罗尔定理应用中的辅助函数构造法
第１４卷第６期高等数学研究
Ｖｏｌ．１４，Ｎｏ．６
，罗尔定理应用中的辅助函数构造法
亓健，吴瑞华
（）中国石油大学（华东）理学院，山东青岛２６６５５５
摘
要 给出在利用罗尔定理证明等式时所需辅助函数的一种构造方法，并借助实例加以说明．
文献标识码 Ａ
（）文章编号 １００８１３９９２０１１０６００１５０２－－－
关键词 罗尔定理；辅助函数；导数；积分中图分类号 Ｏ１３
１］
在高等数学中，利用罗尔定理［来证明含有导因为
Ｐｘｄｘ
∫（（］，′′ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）ｅ＝［＋Ｐ（＋Ｑ（ｆｆ（φ
（）
数的等式，是一个重点问题，也是一个难点问题，其困难之处在于构造辅助函数．本文针对该类问题讨论辅助函数的一种构造方法．
定理１ 设ｆ（在［上连续，在（内可ｘ）ａ，ｂ］ａ，ｂ）记导，Ｐ（ｘ）和Ｑ（ｘ）连续．
ＰｘｄｘＰｘｄｘ
∫∫ｘ）＝ｅｘ）ｘ）ｅｄｘ，＋Ｑ（ｆ（φ（
（）
∫ｅ
所以必有
Ｐ（ｘ）ｄｘ
≠０，
∫
（）
′（＋Ｐ（＋Ｑ（ｆｆ（ξ）ξ）ξ）ξ）＝０．
，由此定理可以看出，借助函数ｆ（ｘ）Ｐ（ｘ）和，便可将罗尔Ｑ（ｘ）的不同形式构造辅助函数φ（ｘ）
定理的应用推广至更多的情形．下面举例说明其妙用之处．
］上连续，）内可例１ 设ｆ（在（ｘ）在［０，１０，１导，且有
）＝ｆ（）＝０，０１ ｆ）＝１，ｆ（
２
证明：
）（）使得１１， 存在ξ∈，２ｆ（ξ）＝ξ．
（），使得２０， 对任意实数λ必存在η∈（ξ）
′（－λ［－η］＝１．ｆｆ（η）η）
高等教育出版社，２００２：２１８；２０９．
［］华罗庚．高等数学引论：第一册［２Ｍ］．北京：高等教育出
版社，２００９：３０４３０６．－
如果
，ａ）＝φ（ｂ）φ（
，则存在ξ∈（使得ａ，ｂ）
′（＋Ｐ（＋Ｑ（ｆｆ（ξ）ξ）ξ）ξ）＝０．
证明 由定理所给条件知φ（满足罗尔定理ｘ）
，因此必存在ξ∈（使得的所有条件，ａ，ｂ）
′（φξ）＝０．
；收稿日期：修改日期：２０１００９１３２０１１１００２．－－－－
，作者简介：亓健（男，山东莱阳人，硕士，教授，主要从事图论１９６２－）
：与组合优化．Ｅｍａｉｌｉｉａｎ＠ｕｃ．ｅｄｕ．ｃｎ．ｑｊｐ
，吴瑞华（女，山东临沂人，硕士，讲师，主要从事算１９８１－）：ｗ＿子理论的研究．Ｅｍａｉｌｕｒｕｉｈｕａｏｔｍａｉｌ．ｃｏｍ．＠ｈ
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参考文献
［］同济大学应用数学系．高等数学：上册［北京：１Ｍ］．５版．
ＡＦｏｒｍｕｌａｆｏｒＩｎｔｅｒａｔｉｎＣｅｒｔａｉｎＲａｔｉｏｎａｌＦｕｎｃｔｉｏｎｓ ｇｇ
，，ＬＩＹｏｎＰｉｎＭｉｎｌｅ ＤＵ ＷＡＮＧ －ｇｇ
（，’ＴｈｅＳｅｃｏｎｄＡｒｔｉｌｌｅｒＥｎｉｎｅｅｒｉｎＣｏｌｌｅｅＸｉａｎ７１００２５，ＰＲＣ） ｙｇｇｇ
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１６
）对函数证明 （１
Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）－ｘ，］上使用零点定理［２］
