高一第1章1.3.1知能优化训练
1．(2011年高考辽宁卷改编) 已知命题p ：∃n ∈N, 2>1000，则 p 为________．
解析：由于存在性命题的否定是全称命题，因而 p 为∀n ∈N, 2n ≤1000.
答案：∀n ∈N, 2n ≤1000
2．判断下列命题的真假．
(1)中国的所有江河都注入太平洋；(________)
(2)有的四边形既是矩形又是菱形；(________)
(3)实系数方程都有实数解；(________)
(4)有的数比它的相反数小．(________)
答案：(1)假 (2)真 (3)假 (4)真
3．有下列命题：①∃x ∈Z ，x 2＝3；
②∃x ∈R ，x 2＝2；
③∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3>0；
④∀x ∈R ，x 2＋x －5>0.
其中真命题有________．(填序号)
答案：②③
4．下列命题为存在性命题的是________．
(1)奇函数的图象关于原点对称；
(2)有些实数的绝对值是正数．
答案：
(2) n
一、填空题
1．下列命题是全称命题并且是真命题的是________．
①每个二次函数的图象都开口向上；
②对任意非正数c ，若a ≤b ＋c ，则a ≤b ；
③存在一条直线与两个相交平面都垂直；
④存在一个实数x 0使不等式x 20－3x 0＋6
解析：∵c ≤0，∴b ＋c ≤b .
∵a ≤b ＋c ，∴a ≤b .
答案：②
2．下列命题为存在性命题的是________．
①偶函数的图象关于y 轴对称；
②正四棱柱都是平行六面体；
③不相交的两条直线是平行直线；
④存在实数大于等于3.
解析：①②③都是全称命题．④中有存在量词“存在”，是存在性命题．
答案：④
3．下列存在性命题中，是真命题的是________．
①∃x ∈R ，x ≤0；
②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；
③∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数．
解析：①真命题，如当x ＝－1时，x ≤0成立；②真命题，1既不是合数，也不是素数；
③真命题，如x ＝5，x 25为无理数．
答案：①②③
4．下列全称命题中是假命题的是________．
①2x ＋1是整数(x ∈R ) ；
②对所有的x ∈R ，x >3；
③对任意的x ∈Z, 2x 2＋1为奇数．
解析：①假命题，当x ＝0.6时，2x ＋1＝2.2，不是整数；②假命题，当x ＝1时，x
答案：①②
5．若函数f (x ) ，g (x ) 的定义域和值域都是R ，则“f (x )
①存在x 0∈R ，使得f (x 0)
1都有f (x )
答案：④
6．下列四个命题：
答案：p 2，p 4
7．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝ q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结2
论：
①命题“p ∧q ”是真命题；
②命题“p ∧ q ”是假命题；
③命题“ p ∨q ”是真命题；
④命题“ p ∨ q ”是假命题．
其中正确的序号是________．
153x ＋2＋>0，所以命解析：因为sin x ＝>1，所以命题p 是假命题．因为x 2＋x ＋1＝⎛⎝242
题q 是真命题．所以 p 是真命题， q 是假命题．根据真值表可知②③正确．
答案：②③
8．若∀x ∈R ，f (x ) ＝(a 2－1) x 是单调减函数，则a 的取值范围是________．
解析：依题意有0
答案：(－2，－1) ∪(1，2)
二、解答题
9．用符号“∀”，“∃”表示下列命题．
(1)自然数的平方大于零；
(2)圆x 2＋y 2＝r 2上任意一点到圆心的距离是r ；
(3)存在一对整数，使2x ＋4y ＝3；
(4)存在一个无理数，它的立方是有理数．
解：(1)∀x ∈N ，x 的平方大于零．(2)∀P ∈{(x ，y )|x 2＋y 2＝r 2}，P 点到圆心的距离是r .(3)
3∃(x ，y ) ，x ∈Z ，y ∈Z ，使2x ＋4y ＝3.(4)∃x ∈{无理数}，使x ∈Q .
10．若∀x ∈R ，函数f (x ) ＝m (x 2－1) ＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．
解：(1)当m ＝0时，f (x ) ＝x －a 与x 轴恒相交；
(2)当m ≠0时，二次函数f (x ) ＝m (x 2－1) ＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m (m ＋a ) ≥0恒成立，即Δ＝4m 2＋4am ＋1≥0恒成立．
又4m 2＋4am ＋1≥0是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′＝(4a ) 2－16≤0，解得－1≤a ≤1.
综上，当m ＝0时，a ∈R ；当m ≠0，a ∈[－1,1]．
11．是否存在整数m ，使得命题“∀x ∈R ，m 2－m
133解：假设存在整数m ，使得命题是真命题．由于对于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x 2＋，244
因此只需m 2－m ≤0，即0≤m ≤1. 故存在整数m ＝0或m ＝1，使得命题是真命题．