09-2012-集对分析法在水质评价中的应用

以模糊数学思想改进的集对分析法在水质评价中的应用

寇文杰 赵立新 黄昱琪

(北京市水文地质工程地质大队 100195)

摘要：本文将近年来应用较为广泛的集对分析理论与模糊数学综合评判法进行对比分析，取各自优点，通过模糊数学综合评判法的复合运算思想的启示，参照内梅罗指数法的优缺点，改进集对分析法中的运算方式，并结合五元联系数态势表，既能更为准确的评价水质级别，又能区分同一级别的水质优劣状况，是对水质评价工作的改进和创新。改进后的集对分析法在进行水质评价时，思路清晰，结论可靠，所得的结论中内容信息丰富。 关键字： 集对分析 模糊数学 复合运算 内梅罗指数 五元联系数 中图分类号：X824

With fuzzy mathematics thought improved sets on the application method in water quality evaluation

KOU Wen-jie ZHAO Li-xin Huang Yu-Qi

(Beijing hydrological geology engineering geology battalion 100195)

abstract：In this paper application of nearly years a wide range of set pair analysis theory and fuzzy mathematics comprehensive evaluation method for the analysis, take their respective advantages, through the fuzzy mathematic comprehensive evaluation method compound operation of enlightenment thoughts, and referring to the nemerow index and the advantages and disadvantages of the method, improvement of analytic operations to set way with five yuan connection number situation table, which can be a more accurate assessment of water quality level, and can distinguish between the same level of water quality conditions, is of the evaluation work of water quality improvement and innovation. The improved set to assess the water quality analysis in, clear thinking, conclusion, reliable, and that the results of the content of abundant information.

Keywords： Set pair analysis Fuzzy mathematics Compound operation Nemero index Adaption of Five -Element

1 引言

水质评价是一个多因素，多水平耦合作用的复杂系统[1]。水质评价的方法较多，目前用于水质综合评价的方法有内梅罗指数法，模糊数学综合评判法，灰色聚类评价法和人工神经网络评价法等，但这些方法都有其各自的局限性。内梅罗指数法过分强调了极值作用的影响。模糊数学综合评判法和灰色聚类法无法区分水质级别区间评价值的变化特征，人工神经网络由于对评价对象的要求较为苛刻从而降低了泛化能力和水质评价结果的可靠性。基于此，笔者将近年来应用较为广泛的集对分析理论与模糊数学综合评判法的异同进行分析，并取各自的优点，运用模糊数学复合运算的思想改进集对分析法，一方面使水质评价更接近水质的真实状况。

2 集对分析理论

集对分析（Set Pair analysis）是由我国学者赵克勤在1989年首次提出的，将确定性分析和不确定性分析相结合 [1-5]。其基本思想是被研究的客观事物之间的确定性联系与不确定性联系作为一个确定不确定的系统进行分析。集对分析就是在一定的问题背景下,对所论集对的特性展开同异反分析,并加以度量、刻画, 得到集对分析的同异反联系数表达式,利用联系数及其运算深入展开有关问题的研究。集对的不确定性关系用联系度表达式来描述：

UA-B=

SFP +i+j （1）NNN

式中：N 为集合特性的总项数；S为同一性的个数； P 为对立性的个数； F 为差异性的个数；i为差异度系数，在 ( - 1 , 1)区间取值,有时仅起差异标记作用；j为对立度系数， 一般 j=-1，有时仅起对立标记作用。若令 a = S / N 为同一度, b =F / N 为差异度, c = P / N 为对立度,则上式可改写为：

UA-B=a+bi+cj （2）

a+b+c=1

随着人们对集对分析理论中联系数认识的深化，将式子（2）中差异度bi改写成为b1i1 + b2i2+ „+ bnin从而得到具有层次结构的函数，覃杰等[6]将同异反联系数推广到四元联系数、五元联系数，进而推广到多元联系数，当 n〉=2 时的联系数为多元联系数；多元联系数已在各学科领域得到广泛应用[7-8]，四元联系度已在医学、农业、教育、环境科学等领域得到初步应用[9]，当 n= 3 时得五元联系数，五元联系度在水质评价中的应用日趋广泛[8,10,11]。五元联系书的通用表达式为：