在即可．１
２（）将待证结果与定理１相比较，可令２
高等数学研究
２０１１年１１月
两例说明该方法在等式含有多个函数或含有高阶导数时的应用．
，］）例３ 设Ｆ（在［上连续，在（ｘ）Ｇ（ｘ）０，１０，１内可导，且有
）＝Ｇ（）＝０，Ｇ（０１
），证明：存在ξ∈（使得０，１
Ｇ′（Ｆ′（ｘ）＝０．－Ｇ（ξ）ξ）
，证明 将Ｇ（视为定理１中的ｆ（比较待ｘ）ｘ）可设证结论与定理１，
， Ｑ（Ｐ（ｘ）＝－Ｆ′（ｘ）ｘ）＝０，
从而按定理１能构造出辅助函数
Ｆ（ｘ）－
，ｘ）＝ｅＧ（ｘ）φ（
继而根据罗尔定理，可得待证结论成立．
Ｐ（ｘ）＝－λ，ｘ）＝λｘ－１， Ｑ（
从而可得辅助函数
ｄｘｄｘ－－λλ∫∫）ｘ）ｘ）ｘ－１ｅｄｘ＝λ＝ｅ＋（ｆ（φ（
ｘ－λ
［，ｅｘ）－ｘ］ｆ（
容易验证，ｘ）在［０，φ（ξ］上满足罗尔定理的诸条件，
，故存在η∈（使得０，ξ）
∫
′（φη）＝０，
也即有
′（－λ［－η］＝１．ｆｆ（η）η）
］）例２ 设ｆ（在［上连续，在（内可ｘ）００２２
导，且有
），）＝ｆ０＝ｆ（
２２
，证明存在ξ∈（使得０）
２′（ｏｓ＋ｆ（ｆξ）ξ）＝ｃξ．
证明 将待证结论与定理１相比较，可令Ｐ（ｘ）＝１，ｘ）＝－ｃｏｓｘ， Ｑ（并构造出辅助函数
１ｘ
［］ｘ）＝ｅｘ）ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘ）．－（ｆ（φ（２
］上二阶可导，例４ 设ｆ（且有ｘ）在［０，１
）＝ｆ（）＝０，０１ｆ（），证明：存在ξ∈（使得０，１
（））″（．＝ｆξ１－ξ
证明 待证结论等价于
″（′（＋ｆξ）ξ）＝０，
ξ－１
将其与定理１相比较，可令
Ｐ（ｘ）＝
，（）
Ｑｘ＝０，
ｘ－１
故由定理１可得出辅助函数
２ ）ｘ）＝（ｘ－１′（ｘ）．ｆφ（
］上满足罗尔定理的诸条件，因为φ（故存ｘ）在［０，１），在ξ∈（使得０，１２
（）（）″（′（＋２ｆｆξ－１ξ）ξ－１ξ）＝０，
显然ξ≠１，故待证结论成立．
］上满足罗尔定理诸条件，因为φ（故存ｘ）在［０２），在ξ∈（使得０２
′（φξ）＝０，
也即有
参考文献
［］华东师范大学数学系．数学分析：上册［北京：１Ｍ］．２版．
高等教育出版社，１９９１：１５４．
［］同济大学应用数学系．高等数学：上册［北京：２Ｍ］．５版．
高等教育出版社，２００２：７０．
′（ｏｓ＋ｆ（ｆξ）ξ）＝ｃξ．
以上两例中的辅助函数若按常规方法往往不易被想到，而利用定理１提供的方法则直接有效．下面
ＡｎＡｕｘｉｌｉａｒＦｕｎｃｔｉｏｎｉｎＣｅｒｔａｉｎＡｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｆ ｙｐｐ
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（，），ＱＳｃｈｏｏｌｏｆｓｃｉｅｎｃｅＣｈｉｎａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＰｅｔｒｏｌｅｕｍ（Ｈｕａｄｏｎｉｎｄａｏ２６６５５５，ＰＲＣ） ｙｇｇ
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