四川理工学院专升本高等数学试题

2003年专升本试题

一. 解下列各题(每小题5分,共70分)

I=lim

5n2+n-3I=limtanx-sinx

1) n→∞10n2+5. 2) x→0x

1

3) lim(1-3x)x

x→0

4) y=x+2x+7ln7,求y'.5) y=ln(1+e2x),求dy. 6) ⎰

tan2xdx

7) ⎰xcos(2x2

+1)dx 8) I=

⎰e

1

lnxdx

9) z=e

sinxy

,求∂z∂z∂x,∂y

10) .I=⎰⎰x2

2dσ,其中D由直线x=2,y=x及曲线xyD

y=1所围成的区域.

11) 求方程y''-2y'+y=x的通解.

∑∞

xn

12) 求幂级数的收敛半径和收敛区间.

n=1

n111013) 计算行列式D=

1

101

1011的值. 0111

⎛1-314) 设矩阵A= 2⎫ -30

1⎪

⎪,求逆矩阵A-1. ⎝11-1⎪⎭

二 (10分)某企业每年生产某产品x吨的成本函数为

x)=900+30x+x2

C(100

(x>0),

问当产量为多少吨时有最低的平均成本?

1

2004年专升本试题

一．求下列各极限（每小题5分，共15分）

1.

2.

.

3.

,是任意实数。 二．求下列各积分（每小题5分，共10分） 求不定积分

1.

三．解下列各题（每小题5分，共15分 1. 设

2. 已知

3. 已知方程

四．（6分）求曲线

拐点坐标与极值。

五．计算下列各题（每小题6分，共24分） 1.计算

.其中D是由两条坐标轴和直线

所围成的区域.

2.计算所围成的空间闭区域.

3.

计算

的

正方形区域的正向边界. 4.计算

为球面的外侧.

六．解下列各题（每小题5分，共10分）

1.判定级数

的收敛性.

2.求幂级数

的收敛半径和收敛区间.

七．（6分）求微分方程的通解. 八．（8分）求微分方程

的通解.

九．（5分）试证：曲面上任一点处的切平面在各坐标轴上的截距之

和等于

成都高等专科学校2005年专升本选拔考试

注意事项：

1. 务必将密封线内的各项写清楚。

2. 本试题共四大题37小题，满分100分，考试时间120分钟。

一、 解答题：本大题共7个小题，每小题10分，本大题共70分。 1. 试求垂直于直线相切的直线方程.

2. 计算.

3. 求出

所围成的图形面积.

4. 设.

5.

薄板在

面上所占区域为

已知薄板在任一点

处的质量面

密度为求薄板的质量.

6. 把函数的幂级数，并指出收敛区间.

7. 求微分方程

的通解.

2

二、 选择题（单选，每小题1分，共10分）

8.

等于

A.

B.

C.

D.

9.设函数

,则

A．连续，但不可导 B.不连续 C.可导 D.

10.设 A. B.

C.

D.

11.函数

存在的

A．必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 12.等于

A．

B.

C. D.

13.广义积分为

A.发散 B. 1

C. 2

D. 1/2 14.直线

的位置关系是

A.直线与平面平行

B.直线与平面垂直

C.直线在平面上

D.直线与平面只有一个交点，但不垂直15.下列级数中，发散的是

A.

B.

C. D.

（ ）

（ ） （ ） （ ） （ ）

（ ） （ ）（ ）

16.

幂级数的收敛半径为 （ ） 27.微分方程

四、填空题.（每小题1分，共10分）

（ ）

A. 1 B. 2

C.

D.

28.行列式

17.所围成的区域的正向边界线，曲线积分

等于

（ A. 1/10 B. 1/20 C. 1/30 D. 1/40 三、判断题.（每小题1分，共10分）

18.

（ ）

19.

（ ）

20.曲线

（ ）

21.

已知函数

则

（ ）

22.

设点

（ ）

23.

（ ）

24.平行与x轴且经过A（1，-2，3），B（2，1，2）两点的平面方程为

（ ）

25.设函数

（ ）

26.改变二次积分 （ ）

3

29.若行列式

30.设矩阵

31.若齐次线性方程组

有非零解，则

32.设

33.若

34.已知

35.