u=a+bi+cj+dk+el （3）

一般地,称五元联系数中的a，b，c，d，e称为联系分量,且具有优序性，a∈[0,1]、b∈[0,1]、c∈[0,1]、d∈[0,1]、e∈[0,1] 。联系分量 e 的系数l= - 1；联系分量b、c、d的系数按照等分法将[- 1,1] 区间均分为3个子区间, 即i∈(0.333,1]、j∈[ - 0.333,0.333]，k∈[ - 1,-0.333),当不需考虑联系分量系数i、j、k、l的取值时,它们仅作为标记使用；当需要考虑这四者的取值时，它们对a既有增益作用，又有衰减作用。充分体现了联系数与各联系分量之间的对立统一关系[12-15]。

2.1 集对分析在水质评价中联系数的确定

为了精确区分评价指标浓度与评价等级标准之间的数量关系，使得即使处于同一等级的水质也会因评价指标浓度的不同区分水质的好坏，因此可确定不同指标的的联系度，公式如下[11]：

ump

⎧1+0i+0j+0k+0l

⎪⎪

⎪S2-xx-S1

⎪S-S+S-Si+0j+0k+0l 21⎪21⎪S3-xx-S2

i+j+0k+0l⎪0+

S3-S2⎪S3-S2

=⎨ （4）⎪0+0i+S4-xj+x-S3k+0l⎪S4-S3S4-S3⎪

⎪0+0i+0j+S5-xk+S5-xl⎪S5-S4S5-S4⎪

⎪0+0i+0j+0k+1l⎪⎩

式中，S1，S2，S3，S4，S5分别为不同评价指标的标准限值；x为各评价指标的实测值；m为第m个评价样本，p为第p个

评价指标。

2.2 权重的确定

集对分析应用于水质评价中，有些学者并不考虑权重的概念[2,3,5]，有些学者因不同指标对地下水的影响程度不同，相应有不同的侧重，因此引入权重模糊矩阵[11] ，对每个参与评估的指标赋予不同的权重：

wi=xi/

15

∑Sij5j=1

w（i=1，2，3，n，j=1，25）（5）qi=i∑wi

i=1

（i=1，2，3，n） （6）

wi—第i个评价因子的权重。

qi—第i个评价因子的归一化权重。

根据不同的权重值组成评价指标的权重矩阵A。

qn] （7）

Q=[q1,q2,q3,q4,

2.3 运算方式

对于不计算权重的，由式(3)的计算结果，分别取其平均值，得到评价样本(m) 的平均联系度(

m)，具体计算公式如下[16]：

m=

1n ump （8）∑np=1

对于取权重值的集对分析在水质评价中的计算方法是：将式（3）的各系数提取，组成五元联系数的系数矩阵R，矩阵如下：

⎡a1⎢a⎢2R=⎢

⎢⎢a(p-1)⎢an⎣

b1b2b(p-1)bp

c1c2c(p-1)cp

d1d2d(p-1)dp

e1

⎤e2⎥计算联系数矩阵U： ⎥

⎥ （9）⎥e(p-1)⎥en⎥⎦

U=WR （10）

2.4 水质质量评价

根据地下水质量标准（GB/T 14848-93）确定评估对象结果组成的集合，表示为：

V=[V1,V2, ,V5] （11）

其中Vj（j=1，2，„„，5）为评价的第j个评价等级。 将式（7）或式（9）计算的结果参照评价集V得出水质等级。

同时，根据式（7）或式（9）计算的结果查五元联系数态势表[8]区分同一评价级别水质的优良程度。

3 模糊数学综合评判法

模糊数学综合评判法[17-24]是利用模糊变换和最大隶属度原则，考虑被评价事物相关的各个因素或主要因素，对其所做的综合评价[19]。模糊数学综合评判法应用在地下水综合评价上，一般归纳以下几个步骤：（1）建立因子集；（2）建立评价集；（3）建立模糊关系矩阵；（4）建立权重矩阵；（5）构造模糊数学评判数学模型，确定算法；

3.1 建立因子集

因子集是影响评估对象的各个因子所组成的集合，表示为：U={u1、u2，„„，un}，其中ui（i=1，2，„„，n）为影响评价的第i个因子。对于水质来说，就是参与评价的第i个指标。

