[因式分解]常见题型例析

　　　《因式分解》常见题型例析

　　因式分解是中学数学的重要内容之一，是学习分式、根式、和一元二次方程的重要基础，是解决许多数学问题的重要"工具"，也是各级考试的一个热点，现将关于这部分知识的常见题型介绍如下。

　　题型一：分解因式的意义

　　此类考题多数以选择题的形式出现。解决此类问题需要对分解因式的概念正确的理解。

　　例1　下列从左到右的变形是分解因式的是（　　）

　　（A）(x-4)(x+4)=x2-16　　　(B)x2-y2+2=(x+y)(x-y)+2

　　(C)2ab+2ac=2a(b+c)　　　　(D)(x-1)(x-2)=(x-2)(x-1).

　　分析:根据多项式分解因式的概念:把一个多项式化成几个整式积的形式,叫做分解因式.所以要判断从左道右的变形是否是分解因式,关键是看左边是否是多项式,右边是否是整式的积.

　　解:选(C).

　　练习:下面由左边到右边的变形中,是分解因式的是（　　）.

　　(A)a(x-y)=ax-ay (B)x2-2x+4=(x-1)2+3

　　(C)8x2-4x=4x·2x (D)y2-y+=(y-)2

　　答案: (D)

　　题型二、直接提公因式分解

　　此类题大多以选择或填空题的形式出现，其中找出公因式是关键。求解时应按照提公因式法则将公因式提出即可。

　　例2　分解因式2a(b-c)-3c(b-c).

　　分析:把(b-c)看作一个整体,则(b-c)就是此多项式的公因式.

　　解: 2a(b-c)-3c(b-c)=(b-c)(2a-3b).

　　练习:分解因式: (2x-3y)(a+b)+(a+b)(3x-2y).

　　答案:5(a+b)(x-y).

　　题型三、直接利用公式因式分解

　　求解此类题掌握所学的几个公式的特点是关键，求解时应根据题目的特点选择合适的公式求解。

　　例3、分解因式:a2－1=_______.

　　析解：本题符合平方差公式的特点，故可直接利用平方差公式求解。其结果为：（a－1）（a＋1）.

　　练习：分解因式：=________.答案：（x－2y）（x+2y）

　　题型四、提公因式后再用公式

　　此类题大多以填空或选择题的形式出现，求解时应首先将公因式提出，再选择有关公式求解。

　　例4、把a3－ab2分解因式的正确结果是（　　）

　　A、(a+ab)(a－ab) 　　　B、a (a2－b2)

　　C、a(a+b)(a－b)　　　　D、a(a－b)2

　　析解：本题首先将公因式a提出，提出公因式后发现余下的部分符合平方差公式，故再利用平方差公式求解，其结果应选C.

　　练习∶分解因式：_________.

　　答案：y（x－2）2.

　　题型五、利用因式分解进行数字计算

　　此类题求解时，应首先观察题目的特点，利用有关法则或公式将所求式巧妙的组合，再运用因式分解求解。

　　例5、计算：2－22－23－......－218－219+220,

　　析解：我们注意到：－219+220=219（2－1）=219，而219－218=218。按此规律采用"逆序"的方法，将218再与前面的数字作减法运算，并以此规律采用同样的方法继续运算下去，直至求出最后的结果为止。其结果为：6。

　　练习：算式可化为（　　）

　　A．　　　B．　　　C．　　　D．

　　答案：A.

　　题型六、利用因式分解求值

　　此类题的常见的求解方法有（1）利用因式分解的方法，求出求值中各字母的值，再将其代入求值式求解。如本考点例6。（2）不需求出求值式中字母的值，而是先将求值式进行因式分解，将其进行改造，以使其能充分的应用已知条件，再将已知条件整体代入求解，如本考点例7。（3）与完全平方式有关的求值问题，求解此类题时，应紧密结合完全平方式的定义，根据各项的特点求解，注意求解时不要丢解。如本考点例8。

　　例6、若非零实数a、b满足4a2+b2=4ab，则=___________.