维向量线性相关的条件.

36.若线性无关的向量组

线性表出，则

的不等式关系

是

37.设线性方程组

则 且 ,方程组有解.

2006年专升本试题及参考答案

一.单项选择题(10分)

）

1.在R上连续的函数f(x)的导函数f'(x)的图形如图,则f(x)极值有( ).A.一个极大值二个极小值;B.二个极小值一个极大值;C.二个极小值二个极大值;

D.三个极小值一个极大值.

2.f(x)的一个原函数是e-2x,则f(x)

=A.e-2x; B.-2e-2x; C.-4e-2x; D.4e-2x.

∑∞

(x-1)n-1

3.级数( ). n=2

n⋅3n

A.(-2,4); B.(-3,3); C.(-1,5); D.(-4,2).

4.方程xy'+y=3的通解是( ).

A.y=Cx+3; B.y=3

x

+C;

C.y=-CC

x-3; D.y=x

-3.

a1

b1c1

2a1

2b12c1

5.若D=a2

b2c2=k,则B=2a32b32c3=( ). a3

b3

c32a2

2b2

2c2

A.-2k; B.2k; C.-8k; D.8k.

二.填空题(15分)

⎧sin2x+e2ax-1

1.f(x)=⎪

⎨,x≠0在R上连续,则a=( ); ⎪x

⎩

a,x=02.曲线y=lnx与直线x+y=1垂直的切线是( ); 3.定积分⎰2

-2(x-=( );

4.f(x)=e-x

的幂级数展开式是( );

5.f(x)在[0,1]上连续,且⎰1

f(x)dx=3,则

4

⎰

1

1

dx⎰x

f(x)f(y)dy=( ).

三.计算下列各题(30分)

1.lim1-cosx2-x

x→0x2sinx2

; 2.⎰xedx; 3.I=⎰

+∞

dx

x2+4x+9

; 4.y"+y'-2y=0;

abb

5.Dba b

4=

bb a

6. ?

四. 已知二元函数z=eusinv,u=xy,v=ln(x-y),求

∂z∂x,∂z

∂y

.(8分) 五. 已知f(x)=ϕ(x)|x-a|,ϕ(x)在x=a的某个邻域内连续,且limx→a

ϕ(x)=0,试讨论f(x)在x=a的可导性.(7分)

六.求y=x3,x=2,y=2所围图形分别绕x,y轴旋转所得立体体积.(10分)

七.计算I=⎰⎰(x+6y)dσ,其中D:由y=x,y=2x

D

和x=2围成.(10分)

八.已知f(x)在闭区间[0,a]上连续,在开区间(0,a)内可导,f(a)=0,求证:∃ξ∈(0,a), 使f(ξ)+ξf'(ξ)=0.(10分)

2007年专升本试题

一．选择题（本大题共5个小题，每个3分，共15分）

1． 下列函数是奇函数的是（ B ）

（A）sin(cosx) （B）sin(tanx) （C）cos(tanx) （D）cot(cosx)

⎧sin(x-1)2．已知f(x)=⎪

⎨x2-x

x→1

f(x)=( )；

⎩x+1

x≥1

（A）2 （B）3 （C）1

2

（D）不存在

3．f(x)在x1

f(x0-2a)-f(x0)0可导，f'(x0)=

4，则lim

a→0a

=( )； （A）2 （B）-2 （C）-

12 （D）12

4．已知f(x)=e2x+e-2x，则f(x)的一个原函数是（ ） （A）e

2x

-e

-2x

（B）12x-2x2x-2x

12x-2x2(e-e)（C）2(e-e)（D）2

(e+e)

