合工大电磁场与电磁波第1章+矢量分析

电磁场与电磁波

Electromagnetic Fields

课 程 介 绍

一 电磁场的主要研究领域 二 电磁学的发展简史（略） 三 本课程的主要教学内容 四 学习的目的、方法及要求

一

电磁场理论的主要研究领域

作为理论物理学的一个 重要研究分支，主要致 力于统一场理论和微观 量子电动力学的研究。 作为无线电技术的理论 基础，集中于三大类应 用问题的研究。

3 -58

& Magnetic Wave

合肥工业大学

2014年版

HFUTHFUT-FZG

范之国

电磁 场的 主要 研究 领域

2 -58 HFUTHFUT-FZG

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三大类应用问题：







电磁场（波）作为能量的一种形式，是最 重要的能源，其研究领域涉及电磁能量的 产生、储存、变换、传输和综合利用。 电磁波作为信息传输的载体，成为当今人 类社会发布和获取信息的主要手段，主要 研究领域为信息的产生、获取、交换、传 输、储存、处理、再现和综合利用。 电磁波作为探测未知世界的一种重要手 段，主要研究领域为电磁波与目标的相互 作用特性、目标特征的获取与重建、探测 新技术等。

4 -58

三

1. 2. 3. 4. 5. 6.

本课程的主要教学内容

6 学时

1. 2. 3. 4. 5. 6.

5 -58

四

学习的目的、方法及要求

矢量分析 静态电场理论 恒定磁场理论 静态场边值问题研究 时变电磁场理论 电磁波基本理论

掌握宏观电磁场的基本属性和运动规律 掌握宏观电磁场问题的基本求解方法 了解宏观电磁场的主要应用领域及其原理 训练分析问题、归纳问题的科学方法 培养用数学解决实际问题的能力 独立完成作业，做好课堂笔记

6 -58

12 学时 9 学时 7 学时 10 学时 12 学时

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HFUTHFUT-FZG

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主要教学参考书：

【1】 孙玉发等，电磁场与电磁波，合肥工 业大学出版社 【2】 马冰然，电磁场与微波技术（上册） 华南理工大学出版社 【3】 谢处方，电磁场与电磁波，高等教育 出版社 【4】 王蔷等，电磁场理论基础，清华大学 出版社

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第一章

主 要

矢量分析

内 容

第一章

课本第47页： 1-7 1-13

矢量分析

梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6学时

1. 2. 3. 4. 5. 6.

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课 后 作 业

三种常用坐标系 矢量运算 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 亥姆霍姿定理

8 -58

1-18

交作业时间：2014.02.27

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9 -58

1.1 三种常用坐标系

直 角 坐 标 系 • 三变量 x • 坐标表示 • 线元 • 面元

柱 坐 标 系 • 三变量

0     0    2   z  

 直角坐标系  柱坐标系  球坐标系  三种坐标系的关系

HFUTHFUT-FZG 10 -58

y

z

  A eA

    A  Ax ex  Ay e y  Az ez

• 坐标表示 • 线元

  ex   ey   ez

11 -58



  A  A  e   A e  A z e z

     d l  e x dx  e y dy  e z dz  el dl

• 体积元

HFUTHFUT-FZG

    ds  ex dsx  ey dsy  ez dsz

dV  dxdydz

ds x  dydz ds y  dxdz ds z  dxdy

• 面元     ds  e ds  e ds  ez dsz • 体积元

HFUTHFUT-FZG

    d l  e  d   e   d   e z dz

ds    d  dz ds   d  dz ds z   d  d      e  e  ez

dV  ρdρd dz

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柱 坐 标 系 • 三变量

0     0    2   z  

球 坐 标 系 • 三变量

0  r   0θ π 0    2π

球 坐 标 系 • 三变量

0  r   0θ π 0    2π

• 坐标表示 • 线元

   A  A  e   A e  A z e z

• 坐标表示   • 线元 

ds    d  dz ds   d  dz ds z   d  d      e  e  ez

 A  Ar er  Aθ eθ  A e

  er   eθ   e

14 -58

• 坐标表示   • 线元 

dsr  r 2 sinθdθd ds  rsinθdrd ds  rdrdθ

 A  Ar er  Aθ eθ  A e

  er   eθ   e

15 -58

• 面元     ds  e ds  e ds  ez dsz • 体积元

HFUTHFUT-FZG

    d l  e  d   e   d   e z dz

  dl  er dr  eθ rdθ  eφ rsinθd

  dl  er dr  eθ rdθ  eφ rsinθd

dsr  r 2 sinθdθd ds  rsinθdrd ds  rdrdθ

dV  ρdρd dz

13 -58

• 面元    ds  er dsr  eθ dsθ  e ds • 体积元

HFUTHFUT-FZG

dV  r 2 sinθdrd d

• 面元    ds  er dsr  eθ dsθ  e ds • 体积元

HFUTHFUT-FZG

dV  r 2 sinθdrd d

三种坐标系的关系

• 三变量

x

 x   cos    y   sin   zz 

y

z

  z  

三坐标系

1.2 矢量运算

• 三变量

0     0    2

• 三变量

0  r   0θ π 0    2π

矢量表示  矢量代数  矢量微积分



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HFUTHFUT-FZG

17 -58

HFUTHFUT-FZG

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矢 量 表 示

矢 量 表 示

矢 量 代 数

• 标量

一个专用它的大小就能完整的描 述的物理量称为标量。如：时间、 质量、温度、功等。

• 几何法 • 代数表示

• 矢量加减法

  A B    (A x  B x ) e x  (A y  B y ) e y   (A z  B z ) e z

• 矢量

一个有大小和方向的物理量称为矢 量。如：力、速度、力矩等。

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 A  单位矢量（unit vector）： e A  A 1  2 2 A 的模值：A  (Ax  Ay  Az2 ) 2

    A  Ax ex  Ay e y  Az ez

  Ae A

方向余旋： cosα



HFUTHFUT-FZG

Ax A

cos 

Ay A

cos 

Az A

20 -58

HFUTHFUT-FZG

21 -58

矢 量 代 数

矢 量 代 数

矢 量 代 数

• 矢量乘积



     B  KA  KAx ex  KAy e y  KAz ez

数

乘

• 标量积结论 

– 单位矢量 – 交换率  – 分配率

     ex  ex  e y  e y  ez  ez  1       ex  e y  e y  ez  ez  ex  0

• 矢量乘积

  



  A  B  ABcosθ

标量积

  A B  B  A

 Ax Bx  Ay By  A z Bz

HFUTHFUT-FZG 22 -58

       A  ( B  C)  A  B  A  C

数 乘 标量积    矢量积 A  B  ABsin θ  c0    ex ey ez

HFUTHFUT-FZG

– 两矢量垂直的充分必要条件：标 量积等于零。

 Ax A Bx B

23 -58 HFUTHFUT-FZG

y y

A

z z

24 -58

B

矢 量 代 数

矢 量 微 积 分

     E  x, y, z, t   Ex  x, y, z, t  ex  E y  x, y, z, t  ey  Ez  x, y, z, t  ez 

矢 量 微 积 分



• 矢量积结论

– 单位矢量 – 交换率   – 分配率：

      ex  ex  e y  e y  ez  ez  0          ex  e y  ez , e y  ez  ex , ez  ex  e y

矢量函数

矢量函数的导数

 

对空间坐标的导数 对时间的导数

  A B  B  A

       A  ( B  C)  A  B  A  C

矢量函数的导数



对空间坐标的导数

 E       ex Ex  ey E y  ez Ez  x x    e  E e  E e  E  Ex x  ex x  E y y  ey y  Ez z  ez z x x x x x x  E  E  E  ex x  ey y  ez z x x x

 E      E  E  E   er Er  e E  e E   er r  e   e  t t t t t



– 两矢量平行的充分必要条件：矢量 积等于零。

HFUTHFUT-FZG 25 -58 HFUTHFUT-FZG

矢量函数的积分

27 -58

26 -58

HFUTHFUT-FZG

1.3 标量场的梯度



标量场的等值面 场（field）是描述空间中所有点上 的某一物理量的函数。

静态场

Static field



标量场的等值面

等值面 空间内标量值相等的点的集 合所形成的曲面。 等值面方程 u（x, y, z）= C

（C 为任意常数）

 标量场的等值面  方向导数  梯 度

动态场

Time-varying field

f ( x, y , z , t )

 F ( x, y , z , t )

29 -58



标量场 矢量场

f ( x, y , z )

 F ( x, y , z )

HFUTHFUT-FZG

28 -58

HFUTHFUT-FZG

HFUTHFUT-FZG

30 -58

方 向 导 数



梯 度



gradient



梯 度

gradient

研究的是标量在某点沿某一方向的 变化率问题(directional derivative)。

定义： u |  lim u ( M )  u ( M 0 ) M l 0 l 0 l

Δl

M0 l

在这无穷多

个方向中哪个方向的变化率 最大？  u  u  u  ey  ez 定义： gradu  e x

x y z      l  lel  xex  yey  zez

u ( M )  u ( M 0 )  u   u u u x  y  z  gradu  l x y z u(M )  u(M 0 )  lim l 0 l



M

U



u l

表明 gradu 在 L 方向上的投影正好等于 函数 u(x,y,z) 在该方向上的方向导数，  cos(gradu , e )  1 当gradu与L方向一致时，即： u 方向导数: l |  gradu 。

