圆锥曲线
抛物线
1定义:到定点F 与定直线L距离相等的点的集合 且点F不在L上
F点为焦点 L线为抛物线的准线 |FK|为焦距也就是F到直线L的距离 大小为p 2标准方程的四种形式
)
x22py(p0)
识记规律:
x2px(p0)
p
一次项系数为x那么焦点在x轴上,此时焦点坐标F(一次项系数/4,0)=(2,0) p
准线L 为x=一次项系数/-4,也就是x= 2
-p
同理,一次项系数为y那么焦点在y轴上,此时焦点坐标F(0,一次项系数/4)=(0,2) p
准线L 为,y=一次项系数/-4 也就是 y=2
-
3抛物线性质
3.1对称轴:抛物线的对称轴只有一条(也就是一次项所在轴)
2y2px对称轴就是x轴 如:
2
y2px为例,图形可知x0 3.2范围:以
3.3顶点坐标:也就是坐标原点O(0,0)
3.4离心率:点M到L的距离与到点F的距离之比为e,e=1
3.5通径:以焦点F做垂直于对称轴的直线交抛物线为A,B两点 |AB|为抛物线通径,|AB|=2p 4解题技巧:
双曲线
1定义:到两定点F1,F2距离为之差为定值(2a)的点的轨迹 |F1F2|为焦距大小为2c 焦点坐标F1(-c,0) F2(c,0) a为实半轴 cab b为双曲线的虚半轴 2标准方程:
2
2
2
x2y2
1a2b2
(a>0,b>0) 焦点在x
y2x2
212ab (a>0,b>0)焦点在y轴上,焦点在二次项系数为正的轴
3性质:
3.1对称性:关于x,y轴对称,并且关于原点对称 3.2范围:焦点在x轴时,
xa
焦点在y轴时,
ya
3.3顶点坐标
A1(-a,0) A2(a,0) A1A2为实轴 B1(0,b) B2(0,-b) B1B2为虚轴
e
3.4离心率
c1a
y
ba
xyxa焦点在y轴时 两条渐近线为b
3.5渐近线 焦点在x轴时
双曲线课后习题: 3-1练习 1.(1) 解题分析:
①无论是双曲线还是椭圆,如果已知a,那么a头上顶的都是焦点所在轴的平方。
2
x2y2
12nm如果没有已知那个是a那个是b,比如这样的方程,乍一看无从得知哪一个是a,
其实,还有一种判断焦点在哪个轴的方法:
②如果这个方程式椭圆,那么可知m>0 ,n>0 如果m
③如果这个方程是双曲线,必然的m *n
22aa在轴。如n>0 n=,如果m>0 则 m=
2
2
④通过焦点坐标判断,焦点所在轴。如焦点坐标为(0,5)焦点在y轴 ⑤等式关系 椭圆:abc 双曲线:cac
2
2
2
2
2
2
x2y21916经分析答案为
(2)
解题分析:由定义知,a=8, c=10 由于cac b=6焦点在y轴
2
2
2
焦点所在轴2x2y2x2
2112
ab那么应该为 答案为:6436
(3)
解题分析: 已知焦点 c=5
22(3
两种方法:①有定义知道
2
55)222(35)22a22
可以解出a
yx12225a ②可以设方程为a 代入 为
2
2
2
(3
52
)221a225a2解得
250y2x22
1a9或者ac25(舍)
8因为双曲线中c最长,c为斜边。答案916
2.证明
x2y2
1222259解题分析:从标准方程 由于椭圆中 abc c=4
x2
y2122222
x15y15变形为标准式为15由于双曲线中cac 那么c=4 且焦点都
在x轴上 焦点坐标为
3-2练习
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长,焦距和离心率
(4,0)
c
解题分析:题目实际要求2a 2b 2c 和 a
步骤:先将各个方程变形为标准方程,再求出 a b c
cy2x2
1244a1.1标准方程为 那么2a=4 ,2b=4,2c22 ,
同样方法1.2答案为6,18,6,
411.3 8,10,241,4;1.4 10,6,234,5
2.方法同上. 3-3习题 A组
1...(1).(5,0)....(2).(35,0)....(3).(0,4)....(4).(0,5)
2分析:一直点坐标则c=4且焦点在x轴上,p点到F1,F2距离之差绝对值为6 那么a=3
x2y2
17a29c2a2b2b27 方程为:9 y2x2
1
3,分析同上 答案为916
4.分析过程:
x2y2y2x2
212122abab 双曲线标准方程为或者 待定系数法,两个点代入联立方程组
焦点为x轴时,方程组为:
32(42)2(4)232
121a2b2ab99()2()222
(5)5121222
abb求解即可
a求解即可
5.此题类型与3-2.1题类型一致,解题方法同上,答案略。 6.解题分析:
由题目椭圆标准方程可知顶点 坐标为
(0,3)(0,3)那么双曲线的c=3,且过(4,-5)点,设标准
y2x2y2x2
112222
a5或者a459(舍)a9a54方程为代入点(4,-5)解得 答案为
7.略
B组
1解题分析:
m
2
cm5ea5,也就是m0由双曲线标准方程特征知,m>0. 离心率解得
1
0m15
椭圆
1定义:到两定点F1,F2距离之和为常数(2a>|F1F2|)点的集合
222abc a为长半轴,b为短半轴 OF1=OF2=c
2标准方程:
x2y2
1(ab0)a2b2
焦点x轴 y2x2
1(ab0)a2b2
焦点在y轴
3椭圆性质: 3.1对称性
'M(x0,y0)M(x,y)00在曲线上,那么 关于x,y轴对称 并且关于 原点对称 如果点、
M"(x0,y0)
3.1范围:
、
M"'(x0,y0)
都在曲线上
焦点在x轴时候有 焦点在y轴时候有
xaxb
ybya
3.2顶点坐标
3.3长半轴a 短半轴b
e
3.4离心率
c
a0
e1
4解题思路
首先通过定义判断是否点的轨迹是椭圆----->通过计算求得a,b------>写出曲线