5．两个向量平行的充要条件是（ ）

（A）它们均不为零向量 （B）它们的分量对应不成比例 （C）它们的数量积为零 （D）它们的向量积为零向量 二、填空题（本大题共5个小题，每个3分，共15分）

x

2

6．lim

⎰0

(et-2)dt+x

π

x→0

x

3

=

7.⎰2-π=；2

8．f'(sin2x)=tan2x, (0

9．已知z=z(x,y)是由方程z3

-3xyz-1=0决定的隐函数，则dz10．交换积分次序

⎰

1

1

dx⎰x

2f(x,y)dy=三、计算下列各题（本大题共40分）

⎛22-111．求矩阵A= ⎫

1-24⎪

⎪的逆矩阵.(6分)

⎝582⎪⎭

12．求两直线x-1y-3z-4⎧2=-1=1与⎨x-y-z-1=0的夹角. (6⎩

x-y+z+1=0分) 13．求函数f(x)=(1+x)ln(1+x)关于x的幂级数展开式.(7分) 14．已知f(x)=x-2⎰

x

，求f(x).(7分)

f(t)dt15

．求由曲线yx+y=2及x轴围成区域绕x轴旋转所成立体体积(7分).

5

⎧2x+3y-5z=3

16．解线性方程⎪

⎨x-2y+z=0.（7分）

⎪⎩

3x+y+3z=7四、综合与证明题（本大题共30分）

17．在过点O(0,0)和点A(π,0)的曲线族y=asinx(a>0)中，求一条曲线L，使以点O为起点、沿曲线L、以A为终点的曲线积分I=

⎰

L

(1+y3)dx+(2x+y)dy有最小值，并求此最小值。（12分）

18．求函数f(x)=ln(-x2+x+2)的单调区间和极值.（10分） 19．求证：当x>

0时，有xln(x++1>.(8分)

答案:

1.B 2.D 3.C 4.B 5.D 6.

11

3 7.2

8.f(x)=-x-ln(1-x)+C ⎛ -2

2 39-1⎫9⎪9.dz=ydx+x

dy

10.⎰1zz

0dy0f(x,y)dx 11.A-1= -1-11⎪⎪

366⎪

11⎪⎪⎝

-139

9⎪⎭

12.cosθ=

∞

∞n+113.f(x)=∑(-1)n

xn+1+x∑(-1)nx∞

=x+11n=0∑(-1)n(-)xn+1,-1

n+1n14.f'=1-2f,解微分方程有f=

1

2

+Ce-2x. 15.V=π

⎰1

xdx+π2

0⎰1

(2-x)2

dx=56

π

16.x=107,y=1,z=47

17.

⎰

OA

=π,π-I=⎰⎰∂Q∂PD

(

∂x-∂y)dxdy=⎰⎰D(2-3y2)dxdy=4a-43

a3,

I=π-4a+48

3a3,I'=-4+4a2,a=1,I=π-3

18.定义域(-1,2)，f'(x)=0,x=

12,f(12)=2ln32,极大值，(-1,12] ,[1

2

,2) .

19.f(x)=xln(x++1-

f'(x)=

2

+ln(x+>0,x>0.

2008年专升本试题

一、选择题（本大题共5个小题，每个4分，共20分） ∑∞

2． 若级数

(2-un

)收敛，则极限lim(u

2)=（ ）；

n=1

n→∞

n

+（A）0 （B）2 （C）4 （D）不确定

2．已知lim⎛x2x→∞

-ax-b⎫

⎪=0，则( )； ⎝x+1⎭

（A）a=b=1 （B）a=-1,b=1 （C）a=1,b=-1 （D）a=b=-1

3．曲面z=4-x2

-y2

上点P处的切平面平行于2x+2y+z=1，则点P坐标是（ （A）(1,-1,2) （B）(1,1,2) （C）(-1,1,2) （D）(-1,-1,2)

4． f(x)=lim

1+x

n→∞1+x2n

，则f(x)（ ）；

（A）不存在间断点（B）间断点是x=1（C）间断点是x=0（D）间断点是x=-1

5．下列命题正确的是（ ）。

（A）绝对收敛的级数一定条件收敛；

（B）多元函数在某点的各偏导数都存在，则在此点一量连续； （C）f(x)在[a,b]上连续，则函数F(x)=

⎰

x

a

f(t)dt在[a,b]上一定可导；

6

；

（D）多元函数在某点的各偏导数都存在，则在此点一定可微。

二、填空题（本大题共6个小题，每个4分，共24分）

6．lim

sin(x2-9)

x→3x-3

= 7．曲线⎧⎨y=2et，则在点t=1处的切线方程是 ⎩

x=22t-1

。 8．已知函数z=e-xy+cosx，则dz=

9．lim

tanx-x

x→0x

3 10．微分方程y''-2y'-3y=0的通解

∞

11．级数

∑1

1)(2n+1)

