìx(t)=x0et
(t³0) ít
îy(t)=y0e
22
其中x0+y0¹0.
[x(t)+y(t)]=(xe+ye)=(x+y)et
由于函数e随t 的递增而无限地增大. 因此,对于任意e>0，不管(x+y)取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证[x(t)+y(t小于预先给定的正数e，所以该系统的零解是不稳的.
例4 考虑常系数线性微分方程组
dx
=Ax (5.5) dt
2
2
12
22
12
22t0
1
22t20
20
1220
t
20
1220
其中xÎRn,A是n×n阵.证明，若A的所有特征根都具严格负实部，则(5.3)的零解是渐近稳定的.
证明 不失一般性，我们取初始时刻t0=0,设Φ(t)是(5.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足x(0)=x0的解x(t)可写成
x(t)=F(t)x0 (5.6) 由A的所有特征根都具负实部知
limF(t)=0 (5.7)
t¥
于是知存在t1>0，使t>t1时F(t)0，取d0=e则当x0
x(t)£F(t)x0£x0t1 (5.8)
当t∈[0,t1]时, 由解对初值的连续相依性, 对上述e>0，存在δ1 >0，当x0
x(t)-O
取d=min{d0,d1}，综合上面讨论知
，当x0
x(t)
即x=0是稳定的.
由(5.7)知对任意x0有limF(t)x0=0，故x=0是渐近稳定的.
t¥
5.2李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的.
李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数V(x) 和通过微分方程所计算出来的导数
dV(x)
的符号性质,就能直接推dt
断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.
为了便于理解,我们只考虑自治系统
dx
=F(x)xÎRn (5.11) dt
假设F(x)=(F1(x),L,Fn(x))T在G=xÎRnx£K上连续,满足局部利普希茨条件,且F(O)=O.
为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念. 定义5.3 若函数
V(x):GR
满足V(O)=0,V(x)和
¶V
(i=1,2,L,n)都连续,且若存在0
{}
{}
V(x)³0(£0),则称V(x)是常正(负)的;若在D上除x¹O外总有V(x)>0(
定的;既不是常正又不是常负的函数称为变号函数.
通常我们称函数V(x)为李雅普诺夫函数.易知: 函数V=x1+x2在(x1,x2)平面上为正定的; 函数 V=-(x1+x2)在(x1,x2)平面上为负定的; 函数V=x1-x2在(x1,x2)平面上为变号函数; 函数 V=x1在(x1,x2)平面上为常正函数. 李雅普诺夫函数有明显的几何意义. 首先看正定函数V=V(x1,x2).
在三维空间(x1,x2,V)中, V=V(x1,x2)是一个位于坐标面x1Ox2即V=0上方的曲面.它与坐标面x1Ox2只在一个点,即原点O(0,0,0)接触(图5-1(a)).如果用水平面V=C(正常数)与V=V(x1,x2)相交,并将截口垂直投影到x1Ox2平面上,就得到一组一个套一个的闭曲线族V(x1,x2)=C (图5-1(b)),由于V=V(x1,x2)连续可微,且V(0,0)=0,故在x1=x2=0的充分小的邻域中, V(x1,x2)可以任意小.即在这些邻域中存在C值可任意小的闭曲线V=C.
对于负定函数V=V(x1,x2)可作类似的几何解释,只是曲面V=V(x1,x2)将在坐标面x1Ox2的下方.
对于变号函数V=V(x1,x2),自然应对应于这样的曲面,在原点O的任意邻域,它既有在x1Ox2
平面上方的点,又有在其下方的点.
定理5.1 对系统(5.11),若在区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足 (1) 正定; dV(2)
dt
(5.11)
22
22
2
2
2
=å
i=1
n
¶V
i(x)常负, ¶xi
(a)
(b)
图 5-1
则(5.11)的零解是稳定的
.
图 5-2
证明 对任意e>0(e
G={xx=e}
则由V(x)正定、连续和G是有界闭集知
b=minxÎG
V(x)>0
由V(O)=0和V(x)连续知存在d>0(d
若上述不等式不成立,由x£dt0,当tÎ[t0,t1)时, x(t,t0,x0)
V(x(t1,t0,x0))³b (5.13) 另一方面,由条件(2)知
dV(x (t , t0 , x0 ))
£0在[t0,t1]上成立,即tÎ[t0,t1]时,
dt
V(x(t,t0,x0))£V(x0)
自然有V(x(t1,t0,x0))
例 1 考虑无阻尼线性振动方程
x+w2x=0 (5.14) 的平衡位置的稳定性.
解 把(5.14)化为等价系统
.ì
ïx=y
í. (5.15)
2
ïîy=-wx
(5.14)的平衡位置即(5.15)的零解.作V函数
11
V(x,y)=(x2+2y2))
2w
有
dV
dt即V(x,y)正定, 定的.
引理 若V(x)是正定(或负定)的李雅普诺夫函数,且对连续有界函数x(t)有 limV(x(t))=0
t¥
.1
y×y)(5.15) (5.15)=(x×x+2w
.
..
dVdt
(5.15)
£0.于是由定理5.1 知(5.15)的零解是稳定的,即(5.14)的平衡位置是稳
则limx(t)=O.
t¥
证明由读者自己完成.
