初中数学竞赛讲座之一--绝对值

第一讲 绝对值

绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．

下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．

一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即

绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．

结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．

例1 a，b 为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？

(1)｜a+b｜=｜a ｜+｜b ｜；

(2)｜ab ｜=｜a ｜｜b ｜；(3)｜a-b ｜=｜b-a ｜；

(4)若｜a ｜=b，则a=b；

(5)若｜a ｜＜｜b ｜，则a ＜b ；

(6)若a ＞b ，则｜a ｜＞｜b ｜．

解 (1)不对．当a ，b 同号或其中一个为0时成立．(2)对．

(3)对．

(4)不对．当a ≥0时成立．

(5)不对．当b ＞0时成立．

(6)不对．当a

＋b ＞0时成立．

例2 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a ｜+｜a+c｜+｜c-b ｜．

解 由图1-1可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，且有｜c ｜＞｜a ｜＞｜b ｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a ＜0，a ＋c ＜0，c-b ＜0．

再根据绝对值的概念，得

｜b-a ｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b ｜=b-c．

于是有

原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．

例3 已知x ＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．

分析 这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号． 解 原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)

=｜3+｜3+x｜｜

=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)

=｜-x ｜=-x．

解 因为 abc ≠0，所以a ≠0，b ≠0，c ≠0．

(1)当a ，b ，c 均大于零时，原式=3；

(2)当a ，b ，c

均小于零时，原式=-3；

(3)当a ，b ，c 中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；

(4)当a ，b ，c 中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．

说明 本例的解法是采取把a ，b ，c 中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．

例5 若｜x ｜=3，｜y ｜=2，且｜x-y ｜=y-x，求x+y的值．

解 因为｜x-y ｜≥0，所以y-x ≥0，y ≥x ．由｜x ｜=3，｜y ｜=2可知，x ＜0，即x=-3．

(1)当y=2时，x+y=-1；

(2)当y=-2时，x+y=-5．

所以x+y的值为-1或-5．

例6 若a ，b ，c 为整数，且｜a-b ｜19+｜c-a ｜99=1，试计算｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜的值．

解 a ，b ，c 均为整数，则a-b ，c-a 也应为整数，且｜a-b ｜19，｜c-a ｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是

｜a-b ｜19=0且｜c-a ｜99=1， ①

或

｜a-b ｜19=1且｜c-a ｜99=0． ②

由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c ｜=｜c-a ｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c ｜=｜a-b ｜=1．无论①或②都有

｜b-c

｜=1且｜a-b ｜+｜c-a ｜=1，

所以

｜c-a ｜+｜a-b ｜+｜b-c ｜=2

．

解 依相反数的意义有

｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．

因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即

由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得

2y=2002， y=1001，

所以

例8

化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．

分析

本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑

3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们

为三个部分(如图1－2所示) ，即

这样我们就可以分类讨论化简了．

原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；

原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；

原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．

即

说明 解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．

例9 已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y 的最大值．

分析 首先使用“零点分段法”将y 化简，然后在各个取值范围内求出y 的最大值，再加以比较，从中选出最大者．

解 有三个分界点：-3，1，-1．

(1)当x ≤-3时，

y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，

由于x ≤-3，所以y=x-1≤-4，y 的最大值是-4．

(2)当-3≤x ≤-1时，

y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，

由于-3≤x ≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y 的最大值是6．

(3)当-1≤x ≤1时，

y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，

由于-1≤x ≤1，所以0≤-3x+3≤6，y 的最大值是6．

(4)当x ≥1时，

y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，

由于x ≥1，所以1-x ≤0，y 的最大值是0．

综上可知，当x=-1时，y 取得最大值为6．

例10 设a ＜b ＜c ＜d ，求

｜x-a ｜+｜x-b ｜+｜x-c ｜+｜x-d ｜

的最小值．

分析 本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a ｜，｜x-b ｜，｜x-c ｜，｜x-d ｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．

解 设a ，b ，c ，d ，x 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，D ，X ，则｜x-a ｜表示线段AX 之长，同理，｜x-b ｜，｜x-c ｜，｜x-d ｜分别表示线段BX ，CX ，DX 之长．现要求｜x-a ｜，｜x-b ｜，｜x-c ｜，｜x-d ｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X ，使该点到A ，B ，C ，D 四点距离之和最小．

因为a ＜b ＜c ＜d ，所以A ，B ，C ，D 的排列应如图1－3所示：

所以当X 在B ，C 之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．

例11 若2x+｜4-5x ｜+｜1-3x ｜+4的值恒为常数，求x 该满足的条件及此常数的值．

分析与解 要使原式对任何数x 恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x 的项相加为零，即x 的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有

｜4-5x ｜=4-5x且｜1-3x ｜=3x-1．

故x 应满足的条件是

此时

原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4

=7．

练习二

1．x 是什么实数时，下列等式成立：

(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；

(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．

2．化简下列各式：

(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．

3．若a ＋b ＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b ｜．

4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y 的最大值．

5．设T=｜x-p ｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p ＜15，对于满足p ≤x ≤15的x 来说，T 的最小值是多少？

6．已知a ＜b ，求｜x-a ｜+｜x-b ｜的最小值．

7．不相等的有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果｜a-b ｜+｜b-c ｜=｜a-c ｜，那么B 点应为( )．

(1)在A ，C 点的右边；

(2)在A ，C 点的左边；

(3)在A ，C 点之间；

(4)以上三种情况都有可能．