车灯节能结构设计
2011江西财经大学数学建模竞赛
A 题
车灯节能结构设计
参赛队员：
参赛队编号：10
2011年8月14日~8月17日
2011江西财经大学数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了江西财经大学数学建模竞赛的竞赛章程。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛队编号为参赛队员 (打印并签名) ：
队员1. 姓名 专业班级 队员2. 姓名 专业班级 队员3. 姓名 专业班级
日期： 2011 年 8 月 17 日
摘要
本文根据题目需要，在合理的假设之下，建立了车灯节能的优化设计模型，求出了在功率最小条件下的最小线光源长度，给出了反射光线在测试屏上的大致位置，最后对已建立的数学模型提出进一步改进。
通过对题目已给出的数据进行分析，作出了忽略线光源直射到测试屏的能量（测试屏与车灯的距离很远）的假设。对于第一问，经过分析发现，反射光线的规律不易求出，因此直接将B ，C 二点作为反射点来进行计算，可构造出线光源长度、抛物面上的点与反射点的数量关系，并以此建立规划模型，最后求出在规定条件下的最小线光源长度。对于反射光在测试屏上的亮区，我们采取将线光源离散化，同时在抛物面取多个离散点作为入射点，即可模拟出反射光在测试屏上的亮区。根据光线传播的规律，通过第二问的模拟，可以发现未能考虑光线的反射区域相互交叉对B,C 的影响，因此可考虑将以B,C 点为中心的邻域的光线功率作为B ，C 点的功率来重新进行模型的求解。 关键字： 车灯光线 反射光线 最佳长度 非线性规划 离散化仿真 邻域
一、问题重述
安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方, 其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度，即进行车灯线光源的优化。
该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F 正前方25米处的A 点放置一测试屏，屏与FA 垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A 点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A 点的同侧取B 点和C 点，使AC=2AB=2.6米。要求C 点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B 点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。
我们主要是解决下面的三个的问题：
(1)在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。 (2)对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。 (3)讨论该设计规范的合理性。
二、问题的分析
如下图2所示，F 为抛物面焦点，l 为线光源，问题是要求选择合适的线光源长度，在满足设计规范的条件，实现光源功率最小。初步分析发现，光源直射在测试屏上的范围远超过B,C 点，因此做出忽略直射光线能量的假设来简化问题。由于抛物面的反射光线规律难寻，因此可直接将B,C 作为反射点，进而构造出线光源长度、抛物面上的点与反射点的数量关系，并以此建立规划模型，最后求出在规定条件下的最小线光源长度。 对于反射光线所形成的在测试屏上的亮区，由于抛物面和线光源皆关于z 轴对称，因此可将线光源的一半取离散点，同时在抛物面上取多个离散点，，即可模拟出反射光在测试屏上的亮区。
三、模型的假设
1. 线光源发出的光线仅反射一次
2. 不考虑折射及抛物面对光线的衰减 3. 不考虑空气对光线的衰减
4. 不考虑线光源的直射到测试平的功率
5. 不考虑车前灯罩对光线的传播和能量的影响
四、符号说明
F （焦点）：（0，0，15） 线光源功率和直线方程ｌ：W ，⎨l 上任意一点f ：（x ，0，15） 抛物面方程P ：z =
x +y 60
2
2
⎧y =0⎩z =15
抛物面上任意一点m ：（x m , y m , z m ） 向量fm ：（x m -x , y m , z m -15） 测试屏点B ：（1300，0，25015） 测试屏点C ：（2600，0，25015） 反射光线mC ：（c x , c y , c z ） B,C 点的光线功率：h B (l ), h C (l )
五、模型的建立与求解
1、在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。
分析题目得到第一问的模型如下图1所示：
图1 求解第一问的步骤
(1)求出线光源上的经过反射能到达B,C 的点, 如图2所示。
Z
根据入射光线，反射光线和法线b 的关系：mC =fm -2fm ⋅b
2b . 可得：
b
3222
c m -x m ⋅x +x m y m -60x m z m -900x m +xy m +900x
x =-x x
2m +y
2
m
+900
c x 2
y 3
m m -2x m xy m +y m -60y m z m -900y m
y =-
x
2m
+y
2m
+900
2
+45y 2
2
2
c m -60x m x m -900z m +z m x m +z m y m -13500
z =
45x x
22m
+y m
+900
又mC 过点C ，故有：
kc x =2600-x m kc y =-y m
kc z =25015-z m
其中k 为常数。
22
从上述式子可得，由此可得x x m +y m +900
m =0或k =-2xy ，由此得反射点坐标
m
（x m , y m , z m ）满足两组方程：
⎧x =0⎪⎨y 5(x +2600) y 432
m -m +1800y m +(1498200x -4680000) y m +(9360000x +810000) y m -1350810000⎪⎩
-2106000000=0⎧
3750x ⎪y m
=⎨
13(x -2600) ⎪=±5200y 2⎩x m m -900-y m
经计算可知，存在x -1. 56, 当x >x 20≈0时第一组方程不存在满足x m
+y 2362
m ≤的实根, 即无反射点. 而当x
x
222
+y m ≤36的一对实根, 即而第二组方程仅当-3. 8119
有两个反射点(±x m , y m ,
x m +y m
60
22
), 记为m 3, m 4。
(2)下面求到达C 点的光的功率。
光通量：某一波长的功率与人眼对特定波长敏感度的乘积，表示如下：
Q =cpv
其中c 表示比例常数，v 为人眼对特定波长敏感度，p 表示发光源的功率。
光照强度：单位立方角度的光通量，所以可以得到测试屏上某一点的光照强度为：
P =
cpv cos θ
r
2
表示如下图3所示：
a) 若反射点的坐标为m (x , y , z ) , 则位于点f (x f , 0, 15) 的单位功率点光源经m 点反射到C 点的功率密度(单位面积单位时间的能量, 正比于光强度) 近似为：
L =
cos β4πfm
2
其中
fm =
(x -x f ) +y +((x +y ) /60-15)
2
2
22222
而β为反射向量与z 轴的夹角：
cos β=
25015-(x +y ) /60
mC
.