定理 5.2 对系统(5.11),若区域D上存在李雅普诺夫函数V(x)满足 (1) 正定; dV(2)
dt
(5.11)
=å
i=1
n
¶V
i(x)负定, ¶xi
则(5.11)的零解渐近稳定.
证明 由定理5.1 知(5.11)的零解是稳定的.取d为定理5.1 的证明过程中的d,于是当x£d时, V(x(t,t0,x0))单调下降.若x0=0,则由唯一性知x(t,t0,x0)ºO,自然有
limx(t,t0,x0)=O
t+¥
--
不妨设x0¹0.由初值问题解的唯一性,对任意t, x(t,t0,x0)¹O.从而由V(x)的正定性知V(x(t,t0,x0))>0总成立,那么存在a³0使 limV(x(t,t0,x0))=a
t+¥
假设a>0,联系到V(x(t,t0,x0))的单调性有 at0成立.从而由V(O)=0 知存在h>0,使t³t0时
h
由条件(2)有
M=故从(5.16)知
dV(x (t , t0 , x0 ))
£M
dt
h£xe
dV
对上述不等式两端从t0到t>t0积分得
V(x(t,t0,x0))-V(x0)£M(t-t0) 该不等式意味着
limV(x(t,t0,x0))=-¥
t+¥
矛盾.故a=0,即
limV(x(t,t0,x0))=0
t+¥
由于零解是稳定的,所以x(t,t0,x0)在[t0,+¥]上有界,再由引理知limx(t,t0,x0)=O.定理证毕.
t+¥
例 2 证明方程组
ì. ï x = - y + x ( x 2 + y 2 - 1) í . ï y = x + y ( x 2 + y 2 - 1) î 的零解渐近稳定. 证明 作李雅普诺夫函数 V ( x, y ) = 有 dV dt
( 5.17 )
(5.17)
1 2 (x + y2 ) 2
. .
= ( x x + y y ) (5.17 ) = ( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 - 1)
在区域 D = ( x, y ) x 2 + y 2
dV dt 最后,我们给出不稳定性定理而略去证明.
{
}
( 5.17 )
负定,故由定理 5.2 知其零解渐近稳定.
定理 5.3 对系统(5.11)若在区域 D 上存在李雅普诺夫函数 V (x ) 满足 (1) dV dt =å
i =1 n
( 5.11)
¶V Fi ( x) 正定; ¶xi
(2) V (x ) 不是常负函数, 则系统(5.11)的零解是不稳定的. 习 题 5.2 ì. 4 dV ï x = - x1 x 2 , 4 4 1. 对于方程组 í 1. 试说明 V ( x1 , x 2 ) = x1 + x 2 是正定的,而 是常负的. 4 dt ï x 2 = x 2 x1 , î ì. 3 ï x = -4 x 2 - x1 , 2. 讨论方程组 í 1. 零解的稳定性. ï x 2 = 3x1 - x 2 3 , î ì . 2 ï x = - Ax1 - x 2 , 3. 讨论自治系统 í . 1 零解的稳定性. 2 ï x 2 = Ax 2 - x1 x 2 , î 5.3 平面自治系统的基本概念 本节考虑平面自治系统 ì. ï x = P ( x, y ) í. ï y = Q ( x, y ) î
(5.18)
以下总假定函数 P ( x, y ), Q( x, y ) 在区域
D : x
( H £ +¥)
我们把 xOy 平面称为(5.18)的相平面,而把(5.18)的解 x = x(t ), y = y (t ) 在 xOy 平面上的轨迹称 为(5.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图像称为(5.18)的相图. 易于看出,解 x = x(t ), y = y (t ) 在相平面上的轨线,正是这个解在 (t , x, y ) 三维空间中的积分曲 线在相平面上的投影.我们以后会看到,用轨线来研究(5.18)的通解常要比用积分曲线方便得多. 下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系. ì dx ï = -y 例 1 í dt dy ï =x î dt 很明显,方程组有特解 x = cos t , y = sin t. 它在 (t , x, y ) 三维空间中的积分曲线是一条螺旋线 (如图 5-3(a)),它经过点 (0,1,0) . 当 t 增加时,螺旋线向上方盘旋.上述解在 xOy 平面上的轨线是圆 x 2 + y 2 = 1, 它恰为上述积分曲线在 xOy 平面上的投影. 当t 增加时,轨线的方向如图 5-3(b)所示. 另外,易知对于任意常数 a ,函数 x = cos(t + a ), y = sin( t + a ) 也是方程组的解.他的积分曲线 是经过点( - a ,1,0 )的螺旋线.但是,它们与解 x = cos t , y = sin t 有同一条轨线 x 2 + y 2 = 1.
