一元二次方程的公式
一元二次方程的一般形式是
ax²+bx+c=0(a≠0)
其中ax²是二次项,a 是二次项系数;b 是一次项系数;bx 是一次项;c 是 常数项。 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。[3]
变形式
(a 、b 是实数,a≠0);
(a 、c 是实数,a≠0);
(a 是实数,a≠0).
注:a≠0这个条件十分重要.
配方式
两根式
4求解方法 编辑
直接开平方法
形如
或
(
) 的一元二次方程可采用直接 法解一元二次方程。
如果方程化成
的形式,那么可得
。
如果方程能化成
的形式,那么
,进而得出方程的根。
注意:
①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个 一元一次方程。
③方法是根据 平方根的意义开平方。 [4]
配方法
步骤
将一元二次方程配成
的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫 配方法。
用配方法解一元二次方程的步骤:
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以,使二次项系数为1,并把移到方程右边; ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个,右边化为一个常数;
⑤进一步通过直接开平方法求出,如果右边是 ,则方程有两个实根;如果右边是一个负数,则方程有一对共轭虚根。
配方法的理论依据是 完全平方公式
配方法的关键是:先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
举例
例一:用配方法解方程
解:将常数项移到方程右边
将二次项系数化为1:
方程两边都加上一次项系数一半的平方:
配方:
直接开平方得:
∴
,
.
∴原方程的解为
,
. [5]
求根公式法
步骤
用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根 公式法。
用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式
,确定a ,b ,c 的值(注意符号);
②求出
的值,判断根的情况;
③在
(注:此处△读“德尔塔”)的前提下,把a 、b 、c 的值代入公式
进行计算,求出方程的根。
推导过程
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
(为了配方,两边各加
)
(化简得)。
一元二次方程的求根公式在方程的系数为有理数、实数、复数或是任意数域中适用。 一元二次方程中的判别式:根号下b²-4ac
应该理解为“如果存在的话,两个自乘后为的数当中任何一个”。在某些数域中,有些数值没有平方根。
推导过程2
一元二次方程的求根公式导出过程如下:
a
的取值范围任意,c 取值范围任意,b=(a+1)√c。从a b c
的取值来看可出1亿道方程以上,与因式分解运用韦达定律验证:
因式分解法 因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。
因式分解法就是先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题(数学 化归思想)。
因式分解法解一元二次方程的一般步骤:
①,使方程的右边化为零;
②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积;
③令每个因式分别为零
④括号中x ,它们的解就都是原方程的解。
例:
, 或者
∴
,
. [6]
图像解法
一元二次方程
的根的几何意义是 二次函数
的图像(为一条 抛物线)与 x轴交点的X 坐标。当
时,则该函数与x
轴
当
时,则该函数与x 轴相切(有且仅有一个交点);当
(有两个交点);
时则该函数与x 轴相离(没有交点)。另外一种解法是把一元二次方程
化为:
的形式。
则方程的根,就是函数
和
交点的X 坐标。
通过作图,可以得到一元二次方程根的近似值。
计算机法
在使用计算机解一元二次方程时,和人手工计算类似,大部分情况下也是根据下面的公式去解
可以进行符号运算的程序,比如软件 Mathematica ,可以给出根的解析表达式,而大部分程序则只会给出数值解(但亦有部分显示平方根及虚数)。
5方程解 编辑
含义
(1)一元二次方程的解(根)的意义:
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解。一元二次方程的解也称为一元二次方程的根(只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根)。
(2)由代数基本定理,一元二次方程有且仅有两个根(重根按重数计算),根的情况由判别式(
)决定。
判别式
利用一元二次方程根的判别式(
)可以判断方程的根的情况。
一元二次方程
的根与根的判别式有如下关系:
①当
时,方程有两个不相等的实数根;
②当
时,方程有两个相等的实数根;
③当
时,方程无实数根,但有2个 共轭复根。
上述结论反过来也成立。
韦达定理
设一元二次方程
中,两根x ₁、x ₂有如下关系:
数学推导
由一元二次方程求根公式知
则有: