0.不等式的解法
21、不等式的解法
一、一元二次不等式的解法：一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间关系：
一元二次不等式ax
2
+bx +c >0(a >0) 或 ax 2+bx +c 0) 的求解原理：
练习一
1、关于x 的不等式ax -b >0的解集为(1, +∞) ，则关于x 的不等式(ax +b )(x -2) >0的解集为
答：(-∞, -1) (2, +∞)
2．解下列不等式：
（1）x -x -60；（4）-x +8x -3>0 3、不等式(x -≥0的解集是____ （答：{x |x ≥3｝）；
24、（1）若不等式x -ax -b
2
2
2
2
{}
（2）若不等式ax +bx +1>0的解集为{x |-1
5、（1）已知二次不等式ax +bx +c 2，
2
2
-bx +a >0的解集.
2
（2）已知f (x ) =x +2(a -2) x +4，如果对一切x ∈R ，f (x ) >0恒成立，求实数a 的取值范围；
解： ∆=4(a -2) -16
1
2
求关于x 的不等式cx
2
6、若不等式(a -2) x 2+2(a -2) x -4
.
x 2-2ax
2
2
8、若不等式
3
1x +1
>() 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是
3
答案:-＜a ＜
1232
2
⎧⎪-x +x (x ≥0)
9、已知函数f (x)＝ ｛ ，解不等式f(x)＋2>0 ⎨2
⎪⎩-x -x (x
x 2+2x +a
10．已知函数f(x)＝，x ∈[1, +∞)．
x
(1) 当a ＝时，求函数f(x)的最小值；(2) 若对任意x ∈[1, +∞)，f(x)＞0恒成立，
求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝时，f (x ) =x +
12
1
+2，易证f(x)在[1，＋∞) 上单调递增． 2x
12
∴当x ＝1时，[f(x)]min ＝f(1)＝
x 2+2x +a 22
(2)由f(x)＞0得>0， ∵x ∈[1，＋∞) ， ∴x ＋2x ＋a ＞0， ∴a ＞－(x＋2x) ，
x
72
令t ＝－(x＋2x) ，x ∈[1，＋∞) ，则t ＝－(x＋2x) ＝1－(x＋1) ∴当x ＝1时，t max ＝1－(1＋1) ＝－3，∴a ＞－3
二、简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：
（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； （3）根据曲线显现练习二
1、解不等式(x-1)(x+1)(x-3)＜0 2、解不等式(x -1)(x +2)
2
2
222
f (x ) 的符号变化规律，写出不等式的解集。
； ≥0。 （答：{x |x ≥1或x =-2}）
3、设函数f (x ) 、g (x ) 的定义域都是R ，且f (x ) ≥0的解集为{x |1≤x
2
三、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因
式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
练习三：
1、解不等式（1）分式不等式x -3
x +7
5-x
x 2-2x -3
2、解不等式
x (x +1)(x -2)
≥0．
(x +2)(x -1)
解：原不等式可化为⎨
⎧x (x +1)(x -2)(x +2)(x -1) ≥0
⇒-2
⎩(x +2)(x -1) ≠0
(x +1) 2(2-x )
3、不等式≥0的解集为 答案：(-∞, -4) (0,2] or x =-1．
x (4+x )
x 2-x -6
＞0的解集为 答案： {x -2＜x ＜1，或x ＞3} 4、（10全国卷）不等式
x -1
四、绝对值不等式的解法：
1、利用基本绝对值不等式求解：x 0) 的解集是{x -a
x >a (a >0) 的解集是{x x >a 或x 0}
2、分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如：解不等式|2-
31
x |≥2-|x +|（答：x ∈R ）； 42
3、利用绝对值的定义；
4、数形结合；如：解不等式|x |+|x -1|>3（答：(-∞, -1) (2,+∞) ）
5、两边平方：如：若不等式|3x +2|≥|2x +a |对x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为 。 （答：{
4}） 3
练习四：
x -2x -2
>x x 的解集是 答案： (0，2) 1、（10江西）不等式
x -2
2. 求使y=
-x 2x +1-4
有意义的取值范围.
3、解不等式|4x -3|>2x +1.
4、解不等式：| x－3x －4|> x＋1 答案：{x｜x
3
2
6、已知不等式ax －3x ＋2>0的解集为{x |x b }．
x －c
(1) 求a ，b ； (2) 解不等式>0(c 为常数) ．
ax －b
2
⎧b a 解： (1) 由题知1，b 为方程ax －3x ＋2＝0的两个根，即⎨3
1＋b ⎩a
2
2
⎧⎪a ＝1，
解得⎨
⎪b ＝2. ⎩
(2) 不等式等价于(x －c )(x －2)>0，当c >2时，解集为{x |x >c ，或x 2，或x
7．若不等式(m ＋1) x 2－(m ＋1) x ＋3(m －1)
解：当m ＋1＝0，即m ＝－1时，不等式变为－6
⎧⎪m ＋1
由题意知⎨解不等式组得m
⎪Δ＝(m ＋1)－12(m ＋1)(m －1)
答案：(－∞，－1]
⎧－2x x ＋1x >0，
8、已知f (x ) ＝⎨1
⎩x x
则f (x )>－1的解集为________．
－2x ＋11
解：依题意，若－1，则x >0，且x ≠1－1，则x
综上所述，x ∈(－∞，－1) ∪(0,1)∪(1，＋∞) ． 答案：(－∞，－1) ∪(0,1)∪(1，＋∞)
9、设f (x ) =x -2ax +2, 当x ∈[-1, ∞) 时, f (x ) ≥a 恒成立, 求实数a 的取值范围. 解： 当x ∈[-1, ∞) 时, f (x ) ≥a 恒成立, ∴只要f (x ) 的最小值大于等于a 即可,
2
f (x ) =(x -a ) 2+2-a 2
(1) 当x =a ∈[-1, ∞) 时, f (a ) min =2-a ≥a ⇒-2≤a ≤1
(2) 当x =a ∈(- ∞, -1) 时, f (-1) min =(-1-a ) +2-a ≥a ⇒-3≤a
2
2
2
4