(a)
(b)
图 5-3 同时,我们可以看出, x = cos(t + a ), y = sin( t + a ) 的积分曲线可以由 x = cos t , y = sin t 的积分 曲线沿 t 轴向下平移距离 a 而得到.由于 a 的任意性,可知轨线 x 2 + y 2 = 1 对应着无穷多条积分曲 线. 为了画出方程组在相平面上的相图,我们求出方程组通解 ì x = A cos(t + a ) í î y = A sin( t + a ) 其中 A , a 为任意常数.于是, 方程组的轨线就是圆族(图 5-3(b)). 特别, x = 0, y = 0 是方程的解,它的轨线是原点 O (0,0) . 5.3.2 平面自治系统的三个基本性质 性质 1 积分曲线的平移不变性 设 x = x(t ), y = y (t ) 是自治系统(5.18)的一个解,则对于任意常数t ,函数 x = x(t + t ), y = y (t + t ) 也是(5.18)的解. 事实上,我们有恒等式 dx(t + t ) dx (t + t ) º º P( x(t + t ), y (t + t )) dt d (t + t ) dy (t + t ) dy (t + t ) º º Q( x(t + t ), y (t + t )) dt d (t + t ) 由这个事实可以推出:将(5.18)的积分曲线沿 t 轴作任意平移后,仍然是(5.18)的积分曲线.从而 它们所对应的轨线也相同.于是,自治系统(5.18)的一条轨线对应着无穷多个解. 性质 2 轨线的唯一性 如果 P( x, y ), Q( x, y ) 满足初值解的存在与唯一性定理条件,则过相平面上的区域 D 的任一点 p 0 = ( x0 , y 0 ) ,(5.18)存在一条且唯一一条轨线. 事实上,假设在相平面的 p 0 点附近有两条不同的轨线段 l1 和 l 2 都通过 p 0 点.则在 (t , x, y ) 空间 中至少存在两条不同的积分曲线段 G1 和 G2 (它们有可能属于同一条积分曲线),使得它们在相空 间中的投影分别是 l1 和 l 2 (见图 5-4,这是不妨设 t1
~ t 2 - t1 ,则由性质 1 知道,平移后得到的 G 仍是系统(5.18)的积分曲线,并且它与 G2 至少有一个公共 ~ 点.因此,利用解的唯一性, G 与 G2 应完全重合,从而它们在相空间中有相同的投影.另一方面, G1 ~ 与 G 在相空间显然也有相同的投影,这蕴含 G1 和 G2 在相平面中的 p 0 点附近有相同的投影,而这与 上面的假设矛盾.
图 5-4 性质 1 和性质 2 说明,相平面上每条轨线都是沿t 轴可平移重合的一族积分曲线的投影,而且 只是这族积分曲线的投影. 此 外 , 由 性 质 1 同 样 还 可 知 道 , 系 统 (5.18) 的 解 x(t , t 0 , x 0 , y 0 ), y (t , t 0 , x 0 , y 0 ) 的 一 个 平 移 x(t - t 0 ,0, x0 , y 0 ), y (t - t 0 ,0, x 0 , y 0 ) 仍是(5.18)的解,并且它们满足同样的初值条件,从而由解的唯一 性知 x(t - t 0 ,0, x0 , y 0 ) = x(t , t 0 , x0 , y 0 ) y (t - t 0 ,0, x0 , y 0 ) = y (t , t 0 , x 0 , y 0 ) 因此,在(5.18)的解族中我们只须考虑相应于初始时刻 t 0 = 0 的解,并简记为 x(t , x 0 , y 0 ) = x(t ,0, x0 , y 0 ) , *性质 3 群的性质 系统(5.18)的解满足关系式 x(t 2 , x(t1 , x0 , y 0 ), y (t1 , x 0 , y 0 )) = x (t1 + t 2 , x0 , y 0 ) y (t 2 , x (t1 , x0 , y 0 ), y (t1 , x 0 , y 0 )) = y (t1 + t 2 , x0 , y 0 ) y (t , x 0 , y 0 ) = y (t ,0, x 0 , y 0 )
(5.19) 其 几 何 意 义 是 : 在 相 平 面 上 , 如 果 从 点 p 0 = ( x 0 , y 0 ) 出 发 的 轨 线 经 过 时 间 t1 到 达 点 p1 = ( x1 , y1 ) = ( x(t1 , x0 , y 0 ), y (t1 , x 0 , y 0 )) ,再经过时间 t 2 到达点 p1 = ( x(t 2 , x1 , y1 ), y (t 2 , x1 , y1 )) ,那么 从点 p0 = ( x0 , y 0 ) 出发的轨线经过时间 t1 + t 2 也到达点 p 2 . 事实上,由平移不变性(性质 1), ( x (t + t1 , x 0 , y 0 ), y (t + t1 , x0 , y 0 )) 是系统(5.18)的解,而且易知 它与解 ( x (t , x1 , y1 ), y (t , x1 , y1 )) 在 t = 0 时的初值都等于 ( x1 , y1 ) = ( x (t1 , x0 , y 0 ), y (t1 , x 0 , y 0 )) .由解的 唯一性,这两个解应该相等.取 t = t 2 就得到(5.19). 对于固定的 t Î R ,定义平面到自身的变换 ft 如下:
ft ( x0 , y 0 ) = ( x(t , x 0 , y 0 ), y (t , x 0 , y 0 )) .
也就是 ft 把点 ( x 0 , y 0 ) 映到由该点出发的轨线经过时间 t 到达的点.在集合 F = {f t : t Î R }中引入 乘法运算 o : 令 (ft1 o ft2 )( x 0 , y 0 ) = ft1 (ft 2 ( x 0 , y 0 )) . 由(5.19)知 ft1 o f t2 = ft1 +t2 .所以乘法运算 o 在集合 F 中是封闭的,而且满足结合律,故二元组 (F,o) 构成一个群.容易验证,其单位元为 f0 ,而 ft 的逆元为 f -t .这就是群性质名称的由来.这个平面到自 身的变换群也称作由方程(5.18)所生成的动力系统.有时也把方程(5.18)就叫做一个动力系统.由 此所开展的研究工作导致动力系统这个重要的研究方向.
5.3.3 常点、奇点与闭轨 现在考虑自治系统(5.18)的轨线类型.显然, (5.18)的一个解 x = x(t ), y = y (t ) 所对应的轨线可 分 为 自身 不相交和自身相交的两种情形. 其中 轨线自身相交是指,存在不 同时 刻 t1 , t 2 , 使 得 x(t1 ) = x(t 2 ), y (t1 ) = y (t 2 ) .这样的轨线又有以下两种可能形状: (1) 若对一切 t Î (- ¥,+¥ ) 有 x(t ) º x 0 , y (t ) º y 0 , ( x0 , y0 ) Î D
则称 x = x 0 , y = y 0 为(5.18)的一个定常解.它所对应的积分曲线是 (t , x, y ) 空间中平行于 t 轴的直线 x = x 0 , y = y 0 .对应此解的轨线是相平面中的一个点 ( x 0 , y 0 ) .我们称 ( x 0 , y 0 ) 为奇点(或平衡点).显
然 ( x 0 , y 0 ) 是(5.18)的一个奇点的充分必要条件是 P ( x0 , y 0 ) = Q ( x 0 , y 0 ) = 0 (2) 若存在 T > 0 ,使得对一切 t 有 x(t + T ) = x (t ), y (t + T ) = y (t ) 则称 x = x(t ), y = y (t ) 为(5.18)的一个周期解,T 为周期.它所对应的轨线显然是相平面中的一条闭 曲线,称为闭轨. 由以上讨论和(5.18)轨线的唯一性,我们有如下结论:自治系统(5.18)的一条轨线只可能是下 列三种类型之一: (1) 奇点, (2) 闭轨, (3) 自不相交的非闭轨线. 平面定性理论的研究目标就是:在不求解的情况下,仅从(5.18)右端函数的性质出发,在相平 面上描绘出其轨线的分布图,称为相图.如何完成这一任务呢?现在我们从运动的观点给出(5.18) 的另一种几何解释: 如果把(5.18)看成描述平面上一个运动质点的运动方程,那么(5.18)在相平面上每一点 ( x, y ) 确定了一个速度向量 V ( x, y ) = ( P( x, y ), Q ( x, y )) (5.20)
因而,(5.18)在相平面上定义了一个速度场或称向量场.而(5.18)的轨线就是相平面上一条与向量 场(5.20)相吻合的光滑曲线.这样积分曲线与轨线的显著区别是: 积分曲线可以不考虑方向,而轨 线是一条有向曲线,通常用箭头在轨线上标明对应于时间 t 增大时的运动方向. 进一步,在方程(5.18)中消去t ,得到方程 dy Q( x, y ) = dx P( x, y ) (5.21)
由(5.21)易见,经过相平面上每一个常点只有唯一轨线,而且可以证明: 常点附近的轨线拓扑等价 于平行直线.这样,只有在奇点处,向量场的方向不确定. 因此,在平面定性理论中,通常从奇点入手,弄清楚奇点附近的轨线分布情况.然后,再弄清 (5.18)是否存在闭轨,因为一条闭轨线可以把平面分成其内部和外部,再由轨线的唯一性,对应内 部的轨线不能走到外部,同样对应外部的轨线也不能进入内部.这样对理解系统整体的性质会起 很大的作用.
习题 5.3
通过求解,画出下列各方程的相图,并确定奇点的稳定性: ì dx ï dt = -2 x (1) í dy ï = -3 y î dt ì dx =y ï (3) í dt dy ï = -x î dt ì dx ï dt = 3x (2) í dy ï = x + 3y î dt ì dx ï = 2x + 3y (4) í dt dy ï = x + 3y î dt
5.4 平面定性理论简介 本节将对如何获得平面系统(5.18)的整体相图结构作一简单介绍. 5.4.1 初等奇点附近的轨线分布 前面我们已经得到，奇点是动力系统 ì dx ï dt = P( x, y ) ï í ï dy = Q ( x, y ) ï dt î
(5.18)
的一类特殊轨线.它对于研究(5.18)的相图有重要的意义.为此，我们在本节先研究一类 最简单的自治系统——平面线性系统的奇点与它附近的轨线的关系.平面线性系统的 一般形式为 ì dx ï dt = a11 x + a12 y ï í ï dy = a x + a y 21 22 ï dt î 我们假定其系数矩阵 éa A = ê 11 ë a21 a12 ù a22 ú û
(5.22)
为非奇异矩阵，即其行列式 det A ¹ 0 (即 A 不以零为特征根).
显然， (5.22)只有一个奇点(0， 0).我们研究(5.22)在(0， 0)附近的轨线分布.因为(5.22) 是可解的，我们的作法是先求出系统的通解，然后消去参数 t，得到轨线方程.从而了 解在奇点(0，0)附近的轨线分布情况.根据奇点附近轨线分布的形式，可以确定奇点有 四种类型，即结点，鞍点，焦点和中心. 为了讨论问题方便，我们把方程写成向量形式. 令 é dx ù x ù dX ê dt ú é éxù =ê ú X = ê ú ,则 X = ê ú ë y û dt ê dy ú ë yû ê dt ú ë û 此时方程组(5.22)可以写成向量形式 dX = AX dt 1. 系数矩阵为标准型的平面线性系统的奇点附近轨线分布 我们研究线性系统(5.23)在奇点(0，0)附近轨线分布的方法是，首先应用线性变换， 把系统(5.23)化成标准型，并从化成标准型的方程中求出解来，确定其轨线分布，然后 再回过头来考虑原系统(5.23)在奇点附近的轨线分布. 根据线性代数中关于矩阵的定理，存在非奇异矩阵 T，使得 J = TAT -1 （J 为约当标准型）. % % % æ xö % % X = ç ÷ ,作代换 X = TX , X = TX ( X = T -1 X ) % yø è (5.23)
令
则 % dX dX % % =T = TAT -1 X = JX dt dt 于是系统(5.23)化成为
% dX % = JX dt
（5.24）
由线性变换的理论可知，标准型 J 的形式由系数矩阵 A 的特征根的情况决定： (1) 特征根为相异实根 λ ，μ时， él J=ê ë0 0ù mú û
(2) A 的特征根为重根λ时，由 A 的初等因子的不同情形，A 的标准型 J 可能有两 种，为方便计，写成： él J=ê ë0 0ù él ú 或 J = ê1 lû ë 0ù lú û
(3) A 的特征根为共轭复根 a ± i b 时， éa J=ê ë- b (因 det A ¹ 0 ，特征根不能为零). 考察(5.24)，为了书写方便，去掉上标，把(5.24)写成 dX = JX dt 下面就 J 的不同情况来研究(5.24)(即系统(5.24)′)的轨线分布. (1) 当 él J=ê ë0 时，系统(5.24)′可写成纯量形式 ì dx ï dt = l x ï í ï dy = m y ï dt î 0ù （λ≠μ ） mú û (5.24)′
bù aú û
(5.25)
求它的通解，得 x = c1 elt , y = c2 e mt 消去参数 t，得轨线方程 y = C x l （C 为任意常数）
m
(5.26)
(5.27)
这里假定| μ |＞|λ |，即 μ 表示特征根中绝对值较大的一个(显然，这不妨碍对一般性的 讨论，如| μ |＜|λ |，则只要互换 x 轴和 y 轴). a)λ ， μ 同号 这时由于
m > 0 ，轨线(5.27)是抛物线型的(参看图 5-5 及图 5-6).同时，由(5.26)知 x l
轴的正、负半轴及 y 轴的正、负半轴也都是(5.25)的轨线.由于原点(0，0)是(5.25)的奇 点以及轨线的唯一性，轨线(5.27)及四条半轴轨线均不能过原点.但是由(5.26)可以看 出，当 μ ＜ λ ＜0 时，轨线在 t→＋∞时趋于原点(图 5-5)；当 μ ＞ λ ＞0 时，轨线在 t →－∞时趋于原点(图 5-6).另外，我们有 dy C2 m e mt C2 m ( m -l )t = = e dt C1l elt C1 l 于是，当 μ ＜ λ ＜0，轨线(除正、负半 y 轴外)的切线斜率在 t→＋∞时趋于零，即轨 线以 x 轴为其切线的极限位置.当 μ ＞ λ ＞0，轨线(除正、负半 y 轴外)的切线斜率在 t→－∞时趋于零，即轨线以 x 轴为其切线当 t→－∞时的极限位置. 如果在某奇点附近的轨线具有如图 5-5 的分布情形， 我们就称这奇点为稳定结点.因此， 当 μ ＜ λ ＜０时，原点 O 是(5.25)的稳定结点.
图 5-5
图 5-6
如果在某奇点附近的轨线具有如图 5-6 的分布情形，我们就称这奇点为不稳定结 点.因此，当 μ ＞ λ ＞0 时，原点 O 是(5.25)的不稳定结点. b)λ，μ 异号 这时，由于 是轨线. 先讨论 λ ＜0＜ μ 的情形.由(5.26)易于看出当 t→＋∞时，动点(x, y)沿正、负 x 半 轴轨线趋于奇点(0，0)，而沿正、负 y 半轴轨线远离奇点(0，0).而其余的轨线均在一度 接近奇点(0，0)后又远离奇点(图 5-7).
m
图 5-7
图 5-8
对 μ ＜0＜ λ 的情形可以类似地加以讨论，轨线分布情形如图 5-8. 如果在某奇附近的轨线具有如图 5-7 或图 5-8 的分布情形，我们称这奇点为鞍点. 因此，当异号时，原点 O 是(5.25)的鞍点. (2)当 él J=ê ë0 时，把系统(5.24)′写成纯量形式就得到 ì dx ï dt = l x ï í ï dy = l y ï dt î 0ù lú û
(5.28)
积分此方程，得通解 x = c1 elt , y = c2 elt 消去参数 t，得轨线方程 y = Cx (C 为任意常数). (5.29)
根据 λ 的符号，轨线图象如图 5-9 和图 5-10.轨线为从奇点出发的半射线.
