指数函数练习题
指数函数练习题
一、什么是指数函数? 一般地,函数y =a x
(a >0, 且a ≠1) 叫做指数函数
第1题. 截止到1999国人口约13亿如果今后能将人口年平均增长率控制在1%,那么经过20年,我国人口数量最多为多少?(精确到亿)?
答案:解:设今后人口平均增长率1%,经过20,我国人口数为y 亿. 1999年底,我国人口数为13亿; 经过1年(即2000年),
人口数为13+13⨯1%=13⨯(1+1%) (亿); 经过2年(即2001年),
人口数为13⨯(1+1%) +13⨯(1+1%) ⨯1%=13⨯(1+1%)2(亿); 经过3年(即2002年),
人口数为13⨯(1+1%) 2+13⨯(1+1%) 2⨯1%=13⨯(1+1%)3(亿);...... 所以,经过x 年,人口数为y =13⨯(1+1%) x =13⨯1.01x (亿). 当x =20时,y =13⨯1.0120≈16(亿).
所以经过20年后,我国人口数最多为16亿.
第2题. 某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个......依此类推,写出1个这样的细胞分裂x 次后,得到的细胞个数y 与x 的函数解析式. 答案:y =2(x ∈N ) .
第3题. 一种产品的产量原来是a ,在今后m 年内,计划使产量平均每年比上一年增加p %,写出产量随年数变化的函数解析式.
答案:产量y 随经过年数x 变化的函数解析式为y =a (1+p %) , 0
第4题. 求不等式a
答案:对于a
2x -7
x *
x
2x -7
>a 4x -1(a >0,且a ≠1) 中x 的取值范围.
>a 4x -1,
当a >1时,有2x -7>4x -1,解得x 1时,x 的取值范围为{x |x
⎛b ⎫
第5题. 指数函数y = ⎪的图象如图所示,求二次函数y =ax 2+bx 的顶点的横坐标的取
⎝a ⎭
值范围.
x
b ⎛b ⎫
答案:由图可知指数函数y = ⎪是减函数,所以0
a ⎝a ⎭
而二次函数y =ax +bx 的顶点的横坐标为-所以-
2
x
b 1b =-, 2a 2a
1b ⎛1⎫
第6题. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a 元,每期利率为r ,设本利和为y ,存期为写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式.如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,x ,
试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)? 答案:已知本金为a 元.
1期后的本利和为y 1=a +a ⨯r =a (1+r ),
2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r ) r =a (1+r ) 2,
3期后的本利和为y 3=a (1+r ).
3
......
x 期后的本利和为y =a (1+r ) x .
将a =1000(元),r =2.25%,x =5代入上式得
5
y =1000⨯(1+2.25%)=1000⨯1.02255≈1118.
答:本利和y 随存期x 变化的函数式为y =a (1+r ),5期后的本利和约为1118元.
第7题. 函数f (x ) =a x (a >0,且a ≠1)对于任意的实数x ,y 都有( ) A.f (xy ) =f (x ) f (y )
B.f (xy ) =f (x ) +f (y ) D.f (x +y ) =f (x ) +f (y )
x
C.f (x +y ) =f (x ) f (y )
答案:C.
第8题. 当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.
(1) 死亡生物组织内的碳14经过九个“半衰期”后,用一般的放射性探测器 能测到碳14吗?
(2) 大约经过多少万年后,用一般放射性探测器就测不到碳14了(精确到万 年)?
(1) 答案:死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P =
⎛1⎫⎪⎝2⎭
t 5730
.
当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为
⎛1⎫P = ⎪
⎝2⎭
9⨯57305730
⎛1⎫
= ⎪≈0.002. ⎝2⎭
9
答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前的2‰,所以还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.
(2) 设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么 解得t >5.7.
答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的.
⎛1⎫⎪⎝2⎭
10000t 5730
1x 3
A.x >0 B.x
x
第9题. 若()
D.x ≥0
12
答案:B.
第10题. (1)已知(a +a -1) 2=3,求a +a ;
3
-3
a 3x +a -3x
(2)
已知a =1,求x ; -x
a +a
2x
(3)已知x
-3
+1=a ,求a 2-2ax -3+x -6的值.
答案:解:(1)∵(a +a -1) 2=a 2+2+a -2=3,∴a +a 因此a 3+a -3=(a +a -1)(a 2-1+a -2) =0.
2-2
=1,即a 2-1+a -2=0.
a 3x +a -3x (a x +a -x )(a 2x -1+a -2x )
=a 2x -1+a -2x .
(2)x =x -x -x
a +a a +a
∵
a 2x 1,∴a -2x =1.
∴a 2x -1+a -2x =1-11=1.
故原式=1. (3)∵x
x
第11题. 函数f (x ) =a (a >0,且a ≠1)对于任意的实数x ,y 都有( )
-3
+1=a ,∴x -3-a =1.故a 2-2ax -3+x -6=(a -x -3) 2=1.
A.f (xy ) =f (x ) f (y )
B.f (xy ) =f (x ) +f (y ) D.f (x +y ) =f (x ) +f (y )
C.f (x +y ) =f (x ) f (y ) 答案:C.
x
第12题. 已知函数f (x ) =a (a >0,a ≠1)在[-2,2]上函数值总小于2,求实数a 的
取值范围.
答案:解:要使函数f (x ) =a x (a >0,a ≠1)在[-2,只要f (x ) =a x 2]上函数值总小于2,(a >0,a ≠1)在[-2,2]上的最大值小于2, 当a >1时,f (x ) max =a 2
2,解得1
2
所以a ∈
1) (1. 2
第13题. 已知函数f (x ) =a x +a -x (a >0,a ≠1),且f (1)=3,则f (0)+f (1) +f (2)的值
是 .
答案:12.
第14题. 若关于x 的方程2
答案:解:令2=t >0,则原方程有实根等价于关于t 的方程t +at +a +1=0至少有一正根.
x
2
2x
+2x a +a +1=0有实根,试求a 的取值范围.
⎧-a >0⎪
于是有a +10⇒a ≤2-
⎪∆=a 2-4(a +1) ≥
0⎩
第15题. 某工区绿化面积每年平均比上一年增长10.4%,经过x 年后的绿化面积成原绿化面积之比为y ,则y =f (x ) 的图象大致为( )
答案:D.
第16题. 当a >0且a ≠1时,函数f (x ) =a x -2-3必过定点
-2) 答案:(2,
第17题. 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a 元,每期利率为r ,设本利和为y ,存期为x ,写出本利和y 随存期x 变化的函数解析式.如果存入本金1000元,每期利率为2.25%,试计算5期后的本利和是多少(精确到1元)?
答案:已知本金为a 元.
1期后的本利和为y 1=a +a ⨯r =a (1+r ),
2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r ) r =a (1+r ) ,
2
3期后的本利和为y 3=a (1+r ). ......
3
x 期后的本利和为y =a (1+r ) x .
将
a =1000
(元),
r =2.25%, x =5
代入上式得
y =1000⨯(1+2.25%)=1000⨯1.02255≈1118.
答:本利和y 随存期x 变化的函数式为y =a (1+r ),5期后的本利和约为1118元.
第18题. 设y 1=a 3x +1,y 2=a -2x 其中a >0,且a ≠1.确定x 为何值时,有: (1)y 1=y 2; (2)y 1>y 2.
答案:(1)x =-;
(2)x >-(a >1) ,x 第19题. 若() 0
答案:B.
B.x
C.x ≤0
D.x ≥0
x
5
15
1515
12
x
13
x
x
第20题. 函数f (x ) =a (a >0,且a ≠1)对于任意的实数x ,y 都有( )
A.f (xy ) =f (x ) f (y )
B.f (xy ) =f (x ) +f (y ) D.f (x +y ) =f (x ) +f (y )
C.f (x +y ) =f (x ) f (y )
答案:C.
ax
第21题. 当a ≠0时,函数y =ax +b 和y =b 的图象是( )
答案:C.
第22题. 当a >0且a ≠1时,函数f (x ) =a x -2-3必经过定点
答案:(2,-2) .
第23题. 如右图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m )与时间t (月)的关系:y =a t ,有以下叙述:
①这个指数函数的底数为2;
②第5个月时,浮萍面积就会超过30m ; ③浮萍从4m 蔓延到12m 需要经过1.5个月; ④浮萍每月增加的面积都相等;
⑤若浮萍蔓延到2m ,3m ,6m 所经过的时间分别为t 1,t 2,t 3,则t 1+t 2=t 3.其中正确的是( ) A.①② B.①②③④
答案:D.
C.②③④⑤
D.①②⑤
2
2
2
2
2
2
2
⎛1⎫
2 () ⎪
2第24题.
4n 8-2
n +12
2n +1
(
n
答案:2
第25题. 函数y =f (x )的图象与y =2x 的图象关于x 轴对称,则f (x )的表达式为 .
答案:f (x )=-2x .
第26题. 若函数F (x )= 1+
-2n +7
.
⎛⎝2⎫
⎪ f (x )(x ≠0)是偶函数,且f (x )不恒等于0,则2x -1⎭
f (x )为( )
A.奇函数 B.偶函数
C.可能是奇函数,也可能是偶函数 D.非奇非偶函数 答案:A.
第27题. 已知函数f (x )=2-1,g (x )=1-x ,构造函数F (x )定义如下:当
x
2
f (x )≥g (x )时,F (x )=f (x );当f (x )
( )
A.有最大值1,无最小值 C.有最小值-1,无最大值 答案:C.
B.有最小值0,无最大值 D.无最小值,也无最大值
2
第28题. 当x >0时,函数f (x )=a -1
()
x
的值总大于1,则实数a 的取值范围
是 .
答案:-∞,
(
+
)
11111
--⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛-⎫⎛⎫⎛321684第29题. 化简 1+2⎪1+2⎪1+2⎪1+2⎪1+22⎪的结果是 .
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
1-⎫1⎛
答案: 1-232⎪.
2⎝⎭
-1
第30题. 已知函数f (x )满足:对任意实数x 1
f (x f )x (1+x 2)=1
为 .
(f )2x ,若写出一个满足这些条件的函数,则这个函数可以写
答案:f (x )=2x ,f (x )=3x 等.