函数导数应用题
函数导数应用题
1. 根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p 与日产量x (件)
⎧2*
, 1≤x ≤9, x ∈N , ⎪日废品量⎪15-x
之间近似地满足关系式p =⎨2(日产品废品率= ×
日产量x +60⎪, 10≤x ≤20, x ∈N *
⎪⎩540
100%) .已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y =日正品赢利额-日废品亏损额)
(1)将该车间日利润y (千元) 表示为日产量x (件) 的函数;
(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?最大日利润是几千元? 1.解:(1)由题意可知,
⎧24x -2x 2
, 1 ≤x ≤9, x ∈N *, ⎪⎪15-x
y =2x (1-p ) -px =⎨3
⎪5x -x , 10≤x ≤20, x ∈N *. ⎪180⎩3
⎧24x -2x 2
, 1 ≤x ≤9, ⎪⎪15-x
(2)考虑函数f (x ) =⎨ 3
⎪5x -x , 10≤x ≤
20, ⎪180⎩3
当15-x ≤9时,f '(x )
) 在(15-上单调减.
所以当x =15-f (x ) 取得极大值,也是最大值,
2. 一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a 成正比,与它的厚度d 的平方成正比,与它的长度l 的平方成反比.
(Ⅰ)将此枕木翻转90°(即宽度变为厚度),枕木的安全负荷会如何变化?为什么?(设翻
6464
,f (9)=9,所以当x =8时,f (x ) 有最大值. 77
22
5x 100-x
=≤0,所以函数f (x ) 在[10,20]上单调减,当10≤x ≤20时,f '(x ) =- 36060
100
所以当x =10时,f (x ) 取得极大值,也是最大值.
9
10064由于>,所以当该车间的日产量为10件时,日利润最大.
97
100
答:当该车间的日产量为10件时,日利润最大,最大日利润是千元.
9
又x 是整数,f (8)=
转前后枕木的安全负荷分别为y 1, y 2且翻转前后的比例系数相同都为k )
(Ⅱ)现有一根横断面为半圆(已知半圆的半径为R )的木材,用它来截取成长方体形的枕木,其长度为10,问截取枕木的厚度为d 多少时,可使安全负荷y 最大?
ad 2da 2
2. 解:(Ⅰ)安全负荷y 1=k ⋅2(k 为正常数)翻转90︒后, y 2=k ⋅2,
l l
y 1d
=, y 2a
∴当0当 0
当a =d 时,y 1=y 2安全负荷不变.
a
(II )如图,设截取的宽为a ,厚度为d ,则(2+d 2=R 2, 即a 2+4d 2=4R 2.
2
k kad 2k a 22
(4R 2a -a 3) (x ∈(0, 2R ) k >0) =a (R -== y =
4004100100
3k 42y '=-(a 2-R 2) 令y '=0 得: a =R
40033223
当a ∈(0, , R ) 时 y '>0, 函数y 在(0, R ) 上为增函数;
332323
当a ∈(R , 2R ) 时 y '>0, 函数y 在(R , 2R ) 上为减函数;
33
62R 时,安全负荷y 最大。此时厚度d =当 a =R 33
6
答:当问截取枕木的厚度为R 时,可使安全负荷最大。
3
3. 某地一渔场的水质受到了污染.渔场的工作人员对水质检测后,决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为m (m ∈N *)个单位的药剂后,经过x 天该药剂在水中释放的
⎧log 】(x +4),0
⎪x -2, x >5⎩
度不低于6(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于6(毫克/升)且....不高于18(毫克/升)时称为最佳净化. ....
(Ⅰ)如果投放的药剂质量为m =6,试问渔场的水质达到有效净化一共可持续几天? ....(Ⅱ)如果投放的药剂质量为m ,为了使在8天(从投放药剂算起包括第8天)之内的渔场的水质达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m 的取值范围. ....3. 解:(Ⅰ)由题设:投放的药剂质量为m =6,
渔场的水质达到有效净化....⇔6f (x ) ≥6
⇔f (x ) ≥1
⎧x >5
⎧0
或⎪ ⇔⎨⎨6
log (x +4) ≥1≥1⎩3⎪⎩x -2
⇔0
所以如果投放的药剂质量为m =6,自来水达到有效净化一共可持续8天 ....
4. 如图,O 为总信号源点,A ,B ,C 是三个居民区,
已知A ,B 都在O 的正东方向上,OA = 10 km ,OB 在O 的北偏西45° 方向上,CO =km . (1)求居民区A 与C 的距离;
(2)现要经过点O 铺设一条总光缆直线EF (E 在直线OA 的上方),并从A ,B ,C 分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF .假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比,比例系数为m (m 为常数).设∠AOE = θ(0≤θ
① 求w 关于θ的函数表达式; ② 求w 的最小值及此时tan θ的值.
5. 某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点A
C
与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点..C 到点B 设计为沿弧BC 的弧形小路,在路的一侧边缘种植绿化带.(注:..小路及绿化带的宽度忽略不计)
(1)设 ÐBAC =q(弧度),将绿化带总长度表示为q的函数s (θ) ; (2)试确定q的值,使得绿化带总长度最大. 5. 解:(1)如图,连接BC ,设圆心为O ,连接CO .
在直角三角形ABC 中,AB =100,∠BAC =θ, 所以AC =100cos θ.
由于∠BOC =2∠BAC =2θ,所以弧BC 的长为50⨯2θ=100θ. 所以s (θ) =2⨯100cos θ+100θ,
即s (θ) =200cos θ+100θ,θ∈(0,π) .
(2)s '(θ) =100(-2sin θ+1) , 令 s ¢(q) =0,则θ=π,
6列表如下:
A
O
B
所以,当θ=π时,s (θ) 取极大值,即为最大值.
当θ=π时,绿化带总长度最大.