图 5-9
图 5-10
如果在奇点附近的轨线具有这样的分布，就称这奇点为临界结点.由通解(5.29)可 以看出：当 λ ＜0 时，轨线在 t→＋∞时趋近于原点.这时，我们称奇点 O 为稳定的临 界结点；当 λ ＞0 时，轨线的正向远离原点， 我们称 O 为不稳定的临界结点. 当 él J=ê ë1 时，系统(5.24)′的纯量形式为 ì dx ï dt = l x ï í ï dy = x + l y ï dt î 它的通解为 x = C1e lt , y = (C2 t + C2 )e lt 0ù lú û
消去参数 t，得到轨线方程 C1 l y = (C1 ln x + C0 ) x 易于知道有关系
' lim y = 0 , lim y x = ¥ x ¥ x ¥
图 5-11
图 5-12
所以当轨线接近原点时，以 y 轴为其切线的极限位置.此外，正、负 y 半轴也都是轨线. 轨线在原点附近的分布情形如图 5-11 及图 5-12 所示.如果在奇点附近轨线具有这样的 分布，就称它是退化结点.当 λ ＜0 时，轨线在 t→＋∞时趋于奇点，称这奇点为稳定的 退化结点；当 λ ＞0 时，轨线在 t→＋∞时远离奇点，称这奇点为不稳定的退化结点. (3)当 éa J=ê ë- b 时，把系统(5.24)′写成纯量形式 ì dx ï dt = a x + b y ï í ï dy = - b x + a y ï dt î
bù aú û
( b ¹ 0)
(5.30)
我们来积分上述方程组.将第一个方程乘以 x，第二个方程乘以 y，然后相加，得
x 或写成
dx dy 2 2 +y = a ( x0 + y0 ) dt dt
d (x2 + y2 ) = a dt 2( x 2 + y 2 ) 因而得到 x 2 + y 2 = C1 ea t 或 r = C1 ea t 其次，对方程(5.30)第一个方程乘以 y，第二个方程乘以 x，然后相减，得 y 或写成 y d (arctan ) = - b dt x 于是得 arctan 或 y = - b t + C2 x dx dy +x = b ( x2 + y 2 ) dt dt
q = - b t + C2
消去参数 t，得到轨线的极坐标方程
r = Ce
a - q b
(5.31)
如 a ¹ 0 ，则它为对数螺线族，每条螺线都以坐标原点 O 为渐近点.在奇点附近轨 线具有这样的分布，称奇点为焦点. 由于 r = C1ea t ，所以当 a 0 时，相点沿着轨线远离原点， 这时，称原点是不稳定焦点 (见图 5-14).
图 5-13
图 5-14 如 a = 0 ，则轨线方程(5.31)成为
r = C 或 x2 + y2 = C 2
它是以坐标原点为中心的圆族.在奇点附近轨线具有这样的分布，称奇点为中心.此时， 由 β 的符号来确定轨线方向.当 β ＜0 时，轨线的方向是逆时针的；当 β ＞0 时是顺时 针的(见图 5-15 及图 5-16).
图 5-15 综上所述，方程组
图 5-16
dX = AX dt % 经过线性变换 X = TX ，可化成标准型 % dX % = JX dt
det A ¹ 0
(5.23)
(5.24)
由 A 的特征根的不同情况，方程(5.24)(亦即方程(5.24)′)的奇点可能出现四种类型： 结点型，鞍点型，焦点型，中心型. 2. 一般的平面常系数线性系统的奇点附近轨线分布
上面讲了系数矩阵为标准型的系统 % dX % = JX dt 的轨线在奇点 O(0，0)附近的分布情况，现在回来研究一般的平面线性系统 dX = AX dt 的轨线在奇点 O(0，0)附近的分布情况. % 我们知道，(5.22)可以从(5.24)经逆变换 X = T -1 X 而得到，而且，由于 T 是非奇异 变换， T -1 也是非奇异变换，因而也就是一个仿射变换，它具有下述不变性： (1) 坐标原点不变； (2) 直线变成直线； (3) 如 果 曲 线 (x(t), y(t)) 当 t → ＋ ∞ ( 或 t → － ∞ ) 时 趋 向 原 点 ， 变 换 后 的 曲 线 % % ( x (t ), y (t )) ，当 t→＋∞(或 t→－∞)时也趋向坐标原点； (4) 如果曲线(x(t), y(t))当 t→＋∞(或 t→－∞)时，盘旋地趋向原点，变换后的曲线 % % ( x (t ), y (t )) ,当 t→＋∞(或 t→－∞)时也盘旋地趋向原点. % % (5) 闭曲线(x(t), y(t))经过变换后，所得曲线 ( x (t ), y (t )) 仍为闭曲线. (5.23)
(5.24)
由此可见，方程(5.24)在各种情况下的轨线，经过线性变换 T -1 后得到方程(5.23) 的轨线，其结点型，鞍点型，焦点型，以及中心型的轨线分布是不变的.这就是轨线结 构的不变性. 并且，由于变换后轨线趋向原点的方向不变，所以结点、焦点的稳定性也不改变. 于是，系统(5.23)的奇点 O(0, 0)，当 det A ¹ 0 ，根据 A 的特征根的不同情况可有如 下的类型：
因为 A 的特征根完全由 A 的系数确定，所以 A 的系数可以确定出奇点的类型.因 此，下面来研究 A 的系数与奇点分类的关系. 方程(5.22)的系数矩阵的特征方程为 a11 - l a21 或 为了书写方便，令 a12 =0 a22 - l
l 2 - (a11 + a22 )l + a11 a22 - a12 a21 = 0
s = -(a11 + a22 ), D = a11a22 - a12 a21
于是特征方程可写为
l 2 + sl + D = 0
特征根为
l1,2 =
-s ± s 2 - 4D 2
下面就分特征根为相异实根，重根及复根三种情况加以研究： (1)
(i)
s 2 - 4D > 0
D>0
s
(ii)
D
二根异号——奇点为鞍点
(2)
s 2 - 4D = 0 s 0负的重根 þ
(3)
s 2 - 4D
综合上面的结论，由曲线 s 2 = 4D ， Δ 轴及 s 轴把 s OD 平面分成几个区域，不同 的区域，对应着不同类型的奇点(图 5-17).