3.2 建立评价集

评价集是由评估对象作出评估结果所组成的集合，可表示为：V={V1、V2，„„，Vm}其中Vj（j=1，2，„„，m）为评价的第j个评价等级。对于水质来说，就是评价结果为j个等级，按照地下水质量标准（GB/T 14848-93）(以下简称“地下水质量标准”),取m=5。

3.3 建立模糊关系矩阵[20,21]

应用模糊数学的基本概念，确定每一个因子ui对评价集V的隶属程度，以rij（j=1，2，„„，m）表示，按照地下水质量标准，则对应的指标i的5个等级的模糊关系表达式可以写成如下形式[17]：

①当ui属于第1等级的隶属程度用以下模糊关系表达式：

⎧1……………………………ui≤Si1

⎪

⎪S-u

ri1=⎨i2i………………Si1

⎪Si2-Si1⎪⎩0……………………………ui≥Si2

（12）

②当ui属于第2、3、4等级的隶属程度用以下模糊关系表达式：

⎧ui-Si（j-1）

……………………Si(j-1)

S-Siji（j-1）⎪ ⎪⎪Si（j+1）-uirij=⎨…………Sij

S-S⎪i（j+1）ij

⎪0…………………u≤S或ui≥Si（j+1）ii（j-1）⎪⎪⎩

③当ui属于第5等级的隶属程度用以下模糊关系表达式：

⎧0……………………………ui≤Si4⎪

⎪S-u

ri5=⎨i4i………………Si4

⎪Si4-Si5⎪⎩1……………………………ui>Si5

（14）

上述几个式子中的Si1、Si4、Si5、Sij分别为评价因子i的第1个、第4个、第5个和第j个评价等级的标准。ui的评价结果

Ri={ri1、ri2，ri3，ri4，ri5}，称为单因子评价集，将所有单因子评价集组成的矩阵R称为模糊关系矩阵。

⎡r11⎢r⎢21R=⎢

⎢⎢r(n-1)1⎢rn1⎣

r12r22r(n-1)2rn2

r13r23r(n-1)3rn3

r14r24r(n-1)4rn4

r15

⎤r25⎥⎥

⎥⎥r(n-1)5⎥rn5⎥⎦

(14)

3.4 建立权重矩阵[18]

因子集中每个因子对评价结果的影响程度不同，相应有不同的侧重，因此需要对每个参与评估的因子赋予不同的权重，组成评价因子的权数重阵A：

A=[a1a2

15

wi=ui/∑Sij

5j=1

ai

an]

（15）

指标权重的赋值方法如下：

w（i=1，2，3，n，j=1，25）（16）ai=ni

∑wi

i=1

（i=1，2，3，n）（17）

wi—第i个评价因子的权重。

ai—第i个评价因子的归一化权重。

3.5 构造模糊函数

将权重矩阵和模糊关系矩阵建立相应的运算关系，即可得到评价对象属于各评价等级程度的矩阵B，公式如下：

B=A⊗R=⎡⎣b1

式中：

b2

bj⎤⎦

（18）

B—综合评判结果；

⊗—模糊运算符号。

3.5.1 相乘取大[19]

利用相乘取大进行复合运算，即矩阵A的元素分别与矩阵R的各列中对应的元素首先相乘然后取其最大值的办法得出结果。 相乘取大：既考虑了隶属度和权重值对评价结果的共同作用又突出了极值的作用。 3.5.2 相乘相加[19]

利用相乘相加合运算，即矩阵A的元素分别与矩阵R的各列中对应的元素首先相乘然后然后求和的办法得出结果。 相乘相加：既考虑了隶属度和权重对评价结果的共同作用同时又充分利用了所有信息，但对评价指标较多的时候，削弱了极值的作用。

3.5.3 取小取大[19]

利用相乘取大进行复合运算，即矩阵A的元素分别与矩阵R的各列中对应的元素首先取小，然后取其最大值的办法得出结果。

取小取大：首先去除了与隶属度和权重指标中的重复因素，（因隶属度和权重的确定均考虑了指标浓度，经过运算会产生重复。先取小去除了隶属度与权重的重复考虑），突出了极值的作用。

3.5.4 取小相加[19]

