大学 物理课后习题解答
第1章 质点运动学
1.1一物体从静止开始, 在2s 内被匀加速到40m/s,物体的加速度为多少？在2s 内物体运动了多大距离？
解：物体的加速度为
2v t -v 040-0
==20m /s t 2
a =
物体在2s 内运动的距离为
2v t 2-v 0402-02x ===40m
2a 2⨯20
1.2 质点在水平方向作直线运动, 坐标与时间的变化关系为x =4t -2t （SI ）. 试求：（1）开始的2s 内的平均速度和2s 末的瞬时速度. （3）1s 末到3s 末的位移和平均速度. （4）
1s 末到3s 末的平均加速度. （4）3s 末的瞬时加速度.
解：（1）由题意知，物体在2s 内的位移为
3
x =4t -2t 3=4⨯2-2⨯23=-8m
2s 内的平均速度为
v =
2s 末的瞬时速度为
-8
=-4m /s 2
v 2=
dx
=4-6t 2=-20m /s dt
（2）1s 末到3s 末的位移为
s 13=x 3-x 1=-44m
1s 末到3s 末平均速度为
s -44v 13=13==-22m /s
t 2
1s 末的瞬时速度为
dx v 1==4-6t 2=-2m /s
dt
3s 末的瞬时速度为
dx v 3==4-6t 2=-51m /s
dt
1s 末到3s 末平均加速度为
v -v
a 13=31=-24.5m /s 2
2s
3s 末的瞬时加速度为
d 2x
a 3=2=-12t =-12⨯3=-36m /s 2
dt
1.3质点以初速度v 0作直线运动, 所受阻力与质点运动速度成正比. 求当质点速度减
1
为
v 0
时(n >1), 质点走过的距离与质点所能走的总距离之比. n
解：质点运动过程中所受阻力为
F =-kv
根据牛顿定律知
dv
=-kv dt dv k ⇒=-dt
v m m
两边积分得
ln v =-v =e . e
由于t =0时，v =v 0∴e c =v 0 即 v =v 0. e
k -t m
c
k
t +C m
k -t m
k -t ds
v =⇒ds =vdt =v 0. e m dt
dt
k t mv 0-m
e +c 两边积分得 s =-k
由于t =0时，s =0, ∴c =
mv 0
k
k t mv 0-m mv e +0 即 s =-k k
1'. 当为t 1时，v =
v 0
即 n
v 0. e
k -t 1m
=
v 0
n
t 1=-
对应走过的距离s 1为
m 1ln() k n
1-ln() ⎪ln() mv 0-k . mv mv
s 1=-e ⎝k n ⎭+0=0(1-e n )
k k k
m ⎛m 1⎫
2
=
mv 0⎛1⎫
1-⎪ k ⎝n ⎭
2'. 质点所能走过的距离s 2，即此时v =0，因此t =∞
∴s 2=
mv 0
k
mv 0⎛1⎫
1-⎪s 1k ⎝n ⎭n -1
==
0s 2n k
1.4作直线运动的质点的加速度为a =4+3t （SI ）. 初始条件为t =0时, x =5m, v =0. 求质点在t =10s 时的速度和位置.
解： a =
dv
⇒ d v =a d t dt
t 0
⎰
v
vdv =⎰(4+3t )dt
32
t 2
即 v =4t +
v =
dx
⇒ dx =vdt dt
⎰
x
5
t ⎛3⎫dx =⎰ 4t +t 2⎪dt
02⎭⎝
2
即 x -5=2t +当t =10s 时
131
t ⇒x =2t 2+t 3+5 22
33
v =4t +t 2=4⨯10+⨯102=40+150=190m /s
2211
x =2t 2+t 3+5=2⨯102+⨯103+5=200+500+5=705m
22
1.5质点沿x 轴作直线运动, 加速度和位置的关系为a =2+6x （SI ）. 求质点在任意位置时的速度. 已知质点在x =0时, 速度为10 m/s.
解
2
a =
dv dv dx dv ==v dt dx dt dx vdv =adx
两边积分
⎰
v
10
vdv =⎰adx
x
121
v -⨯102=2x +2x 3 22
∴x =0时，v =10m /s
3
v 2=4x +4x 3+100
∴v >0又因为
a >0,
v =
=3
1.6质点沿半径为1m 的圆周运动, 运动方程为θ=2+3t （SI ）. 求：（1）t =2s 时,
质点的切向加速度和法向加速度. （2）当加速度的方向和半径成45角时, 角位移是多少？
解
d θ
=9t 2 dt d ω∂==18t
dt w =
切向加速度 a t =
d ω
=r ∂=1⨯18t =18t dt
法向加速度 a n =v ω=ω2r =(9t 2) 2=81t 4 1. 当t =2s 时 a t =18t =18⨯2=36m /s 2
a n =81t 4=81⨯24=1291m /s 2
2. 加速度的方向和半径成45时，即a t =a n
81t 4=18t ⇒t 3=
2 9
⇒t =
3
此时角位移 θ=2+3⨯t =2
2
rad 3
1.7长为l 的细杆绕通过其一端的水平轴在竖直平面内自由转动. 当杆与竖直方向的夹角为θ时, 它的角加速度为α=
3g πsin θ. 求：（1）杆由静止θ=0转至θ=时, 杆的角2l 2
速度. （2）杆的另一个端点的线速度大小.