图 5-17
5.4.2 平面非线性自治系统奇点附近的轨线分布 以上是面平线性系统(5.22)的轨线在奇点 O(0，0)附近的分布情况.下面再根据上面 的讨论，介绍一点研究一般的平面系统 ì dx ï dt = P( x, y ) ï í ï dy = Q ( x, y ) ï dt î 的轨线在奇点附近的分布的方法. 我们不妨假设原点 O(0, 0)是(5.18)的奇点，即 P(0, 0)＝ Ｑ (0, 0)＝0.这并不失一般 性.因为，如果( x0 , y0 )为(5.18)的一个奇点，只要作变换 x = x0 + x ' ， y = y0 + y ' 就可以把奇点 x0 , y0 移到原点(0，0). 设(5.18)的右端函数 P(x, y), Q(x, y)在奇点 O(0,0)附近连续可微，并可以将(5.18)的 右端写成 ì dx ï dt = a11 x + a12 y + j ( x, y ) ï í ï dy = a x + a y + y ( x, y ) 21 22 ï dt î 其中 a11 = Px' (0, 0), ' a21 = Qx (0, 0), 我们把平面线性系统 ì dx ï dt = a11 x + a12 y ï í ï dy = a x + a y 21 22 ï dt î a12 = Py' (0, 0) ' a22 = Qy (0, 0)
(5.18)
(5.22)
称为一般平面自治系统(5.18)的一次近似.在条件 a11 a21 a12 ¹0 a22
的假设下，称(0，0)为系统(5.18)的初等奇点，否则，称它为高阶奇点.(5.22)的奇点的 情况已讨论清楚. 一个常用的手法是将(5.18)与(5.22)比较，对“摄动”j ( x, y ) 及 y ( x, y ) 加上一定的条件，就可以保证对于某些类型的奇点，(5.18)在 O(0，0)的邻域的轨线分 布情形与(5.22)的轨线分布情形同.我们只介绍如下的一个常见的结果而不加以证明. 定理 5.4 如果在一次近似(5.22)中，有 a11 a21 a12 ¹0 a22
且 O(0， 0)为其结点(不包括退化结点及临界结点)、 鞍点或焦点， j ( x, y ) 与 y ( x, y ) 又 在 O(0，0)的邻域连续可微，且满足 lim 2
j ( x, y )
x2 + y2
x + y ¥
2
= 0，
x + y ¥
2
lim 2
y ( x, y )
x2 + y2
=0
(5.32)
则系统(5.18)的轨线在 O(0，0)附近的分布情形与(5.22)的完全相同. 当 O(0，0)为(5.22)的退化结点、临界结点或中心时，条件(5.32)不足以保证(5.18) 在 O(0，0)的邻域的轨线分布与(5.22)的轨线分布情形相同，还必须加强这个条件，我 们不再列举了. 5.4.3 极限环的概念 为了说明极限环的概念，先看看下面的例子. 例 1 考察方程组 ì dx 2 2 ï dt = - y - x( x + y - 1) ï í ï dy = x - y ( x 2 + y 2 - 1) ï dt î
(5.33)
的轨线分布. 解 将方程（5.33）的第一个方程两端乘以 x，第二个两端乘以 y，然后相加得到 x 作极坐标变换 x = r cos q ， y = r sin q 由 x 2 + y 2 = r 2 ，微分之，则得 r 所以(5.34)可写成 r 或 dr = - r (r 2 - 1) dt (5.35) dr = - r 2 (r 2 - 1) dt dr dx dy =x +y dt dt dt dx dy +y = -( x 2 + y 2 )( x 2 + y 2 - 1) dt dt (5.34)
其次，将方程组(5.33)的第一个方程乘以 y，第二个方程乘以 x，然后相减，得 y 由 q = arctan y ，微分之，可知 x dq =1 dt 于是原方程(5.33)经变换后化为 ì dr 2 ï dt = - r (r - 1) ï í dq ï =1 ï dt î 积分所得方程(5.37).易于看出，方程组(5.37)有两个特解： r =0， r =1 (5.36) dr dy -x = -( x 2 + y 2 ) dt dt
(5.37)