利用相乘取大进行复合运算，即矩阵A的元素分别与矩阵R的各列中对应的元素首先取小，然后求和得出结果。

取小相加：首先去除了与隶属度和权重指标中的重复因素，然后用叠加法预算容易掩盖最大污染指标对地下水的影响作用，尤其是当某些指标浓度特别大时，没有得到应用的强调，造成综合评价结果不合理。

4 集对分析与模糊数学综合评判法在水质评价中的异同点

根据前述集对分析理论及模糊数学综合评判法的论述，两种方法应用在水质评价中的基本思路是一致的，即根据选取的评价指标（评价因子），首先确定各评价指标的联系度或隶属度，再确定各评价指标的权重，然后通过相应的运算方式计算结果，与事先选定的评价集相对照，得出水质的评价结果，对于集对分析法还可以利用五元联系数态势表[8]区分同一评价级别水质的优

良程度。

对比式（4）与式（12）、式（13）、式（14）有：集对分析的确定的联系度系数组成的联系度矩阵与模糊数学综合评判法确定的隶属度矩阵，实质是一致的。从权重取值看，集对分析法中权重的确定方法（式（5）、式（6））与模糊数学综合评判法中最常用的确定的权重（式（17）、式（18））完全一致。从运算方法来看，集对分析的运算方法即为一般的矩阵乘积，等同于模糊数学综合评判法中的相乘相加复合运算方式。其他不同点在于集对分析法还可以利用五元联系数态势表[8]区分同一评价级别水质的优良程度。

笔者通过对比集对分析与模糊数学综合评判法的异同，通过模糊数学综合评判法获得启示，并参照内梅罗指数评价法的优缺点[26-31],对集对分析在水质评价中加以改进，使其更能反映水质的真实状况。在原有集对分析方法的基础上，只改进运算方法。笔者综合考虑各模糊数学方法中各种复合运算方法的优劣，提出了一种新的复合运算方法——几何平均法，即能保证有用信息不丢失，又能保证不重复考虑指标浓度的影响，同时综合考虑评价指标中极值的影响，也考虑了其他指标对评价结果的综合影响，笔者将其定义为几何平均法，即第一步首先利用权重Q的元素分别与联系度矩阵R的各列中对应的因子进行相乘运算后开平方，第二步选取第一步计算结果中计算结果最大的5项指标做相应的几何运算，运算方程如下：

B=A⊗R=[

q

1

qi

⎡a1

⎢⎢qn]⊗⎢ai

⎢⎢

⎢⎣an

b1bibn

c1c

icn

d1didn

e1⎤

⎥⎢⎥ei⎥⇒B=

⎥⎥⎢⎥en⎦

（19）

⎤

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥⇒B=

式中：

F1max=max

F2max=max

F3max=max

F

4max=max

F

5max=max

1

5项的平均值；

2

5项的平均值；

3545项的平均值；

55项的平均值；

然后将计算的结果与评判矩阵做比较，得出最后的评价结果。对于评价级别相同的水质，可根据式（20）

计算的结果，对比五元联系数态势表[8]区分同一评价级别水质的优良程度。

ab=cde（20）

5 实例应用 5.1 水质评价

为了对比改进前后的集对分析方法，笔者选取某地区6眼监测井的20项测试指标进行评价，参照地下水质量标准（GB/T 14848-93），对地下水进行质量评价，修正前后的集对分析法评价结果见表1。

表1 地下水质量评价结果表

Table.1. Groundwater quality evaluation results

地下水质量标准（GB/T 14848-93）

评价指标

Ⅰ

总硬度 硫酸盐 氯化物 CODmn NH4-N NO2-N NO3-N 氟化物 TDS 细菌总数

汞 锰 锌 砷 硒 镉 六价铬 钡 硼 镍

≤150 ≤50 ≤50 ≤1 ≤0.02 ≤0.001 ≤2 ≤1 ≤300 ≤100 ≤0.05 ≤0.05 ≤0.05 ≤5 ≤10 ≤0.1 ≤0.005 ≤10 ≤0.1 ≤5

Ⅱ ≤300 ≤150 ≤150 ≤2 ≤0.02 ≤0.01 ≤5 ≤1 ≤500 ≤100 ≤0.5 ≤0.05 ≤0.5 ≤10 ≤10 ≤1 ≤0.01 ≤100 ≤0.1 ≤50