b) h B (l ), h C (l ) 的表达式
长l 的具有单位功率的线光源位于点P (x f , 0, 15) 的长dw 的微小线光源段反射到C
点
的功率密度为
4
E (x ) =
∑
i =1
f i (x f ) /l ,
其中
⎧cos βi
, x f ∈[-l 0/2, x 0]⎪2
f i (x f ) =⎨4πmc , i =1, 2
i
⎪0, x f ∉[-30, x 0]⎩⎧cos βi
, x f ∈[-3. 8119, -1. 5609]⎪2
f i (x f ) =⎨4πmc , i =3, 4
i
⎪0, x f ∉[-3. 8119, -1. 5609]⎩
长l 的具有单位功率的线光源反射到C 点的功率密度为
l /2
h C (l ) =
⎰E (x
-l /2
f
) dx f .
类似可得h B (l ) 的表达式. 相应的反射点方程为
x m =0⎧
⎪5432
⎨y m -(x +1300) y m +1800y m +(1498200x -2340000) y m +(4680000x +810000) y m ⎪-1350810000x -1053000000=0. ⎩
7500x ⎧
y =m ⎪
13(x -1300) ⎨
⎪x =±2600y -900-y 2
m m ⎩m
相应的x 0≈-0. 78, 而第二组方程的有两个反射点的范围为x ∈[-1. 906, -0. 7800005].。 c) 优化设计的数学模型
设线光源的功率为W , 则它反射到B 点和C 点的功率密度分别为h B (l ) ⋅W 和h C (l ) ⋅W . 问题的数学模型为:
min W
⎧h B (l ) W ≥2, 0≤l ≤2 s . t . ⎨
⎩h C (l ) W ≥1, 0≤l ≤2
得l ≈3. 62mm
所以满足该设计规范设计的车灯，其线光源长度为3.62mm
2、对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。
在线光源所在直线方程取离散点，抛物面方程上取yOz 平面上的离散点，由第一问可得：
fm =(-x f , y m , z m -15)
b =(2x m , 2y m , -60)
根据入射光线fm ，法线b 可求出出射光线mc ，进而可求出过所取抛物面离散点，且斜率为mc 的直线mc ，最后求出直线与测试屏的交点，即可求出大概亮区。 设mc =（m ，n ，p ），则测试屏上的坐标可表示为：
y -y m z -z m ⎧x -x m
===t ⎪
n p ⎨m
⎪z =25015⎩
3、讨论该设计规范的合理性。
汽车车灯设计规范的合理性是指按此设计能够更好有利于汽车司机的操作，尽可能减小发生危险的可能性，其主要因素是考虑灯光强度的分布对汽车司机的视觉影响。首先，从照明效果分析，“类短轴”小角度范围内由“有光区”过渡到“无光区”，符合实际生活中“小范围亮度差强烈变化”；散斑中部光线密集，四周扩散递减，可避免汽车交会时的眩光干扰。其次，从光源类型选择分析，点光源形成的反射加强区域仅限于直径为抛物面口径的圆形区域，而线光源形成“类椭圆”，既符合司机视野要求，又使光强集中分散恰到好处，可避免大范围的光强差异引起的交通事故。另外，也可比较说明此题中线光源过焦点且垂直于轴线对称放置方式也是合理的。也可以从以下方面分析，照射亮区要有足够的范围，使司机发现故障后有足够的制动时间，避免发生碰撞等交通事故；照射亮区要有足够的宽度，使路标等物体在照射范围之内；亮区的上下高度较小，左右的宽度较大，符合实际要求。
六、模型的分析与评价
根据光线传播的规律，通过第二问的模拟，可以发现未能考虑光线的反射区域相互交叉对B,C 的影响，因此可考虑将以B,C 点为中心的邻域的光线功率作为B ，C 点的功率来重新进行模型的求解。
附录
#include #include void main() {
float xm=0,yf=0,z=25015,t; float ym,zm,xf,zf=15; float m,n,p,x[88],y[88]; int i=0;
for(xf=0;xf
for(zm=0;zm
n=(xm*xm*ym+900*ym+xm*xf*ym-ym*ym*ym-60*ym*zm+900*ym)/(xm*xm+ym*ym+900);
p=(zm*xm*xm-15*xm*xm+zm*ym*ym-15*ym*ym+900*zm-13500-60*xm*xf+60*ym*ym-1800*zm+27000)/(xm*xm+ym*ym+900);
t=(z-zm)/p; x[i++]=m*t+xm; cout
}
}
参考文献
[1]徐贵阳 张磊 任海威，《体能测试时间安排》，《工程数学学报》，第24卷增刊2,1005-3085（2007）08-0151-09:151—159页,2007
[2]孙山泽 姜启源，《2007年全国大学生建模竞赛D 题评述》，《工程数学学报》，第24卷增刊2,1005-3085（2007）08-0160-03,2007