整理的近几年的概率论试题及答案[1]
2006~2007学年第1学期期末考试《概率论和数理统计》试
卷(A )
一、填空题(本大题共有5小题,每题3分,满分15分)
(1) 设A 、B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则必有
(2) 某人花钱买了A 、B 、C 三种不同的奖券各一张. 已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为p (A ) =0. 03, P (B ) =0. 01, p (C ) =0. 02, 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱, 则此人赚钱的概率约为 (A) 0.05 (B) 0.06
(A)P (B A ) >0
(B) P (B ) =P (A ) (D) P (AB ) =P (A ) P (B )
(C) P (B ) =0
(C) 0.07 (D) 0.08
(3)X ~N (μ, 42), Y ~N (μ, 52), p 1=P {X ≤
(A) 对任意实数μ, p 1=p 2
μ-4},p 2=P {Y ≥μ+5},则
(B) 对任意实数μ, p 1
p 2
(C) 只对μ的个别值,才有p 1=p 2
(4) 设随机变量X 的密度函数为f (x ) ,且f (-x ) =f (x ), F (x ) 是X 的分布函数, 则对任意实数a 成立的是
(A) F (-a ) =1-
⎰
a
f (x ) dx
(B) F (-a ) =
1a
-f (x ) dx 2⎰0
(C) F (-a ) =F (a ) (D) F (-a ) =2F (a ) -1
(5) 二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则X+Y与X-Y 不相关的充要条件为
(A) EX =EY (C) EX
2
(B) EX -[EX ]=EY -[EY ] (D) EX +[EX ]=EY +[EY ]
2
2
2
2
2222
=EY 2
二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)
(1) P (A ) =0. 4, P (B ) =0. 3, P (A ⋃B ) =0. 4, 则P (A ) =___________.
⎧4x 3, 0a ) =P (X
其它⎩0
的常数a =
(3) 设随机变量X ~N (2, σ2) ,若P {0
(4) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 均服从N (1, ) ,如果随机变量X-aY+2满足条件
15
D (X -aY +2) =E [(X -aY +2) 2],则a =__________.
(5) 已知X ~B (n , p ) , 且E (X ) =8, D (X ) =4. 8, 则n =__________.
三、解答题 (共65分)
1. (10分) 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求:(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品, 此次品是甲车间生产的概率是多少?
2. (10分) 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f (x , y ) =⎨
⎧k (6-x -y ), 0
0 , 其它⎩
求:(1) 常数k (2) P (X +Y ≤4)
3. (10分) 设X 与Y 两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
⎧e -y , y >0; ⎧1, 0≤x ≤1;
f X (x ) =⎨ f Y (y ) =⎨
y ≤0. 其它. ⎩0, ⎩0,
求:随机变量Z =X +Y 的概率密度函数.
4. (8分) 设随机变量X 具有概率密度函数
f X (x ) =⎨
⎧x , ⎩0,
0
求:随机变量Y =e X -1的概率密度函数.
5. (8分) 设随机变量X 的概率密度为:
f (x ) =
1-x e 2
-∞
求:X 的分布函数.
6. (9分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障可获利润5万元;发生二次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,求一周内期望利润是多少?
7. (10分) 设X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1) ,且相互独立U =X +Y +1, V =X -Y +1, 求:(1) 分别求U,V 的概率密度函数; (2) U,V的相关系数ρUV ;
2005~2006学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试
卷(A )标准答案和评分标准
一、选择题(6×3分)
二、填空题(9×3分):
-12511 2 3 4、f (x ) =e
33726(x -2) 2
24
5 6、
1111n
7、 8、2 9、lim P {|∑X i -a |
n →∞2λλn i =1
三、 计 算 题(3×6分+4×7分+1×9分)
1、解:B ={能发芽} A i ={取的是第i 等品}i =1, 2, 3, , 4易见A 1, A 2, A 3, A 4是Ω的一个划分------------------2分 P (A 1) =0. 94, P (A 2) =0. 03,P (A 3) =0. 02, P (A 4) =0. 01
P (B |A 1) =0. 98, P (B |A 2) =0. 95,P (B |A 3) =0. 9, P (B |A 4) =0. 85-------------------------4分 由
全
概
率
公
式
,
得
P (B ) =∑P (A i ) P (B |A i ) =0. 9754
i =1
4
--------------------------------------6分
2、解:由题意知:离散型随机变量X 的可能取值是:-1,1,3,---------------------------------2分
因为离散型随机变量的分布函数-----------------------------------------------4分
F (x ) =∑p i
x i
, 得
3⎫⎛-11
X ~ 0. 40. 30. 3⎪⎪----------------------------------------------------------------6分
⎝⎭
3、解:(1)F (x ) = 当
⎰
x
-∞
f (t ) dt
x
当
1x t 1t
e dt =e -------------------------------------------------------------------2分 2⎰-∞2
----------------------------------------------------4
x 101
x ≥0, F (x ) =[⎰e t dt +⎰e -t dt =1-e -t