Ⅲ ≤450 ≤250 ≤250 ≤3 ≤0.2 ≤0.02 ≤20 ≤1 ≤1000 ≤100 ≤1 ≤0.1 ≤1 ≤50 ≤10 ≤10 ≤0.05 ≤1000 ≤0.5 ≤50

Ⅳ ≤550 ≤350 ≤350 ≤10 ≤0.5 ≤0.1 ≤30 ≤2 ≤2000 ≤1000 ≤1 ≤1 ≤5 ≤50 ≤100 ≤10 ≤0.1 ≤4000 ≤2 ≤100

Ⅴ >550 >350 >350 >10 >0.5 >0.1 >30 >2 >2000 >1000 >1 >1 >5 >50 >100 >10 >0.1 >4000 >2 >100 a b

联系度系数

修正前的集对分析法

d e

评价等级

a b

联系度系数

修正后集对分析法

d e

评价等级

0.179 0.429 Ⅴ

0.101 0.466 Ⅴ

0.305 0.332 Ⅴ

0.302 0.271 Ⅳ

0.314 0.275 Ⅳ

0.160 0.000 Ⅲ

c

0.205 0.230 Ⅲ 0.095 0.118 0.180

0.017 0.504 Ⅴ 0.091 0.152 0.190

0.223 0.207 Ⅳ 0.087 0.126 0.150

0.045 0.405 Ⅴ 0.054 0.136 0.237

0.231 0.182 Ⅲ 0.050 0.141 0.220

0.057 0.000 Ⅲ 0.140 0.244 0.455

c

1# 794 309 131 0.95 0 0 25.6 0.62 1150 6 0.4 0 0.09 1 0.9 0 0 300 0.161 39 0.129 0.192 0.244

2# 733 203 141 0.85 0.03 0.002 38 0.52 1140 2 0.3 0.01 0.09 1.3 1.4 0 0 459 0.044 38 0.146 0.167 0.166

3# 708 156 105 1.24 0.07 0.005 30 0.63 1030 1 0.3 0.3 0.14 0.8 1.8 0 0 447 0.014 28 0.168 0.214 0.188

4# 627 143 247 1.92 0.07 0.001 32.4 0.35 1330 3 0 0 0 0 1 1.7 0.005 803 0.268 9 0.071 0.199 0.280

5# 636 248 153 1.01 0.04 0.001 29.6 0.35 1330 0 0.7 0.02 0 0 0 1.9 0 326 0.258 7 0.071 0.228 0.288

6# 481 185 82.5 0.88 0 0.003 17.7 0.45 947 2 0.8 0.03 0 0 0.9 1.1 0 999 0.052 0 0.137 0.224 0.582

采样点

注：为了区分地下水Ⅳ类和Ⅴ类，使水质指标联系度具有连续性，定义Si5=2Si4-Si3代替地下水指标标准中的Si5。

5.2 评价结果分析

通过水质评价结果有：修正前后的集对分析法对样品的评价有4眼评价等级不同，2眼相同，其中1#、3#、4#、5#井分别超标4，4，3，3项，且超标倍数相近，修正前的水质评价结果分别为Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅲ，水质评价等级相差2个级别，而修正后的水质评价结果分别为Ⅴ、Ⅴ、Ⅳ、Ⅳ，水质评价等级相差1个级别，从水质化验数据和超标情况来看，修正后的水质评价结果更符合真实情况。

对于水质级别相同的1#、2#、3#，查五元联系数态势表[8]有：1#、2#均为反式175，e小e小优于e大，故1#水质优于2#水质，3#为反势181，水质劣于1#和2#；对于水质级别相同的4#、5#，查五元联系数态势表[8]有：4#、5#均为反势179，e小优于e大，4#水质优于5#，因此得到6眼监测井的水质优劣排序为：6#>4#>5#>1#>2#>3#。

6 结论

本文综合分析了集对分析和模糊数学综合评判法在水质评价中的异同点，以模糊数学综合运算法的复合运算方法为启示，并结合内梅罗指数法的优缺点，改进了原有的集对分析法，并结合五元联系数态势表，既能更为准确的评价水质级别，又能区分同一级别的水质优劣状况，是对水质评价工作的改进和创新。改进后的集对分析法在进行水质评价时，思路清晰，结论可靠，所得的结论中内容信息丰富。

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