　　析解：因本题已知条件符合完全平方公式的特点，故应首先将已知条件变为：（2a－b）2=0，据此得出a、b的关系：b=2a，再将其代入求值式即得结果：=2。　　练习：已知：x2+4y2－4x－4y+5=0,求：x－y的值。答案：1.5

　　例7、已知：x+y=1,求的值。

　　解析：本题无法直接求出字母x、y的值，可首先将求值式进行因式分解，使求值式中含有已知条件式，再将其整体代入求解。因=（x+y）2，所以将x+y=1代入该式得：=　　练习：已知a+b=13,ab=40,求a2b+ab2的值。答案：520

　　例8、已知：多项式是一个完全平方式，求m的值。

　　析解：本题的求解应紧扣"完全平方式"的特点进行分析，注意不要丢解。由完全平方式各项的特点可知本题中mxy=±5xy，所以m=±5。

练习：已知：x2+2（m－3）x+16是一个完全平方式，求m的值。答案：7或－1。题型七、利用因式分解求解整除问题

　　求解此类题时一般先将所考察的式子进行因式分解，看其因式分解后是否能出现作为除数的因式，再去判断。

　　例9、设n为整数．求证：（2n+1）2－25能被4整除。

　　析解：判断（2n+1）2－25能否被4整除，主要看其因式分解后是否能写成4与另一个因式积的形式，因（2n+1）2－25=4（n+3）（n－2），由此可知该式能被4整除 。

　　练习：证明：817－279－913能被45整除。（提示：原式=（34）7－（33）9－（32）13=326（32－3－1）=45×324）。

　　题型八、利用因式分解求解矩形、正方形问题

　　求解此类问题大多首先将所给式子进行因式分解，再根据题意求出矩形或正方形的边长求解。

　　例10、已知矩形的面积为6m2+60m+150（m>0），长与宽的比为3：2，求这个矩形的周长。

　　析解：由于矩形的面积等于长×宽，因此首先考虑将矩形的面积进行因式分解，再依据题意求出矩形的长与宽，继续求解。因6m2+60m+150=6（m+5）2=3（m+5）·2（m+5）,又由于该矩形的长与宽的比为3：2，故知该矩形的长与宽分别为：3（m+5）、2（m+5）因此其周长为10m+50。

　　练习：已知：一正方形的面积为：9x2+12xy+4y2，且x>0,y>0,求该正方形的周长。答案：12x+8y。

　　题型九、利用因式分解求解实际问题

　　此类题的求解一般是先将求值式进行因式分解（大多采用提公因式法），目的是为了计算简便，再将有关条件代入简洁求解。

　　例11、已知电学公式：U=IR1+IR2+IR3，当R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6,

I=2时， 求U的值。

　　析解：本题直接代入求解较麻烦，可首先将求值式进行因式分解，再将字母的值代入求解。

　　因U=IR1+IR2+IR3=I（R1+R2+R3），将条件R1=12.9, R2=18.5 R3=18.6, I=2代入上式得：原式= 100。

　　练习：某设计院在设计的建筑物中，需要绕制三个半径为0.24m,0.37m,0.39m的钢筋圆环，问所需钢筋有多少？（π取3.14）答案：6.28m

　　题型十、求解数字规律探索问题

　　求解此类题，应注意观察题目的特点，进行深入地分析、对比、归纳，必要时可将已知条件进行变形，并充分应用有关公式找到其规律。（如本考点例12 ）

　　例12、观察下列各式

9－1=8

16－4=12

25－9=16

36－16=20

.........

这些等式反映了自然数间的某种规律，设n（n≥1）表示自然数，用关于n的等式表示这个规律为 。

　　析解：观察上面各式的左边均可写成两个数差的形式，故本题可借助平方差公式巧妙求解。求解时可首先将上面各数可写为：

　　　　　　　32－1=8

　　　　　　　42－22=12

　　　　　　　52－32=16

　　　　　　　62－42=20

　　再根据各式与相应等式序数的关系，推知本题的规律为：（n+2）2－n2=4（n+1）。　　练习：请先观察下列各式，再填空

　　　　　　　 32－1=8×1

　　　　　　　 52－32=8×2

　　　　　　　（1）72－52=8×

　　　　　　　（2）92－（ ）=8×4

　　　　　　　（3）（ ）2－92=8×5

　　　　　　　 （4）132－（ ）2=8×（ ）

............

　　通过观察归纳，写出反映这种规律的一般结论： 。

　　答案：（1）3 （2）7 （3）11 （4）11，6

　　结论是：两个连续奇数的平方差能被8整除，或是8的倍数。

　　题型十一、因式分解开放题

　　此类题的求解方法较灵活，往往解法不唯一，须认真分析题意，按要求选择简洁且有把握的式子求解。

　　例12、请任意写一个能在实数范围内分解因式的二次三项式 （该二次三项式的字母、系数不限）。

　　析解：本题答案不唯一，由所求的式子是二次三项式，故选我们熟悉的完全平方式最好，如：x2－2x+1或9y2+6y+1等。

　　练习：结合生活实际，自编一个提公因式的应用题。

　　参考答案：在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，当R=7.2cm,r=1.4cm时，求剩余部分的面积（π取3.14，结果保留三个有效数字）。答案：138cm2。??

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