的和是 。 n=1(2n-三、解答题（本大题有8个小题，共56分，要求写出较详细的解答步骤）

12

．求不定积分

x. (6分)

13．已知函数y=asinx+13

sin3x在点x=π

3

取极植，求a的值。并判断函数在点x=

π

3

取极在值还是极小

值. (8分)

14．计算

⎰

1

x-1

xe-dx，(8分)

15．D是长方形闭区域a≤x≤b,0≤y≤1，并且

⎰⎰

2D

yf(x)dσ=1 ，求⎰b

a

f(x)dx(6分).

16．已知方程ez+zxsiny=0确定函数z=z(x,y)，求

∂z∂x,∂z

∂y

.（6分） 17．求函数f(x,y)=x3

+y3

-3x2

-3y2

的极值。（8分）

18．设有界可积函数f(x)满足f(x)=

⎰

3x

f⎛0

t⎫

⎝3⎪⎭

dt+3x-3，求函数f(x).（8分） 19．f(x)在[a,+∞)上连续，且当x>a时，有f'(x)>k>0，其中k为常数.证明：若f(a)

f(x)=0在开区间⎛

f(a)⎫⎝a,a-k⎪⎭

内有且只有一个实根(6分)

2009年专升本试题

）

一、选择题（3*8=24分）

0时，secx-1 是x2

1．x→2

的（ ）

A．高阶无穷小； B.同阶但不等价无穷小; C.低阶无穷小; D.等价无穷小. 2. f(x)在区间(a,b)内各点的导数相等,则它们的函数值在区间(a,b)内( );

A.相等; B.不相等; C.相差一个常数; D.均为常数. 3.f(x)在(a,b)内有二阶导数,且f''(x)

A. 单调非增加; B.单调非递减; C.先增后减; D.上述A,B,C都不对. 4.设f(x)=x4-2x2+6,则f(0)是f(x)在(-2,2)上的( )

A.最大值; B.最小值; C.极大值; D.极小值. 5.设f(x)在[-l,l]上连续,则定积分⎰

l

-l

[f(x)-f(-x)]dx=( )

A.0; B.2

⎰

l

; C.2⎰0-l

f(x)dx-l

f(x)dx; D.不能确定.

6.方程x2

+y2

+z=2表示的二次曲面是( )

A.椭球面; B.抛物面; C.锥面; D.柱面 7.函数y=(x2+1)sinx是( )

A.奇函数; B.偶函数; C.有界函数; D.周期函数

∞

(-1)n-18.级数∑10-100n

必然( n=1

n+1 )

A.绝对收敛; B.条件收敛; C.发散; D.不能确定.

二、填空题（3*5=15分）

9.极限limx2-x-6

x→0x2-2x-3

∞∞

10.若级数

∑un条件收敛，则∑|un|必定

n=1

n=1

11.过点(3,-2,1)且与直线

x-8y5=+64=z+1

3

垂直的平面是12.求解微分方程y''+3y'+2y=x2e-x

时,其特解应假设为13.设函数f(x)=(x

2009

-1)g(x),其中g(x)连续且g(1)=1,则f'(1)为

三、计算下列各题(6*9=54分)

7

14.f(x)=x≥0

⎪,求定积分⎩

xe-x,x

15.已知z=ln(x2+y2+1),求dz.

16.求曲线x=etcost,y=etsint,z=3t在t=

π

4

处的切线.

x

17.计算lim

⎰x2

tant

x→0

1-cosx

.

18.计算二重积分

⎰⎰(y-x)dσ,其中D:y=2-x2

,y=2x-1围成的闭区域.