解： 由于 β=
3g
sin a 2l
d ωd ωd θd ωβ===ω
dt d θdt d θ
⎰βd θ=⎰ωd ω
4
π
123g
⇒ω=⎰02sin ad θ
22l
π
3g 3g 2=
=-cos a /0 2l 2l
ω=
杆的另一端的线速度
v =l ω1.8一长度为5m 的直杆斜靠在墙上. 初始时, 顶端离地面4m, 当顶端以2 m/s的速度沿墙面匀速下滑时, 求直杆下端沿地面的运动方程和速度.
解; 令直杆的下端为B 点，上端为A 点 当t =0时，
x B =
=3m
当时间为t 时
x B ==
v B =
dx B =
dt 1.9以初速度v 0=15m/s竖直上抛一物体, 在1s 末又竖直上抛出第二个物体, 后者在
h =11m 高度处击中前者, 求第二个物体的抛出速度；若在1.3s 末竖直上抛出第二个物体,
它仍在h =11m 高度处击中前者, 求第二个物体的抛出速度.
12
解：（1）. x 1=15t -⨯10⨯t
21
x 2=v (t -1) -⨯10(t -1) 2
2
但其中 x 2=x 1=11
x 1=11 ⇒15t -5t 2=
11
t =
1.10在离水面高度为h 的岸边, 有人用绳子拉船靠岸, 收绳速率是恒定的v 0，当船离岸边距离为s 时, 试求船的速率与加速度.
5
1515 1010
解法一：小船的运动可以分解为径向和横向两个方向的运动，而其实际运动沿水平方向。对于速度，如图：v 0=u r =u cos θ 故：u =v 0/cos θ。
又可得：u θ=u sin θ=v 0tan θ。
对于加速度，其径向分量包括两个来源：（1）径向速度改变；（2）横向速度产生的向心加速度。此处，前者为0，后者
2为u θ/L ，故
a r =
u θv tan θsin θ= L h
2
2
2
2v 0tan 3θa r
=而合加速度只能沿水平方向，故：a =。 cos θh
解法二： v 0=
dl dx
u = dt dt
dl
dt
其中l 段因v 0拖动，随时间增长而变短，其变化率
dx dl dx l dl =2l ⇒= dt dt dt x dt v l
u =-v 0=-0
x c o θs
x 2=l 2-h 2⇒2x
⎛l ⎫d -v 0⎪
v 2v 02v 0du x ⎭2
=⎝a ==-0l -x =-h =-tan 3θ ()33
dt dt x x h
2
1.11质点的运动方程为r (t )=i +4t j +t k （SI ）. 求质点的速度、加速度和轨道方
程.
解：质点的速度为
dr (t )
v (t ) ==8tj +k
dt
dv (t )
a ==8j
dt
2
质点的加速度
质点的参数方程为 x =1, y =4t , z =t
⎧x =1
所以轨迹方程 ⎨2
⎩4z =y
1.12在质点运动中, 已知x =ae , 数. 求质点的加速度和轨道方程.
6
kt
dy
=-bke -kt , y t =0=b , 其中a , b , k 为常dt
解：质点的位置方程 x =ae
kt
dx
=kae kt dt dy
=-bke -kt v y =dt
v x =
∴y =-be -kt +c 又 y /t =0=b
所以 c =0 因此 y =-be -kt
所以 a (t ) =kae kt i -be -kt j 轨迹方程 xy =ab
1.13靶子在离人水平距离50m 、高13m 处, 一个人抛一个小球欲击中靶子．该小球最大的出手速率为v =25m/s, 则他是否能击中靶子？在这个距离上能击中的靶子的最大高度是多少？
解：（1）假设可以集中v x =v cos θ
v y =v sin θ
5050
t ==
v x v cos θ
12
gt =13 2501502
v sin θ-⨯10.() =13
v cos θ2v cos θ
2500
50tg θ-5⨯2=13
v cos θ2
当v =25m /s ，去最大值
20
50tg θ-=13 2
cos θv y t -
13
2013cos θ2+20(cosθ2+sin θ2)
50tg θ=13+=
cos θ2cos θ2
50tg θ=33+20tg 2θ 20tg 2θ-50tg θ+33=0
∆=502-4⨯20⨯33=2500-2640=-140
7
∆
（2） v x =v cos θ
v y =v sin θ
t =
5050
=
v x v cos θ
令高度为h
12gt 2501502
h =v sin θ-()
v cos θ2v cos θ
2500
h =50tg θ-52
v cos θ2h =v y t -
当v =25m /s
h =50tg θ-
20
2
cos θ
20(cosθ2+sin 2θ)
h =50tg θ- 2
cos θ
h =50tg θ-20-20tg 2θ
=10(tg θ-tg
2
θ-2)
2
令 f =5tg θ-2tg θ-2
25
=-2(tg θ-) 2+-2
89
⇒f ≤
845∴h ≤m =11.25
4
1.14汽车以5m/s的速度由东向西行驶, 司机看见雨滴垂直下落. 当汽车速度增至10m/s时, 看见雨滴与他前进方向成120角下落．求雨滴对地的速度.
解：如图所示
8
'
v 车对地 v 车对地
雨对车+v 车对地 v 雨对地=v
即
' '
v 雨对地=v 雨对车+v 车对地
v 雨对地=10m /s
南偏西30
1.15甲船以10km/h的速度向东, 乙船以5km/h的速度向南同时出发航行. 从乙船看，甲船的速度是多少？方向如何？又如果从甲船看，乙船的速度是多少？方向如何？
解：
v
甲对乙
=v -v 甲对地乙对地
北
∴v
甲对乙
==/h 12
西
方向：东偏北方向arctg ()
10km/h东
v
乙对甲
=v 乙对地-v 甲对地
==/h
乙
南
∴v
乙对甲
方向：南偏西方向arctg 2
1.16设河面宽1km, 河水以2m/s的速度由北向南流动, 小船相对于河水以1.5m/s的速率从东岸划向西岸．（1）当船头与正北方向夹角为15, 求船到达对岸的时间以及船到达对岸的地点．（2）要使船到达对岸的时间最短, 求船头与河岸的夹角、最短时间以及船到达对岸的地点．（3）要使船相对于河岸的走过的路程最短, 求船头与河岸的夹角、所用时间以及船到达对岸的地点.
解 （1）
x =-5t
15 y =v 0t -gt 0+arctg ())
2v 0
d
t =
v 船sin150
西
9
到达对岸的地点为A 点，其中
v 河水-v 船cos150
o 'A =dtg θ=d () 0
v 船sin15
（2）要使船到达对岸的时间最短（即船头向正西方向行驶）
∴t min
d 1⨯103===666.7s v 船1.5
到达对岸的地点为B 点
1⨯103⨯2
o 'B =dtg θ==1333.4m
1.5
（3）要使船到达对岸大的距离最短，即船头以正西向东方向ϕ角
ϕ=arccos(
1.53) =
arccos 24
d 3
t ==
v 船
sin ϕo 'c =dtg ϕ=1⨯1032
1.17电梯以1.2m/s的加速度下降, 某人在电梯开始下降后0.5s 在离电梯底面1.5m 高处释放一小球. 求此小球落到底面所需的时间和它对地面下落的距离.
解： v 0=at 1=1.2m /s ⨯0.5s =0.6m /s 2 设电梯下降的高度为s 1，小球下降的高度为s 2， s 1=v 0t +
12at 21
s 2=v 0t +gt 2
2
假设小球落到地面所需的时间为t
2
10
即 s 1+h =s 2
有上式得
t 2=
小球相对地面的距离s 2=0.6以1.5m /s 为半径 1 ⨯1021.18火车以5m/s的速度沿x 轴正方向行驶, 站台上一人竖直上抛一小球, 相对于站
12gt （v 0, g 是常数）. （1）求火车中的观测者2
看到的小球的运动方程. 假设运动坐标系和静止坐标系x 轴同向且重合, y 轴平行, 当t =0时, 两个坐标系的原点重合. （2）求在运动坐标系中, 小球的运动轨道. （3）在两台小球的运动方程为x =0, y =v 0t -个坐标系中的观测者看到的小球的加速度各是多少？
x =-5t
解：（1） y =v 0t -12 gt 2
（2
）在运动坐标系，小球是以大小为，方向为沿x 轴的正方向夹角
5900+arctg () 的初速度做斜抛运动 v 0
（3）在两个坐标系中的观测者看到的小球的加速度相同，均大小等于g ，方向竖直向下。
11