南京工业大学 线 性 代 数 试题
南京工业大学 线性代数2008-09试题(A )卷
⎛111⎫⎛123⎫ ⎪ ⎪
1.设3阶矩阵A = 012⎪, B = 025⎪,则AB = 。
234⎪ 006⎪⎝⎭⎝⎭
2.设三阶矩阵A 的特征值为1,-1,3,再设B =A 3-5A 2, 则B =. 。 3.设n 阶矩阵A 的各行元素之和等于零,且A 的秩为n -1,则齐次线性方程组AX =0的
通解为 。 4.设向量α=(2,
1T , -1, 0) T , β=(0,1,k , -1) 为属于实对称矩阵A 的不同特征值的特征向k
-1
量,则k = 。 5.已知A -A -2E =0,则A
2
=。
⎛-2⎫⎛-1⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪ ⎪1-3 ⎪ ⎪ 1⎪
1.设齐次方程组AX =0的一个基础解系为α1= 1⎪, α2= 0⎪, α3= 0⎪,则
⎪ ⎪ ⎪01 ⎪ ⎪ 0⎪ 0⎪ 0⎪ 1⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
( ).
(A ) R (A ) =5 (B ) R (A ) =4 (C ) R (A ) =3 (D ) R (A ) =2
2.设n 阶矩阵A 有s 个不同的特征值λ1, λ2, , λs ,而且R (λi E -A ) =n -r i , i =1,2, , s 。
如果A 与对角矩阵相似,则( ). (A)
∑r ≤n (B ) ∑r ≥n (C) ∑r =n (D) ∑r ≠n
i
i
i
i
i =1
i =1
i =1
i =1
s s s s
3. 若向量组α1, α2, α3线性无关,向量组α1, α2, α4线性相关, 则 ( ).
(A ) α4必不可由α1, α2, α3线性表示 (B ) α4必可由α1, α2, α3线性表示 (C ) α2必不可由α1, α3, α4线性表示 (D ) α2必可由α1, α3, α4线性表示
4. 设m ⨯n 阶矩阵R (A ) =r , 则如下结论正确的是( ).
(A )R (A A ) =R (A ) (B)R (A A ) R (A ) (D) R (A A ) ≠R (A ) 5. 对于矩阵方程AB =AC ,以下结论正确的是( ).
(A) B =C (B)B ≠C (C)如A 可逆, 则B =C (D )以上均不正确.
T
T
T
T
T
三、(10分) 计算下行列式
x +a 1a 1
D =
a 2x +a 2
a 2 a 2
+x
a 3a 3 a 3
a 3
n n n
a a a a 1 a 1
+x
n
⎛200⎫
⎪2
四、(10分)设三阶矩阵A = 450⎪满足矩阵方程AX +A =3X +9E ,试求矩阵
-124⎪⎝⎭
X .
五、(14分)设向量α1=(3,2,1,3), α2=(1, -3, -1, -4), α3=(7,1,1,2), α4=(-1,1, -3, -2),
α5=(0,7,-4,3) ,求向量组的秩和极大无关组,并把极大无关组以外的向量用极大无关
组线性表示.
六、(13分)当a , b 为何值时,线性非齐次方程组
x 3+x 4=0⎧x 1+x 2+
⎪x +2x +3x 3+3x 4=1⎪12
⎨
-x +(a -3) x -2x =b 234⎪⎪x 3+ax 4=-1⎩3x 1+2x 2+
无解、有唯一解、或有无穷多组解?在有无穷多解时,求出其通解.
222
七、(15分)已知二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 1+3x 2+3x 3+4x 2x 3,试回答下列问题
1) 写出此二次型的矩阵A ;
2) 利用正交变换X =QY 该二次型化为标准型,并给出所使用的正交变换和标准型; 3) 判断该二次型是否具有正定性。
八、(8分)Housesholder 矩阵是计算数学中一类重要的变换(镜面反射)方法,一般用来化矩阵为上Hesseberg 矩阵。设实向量u =(u 1, u 2, , u n ) T 且u u =1,则其一般形式为
T
H =E -2uu T 试回答下列问题:
1) 证明:Householder 矩阵是实对称正交矩阵; (3分)
2) 证明:一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或-1,并确定Householder 矩阵的特征值(3
分) 3)
对于u =
,1) T ,试给出此Householder 矩阵属于各特征值的特征向量. (2分)