D

19.设L是顶点为(-

12,5

2

),(1,5),(2,1)的三角形正向边界.试求积分 ⎰L

(2x-y+4)dx+(3x+5y-6)dx的值.

∞

ncosnπ

20.讨论级数

∑

n

的收敛性,并指出是绝对收敛或是条件收敛? n=1

2

21.将

1

x2-3x+2

展开成x的幂级数.

22.求方程(x2+2xy)dx+xydy=0的通解.

四、证明题（1*7分）

23．设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，且f(a)=f(b)=0，但是在(a,b)上f(x)≠0.试证明:在(a,b)内至少存在一个点ξ,使

f'(ξ)

f(ξ)

=2009. 2010年专升本试题

一．选择题（第小题4分，共20分） 1

．函数z=

y-x)的定义域是（ ） A．y-x≠0,x>0. B. y-x>0,x>0.

C. y-x≠0,x≥0. D. y-x≠0,且y-x≠1,x>0. 2.下列计算正确的是( ) A.[f(1)]'=f'(1).

B.'=

11+x

.

C.limx+3x→∞x+sinx=lim1x→∞1+cosx.

D.⎰1-=0.

3.当x→0时,下列4个无穷小中比其它3个更高阶的无穷小是( ). A.ln(1+x). B.ex-1 . C.tanx-sinx. D.1-cosx.

4.已知直线⎧⎨x+3y+2z+1=0

与平面4x-2y+z⎩

2x-y-10z+3=0-2=0，则直线（ ）

A．与平面垂直。 B。与平面斜交。 C。与平面平行. D.在平面上.

5.

已知函数f(x)=x≠0,则x=0是f(x)的⎪( ) ⎩

0, x=0A.可去间断点. B. 跳跃间断点. C.无穷间断点. D.连续点. 二填空题(每小题4分,共24分)

⎛x+2

6.limx→∞ 2x+3⎫⎝2x+1⎪⎭

=( )

7.若函数y=y(x)由方程y=1-xey确定,则

dydx

=( )

x=0

y

8.函数z=ex

在点(1,2)的全微分dz=( ) 9.limx→1

⎛1

⎝

x-1-3⎫x3-1⎪⎭=( )

10.曲线y=x3

与x=-1,x=2,y=0所围图形的面积是( ) 11.若

⎰

1-x

2(y)

-1

dx⎰

1+x

f(x,y)dy+⎰10

dx⎰

f(x,y)dy=⎰1

dy⎰

x0

xf(x,y)dx,则

1(y)

(x1(y),x2(y))=( )

三计算题(共8个小题.共56分)

12.计算⎰sinx

cos3

x

dx(6分) 13.a,b为何值时,点(1,3)是y=ax4

+bx3

的拐点?并求此时曲线的凹凸区间.(8分) 14.已知f(x)=

⎰

x2

t2

1

e-dt,求⎰1

xf(x)dx.(8分)

8

2

15.计算

⎰⎰

xy

2dxdy,其中D:xy=1,y=x,x=2围成.(6分) D

16.已知f(u,v)存在连续的偏导数,且f(1,1)=1,fu'(1,1)=2,fv'(1,1)=3,函数z=xf(2x-y,3y-x)

,求∂z∂x,∂z

∂y

在点(1,1)的值.(6分) 17.判断级数

∑∞

2n的敛散性,并求极限lim⎛2n⎫

n=13n+1

n→∞

⎝3n+1+6⎪⎭.(8分) 18.求微分方程y'=

xy+y

x

满足初始条件为yx=-1=0的特解.(8分) 19.求证:当x>0时,1x+1

.(6分)

2011年专升本试题

一、选择题（每小题4分，共20分）

⎧

1.设f(x)=⎪⎨xsin1,x>0

在x=0连续，则（ ） ⎪x

⎩a+x,x≤0

A．a=1， B.a=0, C. a=2, D.以上结论都不对.

