北师大版初二上数学实数的计算1
实数计算
【引 入】
古希腊的毕达哥拉斯学派认为，宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比．但是该学派的成员希伯索斯发现边长为1的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示的，这严重地冲击了当时希腊人的传统见解，这一事件在数学史上称为第一次数学危机．希伯索斯的发现没有被毕达哥拉斯学派的信徒所接受，相传毕氏学派就因这一发现而把希伯索斯投入海中处死．
【知识要点】
1． 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926
=1.414213 ，
1.010010001…，都是无理数。
对无理数概念的理解主要抓住以下几点：
①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；
②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后者都可以化成分数；
等。 2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧正有理数⎫⎪⎪⎪有理数零⎨⎬有限小数或无限循环小数⎪⎪⎪负有理数⎪
实数⎨ ⎩⎭
⎪
⎪无理数⎧正无理数⎫无限不循环小数
⎨⎬⎪负无理数⎩⎭⎩
3．实数的计算：
式子a (a ≥0) 叫二次根式. 二次根式的运算以下列运算法则为基础． （1）a c ±b c =(a +b ) c (c ≥0) （2）a ⋅b = （3
ab (a ≥0, b ≥0)
=a ≥0, b >0) （4）
a )
n
=a n (a ≥0)
【典型例题】
⋅⋅
2
例1 在实数3.14，，3.3333
0.412，0.[1**********]110
…，π，5
数，哪些是无理数？
例2 下列说法中，正确的是（ ）
A ．带根号的数是无理数 B ．无理数都是开不尽方的数 C ．无限小数都是无理数 D ．无限不循环小数是无理数
例3 计算: 2
①2
②
22
④
⑤ ⎝-⎭
例4 二次根式的加减法
（1）⎛ 21⎫⎛8⎫ 43-105⎪⎪- ⎭ ⎝3-⎪⎪ ⎝⎭
（3）81a 3
-5a a +3a 4a 5
③(2 2）
1327a 3-a 23a +3a a 3-a
4
a 4）⎛ 3 14-31⎫⎪-⎛ 12⎫⎪ ⎝22⎪⎭ 8-3⎝43⎪⎭
（ （
（5）
35⎛13⎫
⎪ +- 2. 4-3 53⎝24⎪⎭
（6）a
⎛a 11⎫
⎪ +4b - -b a b ⎪⎝2⎭
例5 （1）已知a +1=2，b +3=1，求a+b的最小值。
（2
）若x -1+
例6 设梯形上底为a ，下底长为b ，高为h ，面积为s 。 （1
）a =
b =
，h =
（3
）a =
，b =
，h =s ；
2
=0，求x 2001+y 2002的值。
s ； （2
）a =
b =
，h =s ；
课堂练习
1． 小数，叫做无理数。 2
．大于 。
3
．1 ，绝对值是 ，倒数是 。 4
，理数的个数有（ ）
A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 5．下列命题中，正确的个数是（ ）
①两个有理数的和是有理数； ②两个无理数的和是无理数； ③两个无理数的积是无理数； ④无理数乘以有理数是无理数； ⑤无理数除以有理数是无理数； ⑥有理数除以无理数是无理数。 A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个
33
6
b -1=0，则-a +b = 。
(2
，1.23，
⋅
9π
，，0.232232223…（两个3之间依次多一个2）中无133
7．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
①带根号的数是无理数；（ ）
（ ） ③绝对值最小的实数是0；（ ） ④平方等于3
（ ）
⑤有理数、无理数统称为实数；（ ） ⑥1的平方根与1的立方根相等；（ ）
⑦无理数与有理数的和为无理数；（ ）
⑧无理数中没有最小的数，也没有最大的数。（ ） 8．计算下列各题：
⎛⎛⎛（1
） - （2
） - ⎝⎝⎝
（3
）
（5
（7
）
⎛-； （4
） ； ⎝ （6
）+ （8
⎛⎛（9）
； （10）
- ⎝⎝
；
课后作业
1．
1π22，，3.1416，0.5
中，有理数的个数是（ ） 327
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．a
）
A ．有理数 B ．正无理数 C ．正实数 D ．正有理数 3．下列四个命题中，正确的是（ ）
A ．倒数等于本身的数只有1 B ．绝对值等于本身的数只有0 C ．相反数等于本身的数只有0 D ．算术平方根等于本身的数只有1 4．下列说法不正确的是（ ）
A ．有限小数和无限循环小数都能化成分数 B ．整数可以看成是分母为1的分数 C ．有理数都可以化为分数 D ．无理数是开方开不尽的数
2
5．代数式a +
1y ，(a -1)中一定是正数的有（ ）
2
A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．－3的负倒数是（ ） A ．3 B ．－3 C ．
11 D ．- 33
7．已知a 为有理数，b 为无理数，则a+b为（ ） A ．整数 B ．分数 C ．有理数 D ．无理数 8．一个数是它的倒数的4倍，则这个数是（ ） A ．4 B ．±4 C ．2 D ．±2
9．一个正数扩大到原来的9倍，则它的算术平方根扩大到原来的 。
y
10
互为相反数，求x 和(xy )的值
-1
11．若(x -2003) ++y =0，则x -10(2-y ) +3y = 。 思考题：已知实数a 满足-a +
22
a -1993=a ，那么a -19922的值是（ ）
（A ）1991 （B ）1992 （C ）1993 （D ）1994
12计算：
（1
）； （2）
；
（3）
； （4