证明三角形全等的思路归纳
证明三角形全等的思路归纳
三角形全等的识别方法是三角形一章的重点内容，在具体应用三角形全等的识别方法时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了那些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系，从而选择适当的说明方法。现将其思路归纳如下：
一、 已知有两角对应相等时的思路：
思路一、找出夹边相等，用（ASA ）
例1．如图1，在△ABC 中，MN ⊥AC ，垂足为N ，，且MN 平分∠AMC ，△ABM 的周长为9cm,AN=2cm,求△ABC 的周长。
解析：只要求出CM 和AC 的长即得△ABC 的
周长，而△AMN ≌△CMN 可实现这一目的。
因为MN 平分∠AMC ，所以∠AMN=∠CMN ， 因为MN ⊥AC ，所以∠AMNA=∠CMNC=90，这样有两角对应相等，再找出它的夹边对应相0
等（MN 为公共边）即可。
⎧∠AMN =∠CMN ⎪在△AMN 和△CMN 中⎨MN =MN ，所以△AMN ≌△CMN （ASA ）
⎪∠MNA =∠MNC ⎩
所以AC=NC，AM=CM（全等三角形的对应角相等），
AN=2cm,所以AC=2AN=4 cm，而△ABM 的周长为9cm,
所以△ABC 的周长为9+4=13 cm。
思路二、找出任意一组角的对边对应相等，用（AAS ）： 例2．如图2，在在△ABC 中，∠B=∠C ，说明AB=AC 析解：作∠BAC 的平分线AD ，交BC 于D ，由∠BAD=∠CAD ，∠B=∠C ，再找出∠B 和 ∠C 的对边AD=AD，得△ABD ≌△ACD （AAS ），所以AB=AC。
二、 已知两组对应边相等时的思路：
思路一、找夹角相等，用（SAS ）
例3．已知如图3，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE ，试说明BD=CE。
析解：已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE ，
则△ABD ≌△ACE ，结合∠BAC=∠DAE 易得两已知边的夹角
∠BAD=∠CAE ，于是，建立了已知与结论的联系，
应用（SAS ）可说明△ABD ≌△ACE ，于是BD=CE。
思路二、找第三边相等，用（SSS ）
例4．如图4，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明∠DEH=∠DFH 。试用你所学的知识说明理由。
解析：由于已知DE=DF，EH=FH，连结DH ，这是两三
角形的公共边，于是，
⎧DE =DF ⎪在△DEH 和△DFH 中， ⎨EH =FH
⎪DH =DH ⎩
所以△DEH ≌△DFH （SSS ），所以∠DEH=∠DFH （全等三角形的对应角相等）。
思路三、有一组对应角是直角，用（HL ）
例5．如图5，两根长为12m 的绳子，一端系
在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，
两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。
析解：两根木桩到旗杆底部的距离是否相等，也就是
看OB 与OC 是否相等，OB 、OC 分别在Rt △ABO 和Rt △ACO
中, 由于
⎧AB =AC ⎪所以Rt △ABO ≌Rt △ACO(HL), ⎨OA =OA
⎪∠AOB =∠AOC =900⎩
所以OB=OC.
三、 有一边及其一邻角对应相等时的思路：
思路一、找夹等角的另一边对应相等，用（SAS ）。
例6．如图6，AE=AF，∠AEF=∠AFE ，BE=CF，
说明AB=AC。
析解：找到夹等角的另一对边。因为BE=CF，
所以BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
⎧AE =AF ⎪在△ABF 和△ACE 中， ⎨∠AEF =∠AFE
⎪BF =CE ⎩
所以△ABF ≌△ACE （SAS ），所以AB=AC。
思路二、找任一角相等，用（AAS 或ASA ）
例7．如图7，O 是AB 的中点，∠A=∠B ，△AOC 与△BOD 全等吗？为什么？
解析：本题已知∠A=∠B ，又O 是AB 的中点，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本题还隐含了对顶角，∠AOC=∠BOD ，于是根据（ASA ）可得△AOC 与△BOD 全等。
四、 有一边及其对角对应相等时的思路。
有一边及其对角对应相等时的思路是任找一组角对应相等，用（AAS ）。
例8．如图8，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：①AD=CB，②AE=CF，③∠B=∠D ，④AD ∥BC 。请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。
析解：本题为一道开放型题目，其中如果已知AE=CF，∠B=∠D ，AD ∥BC 。试说明AD=CB。就是一个已知一边及其对角对应相等的问题。
因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，
即AF=CE，这是比较明显的。
另外，因为AD ∥BC ，所以∠A=∠C ，找到这对
对应角相等，则△AFD ≌△BEC ，即AD=CB。