其中 r =0 对应(5.33)奇点，而 r =1 对应于(5.33)的一个周期解，它所对应的闭轨线是以 原点为中心以 1 为半径的圆. 进一步求方程组的通解，得 ì r2 = Ae 2t ï 2 í1 - r ï q -q = t 0 î 或为 ì 2 Ae 2t ïr = 2t Ae + 1 í ï q =q +t î 于是方程(5.33)的轨线分布如图(5-18). 从方程组(5.33)的相图上可看出，轨线分布是这样的： (1) (0，0)为奇点， x 2 + y 2 = 1 为一闭轨线. (2) 闭轨线 x 2 + y 2 = 1 的内部和外部的轨线，当 t→+∞时分别盘旋地趋近于该闭轨 线 x2 + y 2 = 1 . 我们在 5.3 节的例 1 中也提到过闭轨线，但当时的闭轨线都是一族连续分布的闭 轨线.而且，当时没出现其他的轨线当 t→±∞时趋近于闭轨线的情况.因此，上例中的 闭轨线以及它附近的轨线的分布情形，是一种新的结构.我们作如下的定义. r02 1 - r02
A=
图 5-18 定义 5.4 设系统
ì dx ï dt = P( x, y ) ï í ï dy = Q ( x, y ) ï dt î
(5.18)
具有闭轨线 C.假如在 C 充分小邻域中，除 C 之外，轨线全不是闭轨线，且这些非闭轨 线当 t→＋∞或 t→－∞时趋近于闭轨线 C，则说闭轨线 C 是孤立的，并称之为(5.18) 的一个极限环. 极限环 C 将相平面分成两个区域：内域和外域. 定义 5.5 如果极限环 C 的内域的靠近 C 的轨线当 t→+∞(-∞)时盘旋地趋近于 C(图 5-19)，则称 C 是内稳定(内不稳定的)；如果在极限环 C 的外域的靠近 C 的轨线 当 t→+∞(－∞)时盘旋地趋近于 C(图 5-20)，侧称 C 是外稳定的(外不稳定的)；如果当 t→＋∞(－∞)时， 的内部及外部靠近 C 的轨线都盘旋地趋近于 C， C 则称 C 是稳定的(不 稳定的) (如图 5-21(a)),如果当 t→＋∞(－∞)时，C 的内外部的稳定性相反，则称 C 为 半稳定的 (图 5-21(b)).
图 5-19
图 5-20
(b) 图 5-21 易于看出，例 1 中的轨线 x 2 + y 2 = 1 是稳定的极限环. 5.4.4 极限环的存在性和不存在性 稳定的极限环表示了运动的一种稳定的周期态， 它在非线性振动问题 中有重要意 义.一般说来， 一个系统的极限环并不能像例 1 那样容易算出来.关于判断极限环存在性 的方法，我们只叙述下面有关定理，其证明可参阅专著. 定 理 5.5 设 区 域 D 是 由 两 条 简 单 闭 曲 线 L1 和 L2 所 围 成 的 环 域 ， 并 且 在 D = L1 U D U L2 上系统(5.18)无奇点；从 L1 和 L2 上出发的轨线都不能离开(或都不能进 入) .设 L1 和 L2 均不是闭轨线，则系统(5.18)在 D 内至少存在一条闭轨线 Γ ，它与 L1
和 L2 的相对位置如图 5-22，即 Γ 在 D 内不能收缩到一点.
图 5-22
如果把系统(5.18)看成一平面流体的运动方程，那么上述环域定理表明：如果流体 从环域 D 的边界流入 D，而在 D 内又没有渊和源,那么流体在 D 内有环流存在.这个力 学意义是比较容易想象的. 习惯上，把 L1 和 L2 分别称作 Poincaré-Bendixson 环域的内、外境界线. 关于平面系统(5.18)不存在极限环的判定准则常用的是下面的定理 定理 5.6 (Bendixson 判断)设在单连通区域 G 内，系统(5.18)的向量场(P， Q)有连续 偏导数.若该向量场的散度 div( P, Q) = ¶P ¶Q + ¶x ¶y
保持常号，且不在 G 的任何子域内恒等于零，则系统(5.18)在 G 内无闭轨. 定理 5.7 (Dulac 判断)设在单连通区域 G 内，系统(5.18)的向量场(P，Q)有连续 偏导数，并存在连续可微函数 B(x, y)使得 ¶( BP) ¶ ( BQ ) + ¶x ¶y 保持常号，且不在 G 内任何子区域内恒为零，则系统(5.18)在内无闭轨. 例 2 讨论系统 dx ì =y ï ï dt í ï dy = - x - y - x 2 - y 2 ï dt î 的全局结构. 解 (1) 奇点 (5.38)有两个奇点 O(0，0)和 E(-1，0). 对于奇点 O(0，0)，其线性近的方程的系数阵是 é Px êQ ë x Py ù é0 1ù =ê ú Qy û (0,0) ë -1 -1ú û
(5.38)
它的特征根是 l1,2 =
1 (-1 ± i 3) ，显然是稳定焦点. 2
对于奇点 E(-1，0)，其线性近似方程的系数阵是 é Px ê ëQx 它的特证根是 l1,2 = (2) 闭轨线. 取函数 B(x, y)= e2x,有 ¶( BP) ¶ ( BQ) + = -e 2 x
( 1,0)
1 (-1 ± i 5) ,显然 E(-1，0)是鞍点. 2