2.下列说法正确的是( ) A.如果lim

f(x)

x→a

g(x)

=1,则f(x),g(x)是x→a的等价无穷小; B.如果f(x),g(x)是x→a的等价无穷小,则lim

f(x)

x→a

g(x)

=1 ∞

C.如果limn→∞

un=0,则级数

∑u

n

一定收敛;

n=1

D.如果f(x)在x=0处的二阶导数存在,f''(0)=(f'(0))'. 3.直线l:

xy-52=5=z-63

与平面π:15x-9y+5z=-15的位置关系为( )

A.平行; B.垂直; C.直线在平面内; D.相交不垂直.

4.设y=f(x)在区间[0,1]上不恒为常数,且连续可导,若f(0)=f(1),则在开区间(0,1)内有( ) A.f'(x)恒为零; B.f'(x)>0; C. f'(x)

5.设函数f(x)可导,且满足条件lim

f(1)-f(1-x)

x→02x

=1,则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为( )

A.2 B. 1 C.1

2

. D.-2.

二、填空题（每小题4分，共24分）

6.微分方程y''-4y'+4y=0的通解为（ ）；

7.设函数y=

f(x)由方程⎧⎪⎨x=-∞

dx=（ ）； t=28.函数f(x)=(x2+3x-3)e-x在区间[-4,+∞)内的最小值为（ ）； 9.函数f(x)连续，且当x≥0时有⎰

x2-1

f(t)dt=1+x3，则f(3)=（ ）

； 10.广义积分

⎰+∞

dx

-∞1+x2的值为（ ）

； 11.由抛物线y=x2

与x=y2

所围成的图形绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为（ ）。

三、解答题（共8小题，共56分）

12.求定积分⎰

2

-2

(|x|+x)e|x|dx。（6分）

13.设z=

yf(x2-y2),f(u)可导，证明1∂zx∂x+1∂zy∂y=z

y2

（8分）

1⎛

1

⎫

x

14.已知f(x)=

(1+x)

x

⎪ ⎪，求limf(x)的值。（8分） ⎝

e⎪x→0+⎭

115.计算I=

⎰

2dx⎰2x

ey2

x

dy+1

dx⎰1

ey2

1dy的值。（6分）

2

x

16.计算

⎰

2-y)dx-(x-sin2y)dy的值，其中L:y=L(xO(0,0)到A(1,1)的一段。

（8分）9

∞

17.判断级数

∑ntanπ

n=2

2

n

的收敛性。（6分）

18.求微分方程

dy1

dx=

x+y

满足条件y|x=1=0的特解。（8分） 19.设f(x)在[a,+∞)内二阶可导，且f(a)>0,f'(a)a时，f''(x)

（6分）

2012年专升本试题

一、 选择题。（每小题4分，共20分）

1.

( )

A.1

B.3

C.2

D.

2．设函数是由参数方程所确定，则曲线在

处的法线与处的法线

与 轴交点的横坐标为（ ）

A. B. C. D.

3.设 L为圆周的顺时针方向，则为（ ）

A． B. C. D.

4.下列说法正确的是（ ）

A．若,则

在

取得极值 B.若在

可导且在取得极值，则；

C.若，则点为

的拐点；

D.若点为

的拐点，则

5.设幂级数

在

处收敛，在

处发散，则幂级数的收敛域为（ ）

A.[0,2) B.(-1,1) C.[1,3)

D.[-1,1)

二、填空题（每小题4分，共24分） 6.定积分

7.设函数 则 8.曲面在点（1,3,2）处的切平面方程为

9.设z是方程所确定的关于x与y的函数，则 10.已知的三个顶点分别为，则BC边上的高为11.一个横放的半径为R的圆柱形桶，里面盛有半桶液体（设液体的密度为1），桶的一个圆板端面所受的压力为 三、解答题 12.（6分）已知函数

连续，求极限

13.（8分）计算

14.（8分）求函数的极值。

15.（6分）若，求积分的值。

10

16.（8分）求积分的值，其中D为平面区域（要求画出积分区域）

17．（6分）判断级数的收敛性。

18.（8分）设具有一阶连续导数，

,且积分

与路径无关，求

19.（6分）设函数

是在[0,1]上可导，且

证明：在(0,1)内存在

,使