高中数学公式大全(人教版)

高中数学常用公式及常用结论（人教版）

1. 元素与集合的关系

x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A . 2. 德摩根公式

C U (A B ) =C U A C U B ; C U (A B ) =C U A C U B .

3. 包含关系

A B =A ⇔A B =B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A

⇔A C U B =Φ⇔C U A B =R

4. 容斥原理

card (A B ) =cardA +cardB -card (A B )

card (A B C ) =cardA +cardB +cardC -card (A B )

-card (A B ) -card (B C ) -card (C A ) +card (A B C ) .

n n n

5．集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个；真子集有2–1个；非空子集有2 –1

个；非空的真子集有2–2个.

6. 二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) ; (2)顶点式f (x ) =a (x -h ) +k (a ≠0) ; (3)零点式f (x ) =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) . 7. 解连不等式N

2

2n

N

M +N M -N f (x ) -N

|0 ⇔|f (x ) -⇔22M -f (x ) 11

>. ⇔

f (x ) -N M -N

8. 方程f (x ) =0在(k 1, k 2) 上有且只有一个实根, 与f (k 1) f (k 2)

者的一个必要而不是充分条件. 特别地, 方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 有且只有一个实根在

(k 1, k 2) 内, 等价于f (k 1) f (k 2)

k 1+k 2b

9. 闭区间上的二次函数的最值

k +k 2b

2

二次函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) 在闭区间[p , q ]上的最值只能在x =-

b

处及区2a

}；

间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若x =-

b b

∈[p , q ]，()n m =f (-, x 则f x i 2a 2a

x m a x m a

=(f , ) p (){f q

b

∉[p , q ]，f (x ) max =max {f (p ), f (q ) }，f (x ) min =min {f (p ), f (q ) }. 2a

b

∈[p , q ]，则f (x m (2)当a

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x =-

b

∉[p , q ]，则f (x ) max =max {f (p ), f (q ) }，f (x ) min =min {f (p ), f (q ) }. 2a

10. 一元二次方程的实根分布

依据：若f (m ) f (n )

⎧p 2-4q ≥0⎪

（1）方程f (x ) =0在区间(m , +∞) 内有根的充要条件为f (m ) =0或⎨p ；

⎪->m ⎩2

⎧f (m ) >0⎪f (n ) >0⎪⎪

（2）方程f (x ) =0在区间(m , n ) 内有根的充要条件为f (m ) f (n )

⎪

⎪m

⎧f (m ) =0⎧f (n ) =0或⎨或⎨； ⎩af (n ) >0⎩af (m ) >0

⎧p 2-4q ≥0⎪

（3）方程f (x ) =0在区间(-∞, n ) 内有根的充要条件为f (m )

⎪-

11. 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(-∞, +∞) 的子区间L （形如[α, β]，(-∞, β]，[α, +∞)不同）上含参数的二次不等式f (x , t ) ≥0(t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x , t ) min ≥0(x ∉L ) .

(2)在给定区间(-∞, +∞) 的子区间上含参数的二次不等式f (x , t ) ≥0(t 为参数) 恒成立的充要条件是f (x , t ) man ≤0(x ∉L ) .

⎧a ≥0

⎧a

(3)f (x ) =ax +bx +c >0恒成立的充要条件是⎨b ≥0或⎨2.

b -4ac 0⎩

⎩

12.

13.

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14. 四种命题的相互关系

15. 充要条件

（1）充分条件：若p ⇒q ，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q ⇒p ，则p 是q 必要条件.

（3）充要条件：若p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16. 函数的单调性

(1)设x 1⋅x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

f (x 1) -f (x 2)

>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；

x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

(2)设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '(x )

17. 如果函数f (x ) 和g (x ) 都是减函数, 则在公共定义域内, 和函数f (x ) +g (x ) 也是减函数; 如果函数y =f (u ) 和u =g (x ) 在其对应的定义域上都是减函数, 则复合函数y =f [g (x )]是增函数.

(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔

18．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称; 反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

19. 若函数y =f (x ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x -a ) ；若函数y =f (x +a ) 是偶函数，则f (x +a ) =f (-x +a ) .

20. 对于函数y =f (x ) (x ∈R ), f (x +a ) =f (b -x ) 恒成立, 则函数f (x ) 的对称轴是函数x =

a +b a +b

; 两个函数y =f (x +a ) 与y =f (b -x ) 的图象关于直线x =对称. 22

a

21. 若f (x ) =-f (-x +a ) , 则函数y =f (x ) 的图象关于点(, 0) 对称; 若

2

f a ) , 则函数y =f (x ) 为周期为2a 的周期函数.

22．多项式函数P (x ) =a n x n +a n -1x n -1+ +a 0的奇偶性

多项式函数P (x ) 是奇函数⇔P (x ) 的偶次项(即奇数项) 的系数全为零. 多项式函数P (x ) 是偶函数⇔P (x ) 的奇次项(即偶数项) 的系数全为零. 23. 函数y =f (x ) 的图象的对称性

(1)函数y =f (x ) 的图象关于直线x =a 对称⇔f (a +x ) =f (a -x )

⇔f (2a -x ) =f (x ) .

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