l

max

计算： u

l

HFUTHFUT-FZG



u u u cos   cos   cos  x y z

31 -58 HFUTHFUT-FZG

 gradu  l   gradu  el l  0 l   gradu cos( gradu , el )  lim



那么，梯度 gradu 就是 u(M) 变化率 最大的方向。

33 -58

32 -58

HFUTHFUT-FZG

梯 度



gradient



梯 度

梯度的物理意义

gradient

1



梯 度

梯度的物理意义

例1 三维高度场的梯度

gradient

2 例2 电位场的梯度

哈密顿（Hamilton）算子 又称那勃勒算子(nabla)

        ex  ey  ez x y z

u  u  u        u  (ex  ey  ez )u  ex  ey  ez x y z x y z

 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标  点的函数；  梯度的大小为该点标量函数  的最大变  化率，即该点最大方向导数；  梯度的方向为该点最大方向导数的方向,  即与等值线（面）相垂直的方向，它指  向函数的增加方向。

HFUTHFUT-FZG 35 -58

gradu   u

HFUTHFUT-FZG

u   gradu  el l

34 -58

电位场的梯度 三维高度场的梯度 高度场的梯度 电位场的梯度 • 与过该点的等高线垂直； • 与过该点的等位线垂直； • 数值等于该点位移的最 • 数值等于该点的最大方向导数； 大变化率； • 指向电位增加的方向。 • 指向地势升高的方向。

HFUTHFUT-FZG 36 -58

梯 度

2 2 2

x y z

gradient

1 2

梯 度

2 3

x y z

gradient

1.4

矢量场的散度

例1.3-1 求 u  ( x  y  z ) 在M0（1，0，1）点沿    l  e  2e  2e 的方向导数。

例1.3-2 求 u  xy  yz 在M0（2，-1，1）点沿    l  2e  2e  e 的方向导数。

2

解：

u  x

M0

x x y z

2 2 2

u  y

M0

y x y z

2 2 2

u  z

z x y z

2 2

解：

u 

u  u  u     ex  ey  ey  y2ex  (2xy  z3 )ey  3yz2ez x y y

M0

u x

1  2

u y

0

u  z

M0

1 2

u

2 3 cos   2 3

    ex  3ey  3ez

M0

cos  

Lx L2 x  L2 y  L2 z



1 3

cos  



u l

M0



1 u u u cos   cos   cos   x y z 2

37 -58

u l

M0

  u  el

1 2 2 1

  1, 3, 3   , ,     3  3 3 3

矢量场的矢量线  通 量  散 度  高斯通量定理



HFUTHFUT-FZG 39 -58

或者：

HFUTHFUT-FZG

u l

M0



u u u 1 cos   cos   cos    x y z 3

38 -58

HFUTHFUT-FZG

矢量场的矢量线



通



量

flow of flux



通

量

flow of flux

矢量线是这样的一些曲线，线上 每一点的切线方向都代表该点的 矢量场的方向。

矢量线方程：

矢量在场中某一个曲面上的面积分， 称为该矢量场通过此曲面的通量。

     F  dS 

S

  F  dl  0



S

  F  ndS   F cos  dS

S

通量可认为是穿过 S 面的矢量线的总 数，故矢量线又叫通量线；模F等于在 某点与F垂直的单位面积上通过的矢量 线的数目F又称为通量面密度矢量。





S

  F  dS 



S

  F  ndS

（矢量线的任一点的切向和Ｆ平行）

 = 0 (无源)

HFUTHFUT-FZG 40 -58 HFUTHFUT-FZG 41 -58 HFUTHFUT-FZG



 > 0 (有正源)

42 -58

散



度

divergence

散

度

divergence



散

度

divergence

通量是由S内的通量源决定，而通量 是一个积分量，仅能说明较大范围 内的源分布情况，而不能说明每一 点的性质。引入散度概念。

定义：  divF  lim

散度的物理意义

 矢量的散度是一个标量，是空间坐标 点的函数；  散度代表矢量场的通量源的分布特性。

计算：  Fy Fx Fz   d iv F  x y z

             F   ex  ey  ez    ex Fx  ey Fy  ez Fz  y z   x   Fx Fy Fz    divF x y z



S

  F  dS V

V 0

 lim



S

  F  ndS V

V 0

• A= 0 (无源）

• A= 0 (正源)

• A= 0 (负源)

散度是通量对体积的变化率（单位体积内所穿 出的通量），所以散度又称为通量源密度。

HFUTHFUT-FZG 43 -58 HFUTHFUT-FZG

在矢量场中，若•A=0，称之为有源场， 称为(通量)源密 度；若矢量场中处处•A=0，称之为无源场。

44 -58 HFUTHFUT-FZG 45 -58

高斯通量定理

已知：    S  因为： divF 为  的体密度 所以：

    divFdV

V

例1.4-1

点电荷位于坐标原点，在离其 r处产生的电  q      通量密度为：D  4 r 3 r 其中， r  xex  ye y  zez 求任意点处电通量密度的散度；  并求穿出以 r 为半径的球面的电通量  。   

 q xex  yey  zez     Dx ex  Dy ey  Dz ez D 4 ( x 2  y 2  z 2 )3 2

接 例1.4-1

所以   D  Dx 

 x



D y y

  F  dS



D z q 3r 2  3( x 2  y 2  z 2 ) 

0 z r5 4

解

可见，除点电荷所在源点（ r  0 ）外， 空间各点的D的散度均为0。

故：



S

  F  dS 



V

   FdV

高斯通量定理

 Dx q   x  2 2 2 32 x 4 x   (x  y  z )   1 3x 2 q    2 2 2 2 32 2     z 2 )5 2  4  ( ) ( x y z x y    q r 2  3x 2 4 r 5





  q D  dS  S 4

 q 4 r 2

S



S

  r  er dS

 q 4 r 2  q 4 r 2

同理可得

D y y 

Dy y



q r 2  3y2 Dz q r 2  3z 2  , z 4 r5 4 r5

 dS

所以   D  Dx 



HFUTHFUT-FZG 46 -58 HFUTHFUT-FZG

x

D z q 3r 2  3( x 2  y 2  z 2 )  0 z r5 4

47 -58

HFUTHFUT-FZG

48 -58

1.5

矢量场的旋度

 

环 量 circulation

环量 矢量F 沿空间有向闭合曲线L 的线积分



环 量 circulation 环量密度

过点P作一微小曲面S，它的边界曲线 记为L，面的法线方与曲线绕向成右手 螺旋法则。当S点P时，存在极限

dΓ 1  lim  s  0 s ds

  

标量场的环量 旋 度 斯托克斯定理



L

  F dl

该环量表示绕线旋转趋势的大小。 例：流速场



L

  F  dl

环量密度 (涡量)

水流沿平行于水管轴线方 向流动=0，无涡旋运动

HFUTHFUT-FZG 49 -58 HFUTHFUT-FZG

0，有产生涡旋的源

50 -58

流体做涡旋运动

取不同的路径，其环量密度不同。

HFUTHFUT-FZG 51 -58

旋 度 rotation



旋 度 rotation



旋 度 rotation



定 义

旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最 大值；方向为最大环量密度的方向。

旋度的物理意义 1

旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数； 某点旋度的大小是该点环量密度的最 大值；  某点旋度的方向是该点最大环量密度 的方向；    在矢量场中，若 FJ 0 ,称之为 旋度场 (或涡旋场)，J 称为旋度源 (或涡旋源)；   若矢量场处处   F  0 称之为无旋场。

 

旋度的物理意义 2

扽 div(rotA)    (  A)  0 可得：若   B  0 那么存在一个A使得

  B    A （矢量磁位A）；









  rot F    F

它与环量密度的关系为：



 在直角坐标系下   F 

计 算

  d  rot F  en dS    ex e y ez

 x  y  z



rot ( gradu )    u  0 扽

可得： 若   E  0 那么存在一个φ使得  E   （标量电位φ）。

HFUTHFUT-FZG 54 -58



Fx

HFUTHFUT-FZG

Fy

Fz

52 -58

HFUTHFUT-FZG

53 -58

斯托克斯定理

 

1.6 亥姆霍兹定理





亥姆霍兹定理



C

  F  dl 



S

    F  dS

矢量场的惟一性定理

位于某一区域中的矢量场，当其散

度、 旋度以及边界上场量的切向分量或法向分 量给定后，则该区域中的矢量场被惟一地 确定。 已知散度和旋度代表产生矢量场的 源，可见惟一性定理表明，矢量场被其 源及边界条件共同决定的。

若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单 值的， 且其导数连续有界，源分布在有限 区域 V  中，则当矢量场的散度及旋度给 定后，该矢量场 F(r) 可以表示为：

  F(r )   (r )    A (r )





C

  F  dl 



S

    F  dS

式中

Φ( r ) 

斯托克斯定理 注意S和C的关系！

HFUTHFUT-FZG 55 -58

 1   F( r )   dV    V 4π r  r

    F( r ) 1 A( r )    dV    V 4π r  r

可见，该定理表明任一矢量场均可表示为 一个无旋场与一个无散场之和。矢量场的散 度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。

56 -58 HFUTHFUT-FZG 57 -58

HFUTHFUT-FZG

第一章

主 要

矢量分析

内 容

梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 6学时

1. 2. 3. 4. 5. 6.

HFUTHFUT-FZG

三种常用坐标系 矢量运算 标量场的梯度 矢量场的散度 矢量场的旋度 亥姆霍姿定理

58 -58