02-∞2
分
(2) P (-10
4. 解:(1) 1=分
1-151-10
e -e ------------------------------------622
A
∴A =3 (见图(1))----------------------23
⎰⎰
+∞+∞
-∞-∞
f (x , y ) dxdy =⎰
1
00
⎰
x
Axdxdy =
图(1) 图(2) (2)
x 1114P (X
1
(见图(2))
-----------------------------------------------5分 (3) E (X -Y ) =分
⎰⎰
+∞+∞
-∞-∞
(x -y ) f (x , y ) dxdy =⎰
1
00
⎰
x
(x -y ) 3xdxdy =
3
--------------------------78
⎧e -y
5、解:由X 和Y 独立,得f (x , y ) =f X (x ) f Y (y ) =⎨
⎩0
分
F Z (z ) =P (Z ≤z ) =P (X +Y ≤z ) =
x +y ≤z
0≤x ≤1, y >0
-----------------2其它
⎰⎰f (x , y ) d x d y
⎧
⎪z 0z -x ⎪
=⎨⎰⎰e -y dxdy =z -1+e -z
00
⎪1z -x -y
1-z -z
e dxdy =1-e +e ⎪⎩⎰0⎰0
分
z
0≤z
z ≥1
⎧0
⎪-z
f Z (z ) =F Z (z ) =⎨1-e
⎪e 1-z -e -z ⎩
分
z
0≤z
z ≥1
12⎫12⎫⎛0⎛0
6、解:X ~ 0. 30. 30. 4⎪⎪ Y ~ 0. 30. 10. 6⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
易
知
:
EX =1. 1,
-------3分
EY =1. 3
EX 2=1. 9EY 2=2. 5DX =EX 2-(EX ) 2=0. 69同理DY =0. 81
COV (ξ, η) =E ξη-E ξE η=E (αX -βY )(αX +βY ) -E (αX -βY ) E (αX +βY )
=E (α2X 2-β2Y 2) -(αEX -βEY )(αEX +βEY ) =α2EX 2-β2EY 2-[α2(EX ) 2-β2(EY ) 2]
=αDX -βDY =0. 69α-0. 81β ----------------------------------------------------7分
7、解: X (即μn ) ~B (100, 0. 05) -------------------------------------------------------------------1分
EX =np =5,
2
2
2
2
DX =np (1-p ) =4. 75
--------------------------------------------------3分 由中心极限定理,得
P (X -5
7分
4-np np (1-p ) ) =Φ(
X -np np (1-p ) ) -Φ(-
6-np np (1-p ) ) =2Φ(
14. 75
) -1
----
14. 75
X -np np (1`-p )
14. 75
4. 75
8、解:(1)X i ~B (1,p ), i =1, 2, 3, 4, 5 样本的联合分布列:
P (X 1=x 1, X 2=x 2, , X 5=x 5) =∏P (X i =x i ) =∏p (1-p )
x i
i =1
i =1
55
1-x i
=p
∑
i =1
5
x i
n -
(1-p )
∑x i
i =1
5
x i =0, 1; i =1~5
----------------3分
1n 153
(2)样本均值:=∑X i =∑X i = -----------------------------------------4
n i =15i =15
分
1n 15362
样本方差:S =(X -) =(X -) =∑i ∑i 525 ---------------------------6
n -1i =14i =1
分
(3)由(1)得: 似然函数L (p ) =p 分
对数似然函数ln L (p ) =
22
∑
i =1
5
x i
n -
(1-p )
∑x i
i =1
5
--------------------------------------7
∑x ln(p ) +(n -∑x ) ln(1-p )
i
i
i =1
i -1
55
5
d ln L (p ) 151
对求导并令其为0:=∑x i -(n -∑x i ) =0
dp p i =11-p i =1
得 ------------------------------9分
15
ˆ=∑x i p
n i =1
即为p 的极大似然估计
2006~2007学年第1学期期末考试《概率论和数理统计》试
卷(A )
一、填空题(本大题共有5小题,每题3分,满分15分)
(1) 设A 、B 互不相容,且P(A)>0,P(B)>0,则必有
(2) 某人花钱买了A 、B 、C 三种不同的奖券各一张. 已知各种奖券中奖是相互独立的, 中奖的概率分别为p (A ) =0. 03, P (B ) =0. 01, p (C ) =0. 02, 如果只要有一种奖券中奖此人就一定赚钱, 则此人赚钱的概率约为 (A) 0.05 (B) 0.06
(A)P (B A ) >0
(B) P (B ) =P (A ) (D) P (AB ) =P (A ) P (B )
(C) P (B ) =0
(C) 0.07 (D) 0.08
(3)X ~N (μ, 42), Y ~N (μ, 52), p 1=P {X ≤
(A) 对任意实数μ, p 1=p 2
μ-4},p 2=P {Y ≥μ+5},则
(B) 对任意实数μ, p 1
p 2
(C) 只对μ的个别值,才有p 1=p 2
(4) 设随机变量X 的密度函数为f (x ) ,且f (-x ) =f (x ), F (x ) 是X 的分布函数, 则对任意实数a 成立的是
(A) F (-a ) =1-⎰f (x ) dx
0a
(B) F (-a ) =
1a
-⎰f (x ) dx 20
(C) F (-a ) =F (a ) (D) F (-a ) =2F (a ) -1
(5) 二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则X+Y与X-Y 不相关的充要条件为
(A) EX =EY (C) EX
2
(B) EX -[EX ]=EY -[EY ] (D) EX +[EX ]=EY +[EY ]
2
2
2
2
2222
=EY 2
二、填 空 题 (本大题5小题, 每小题4分, 共20分)
(1) P (A ) =0. 4, P (B ) =0. 3, P (A ⋃B ) =0. 4, 则P (A ) =___________.
⎧4x 3, 0a ) =P (X
其它⎩0
的常数a =
(3) 设随机变量X ~N (2, σ2) ,若P {0
(4) 设两个相互独立的随机变量X 和Y 均服从N (1, ) ,如果随机变量X-aY+2满足条件
15
D (X -aY +2) =E [(X -aY +2) 2],则a =__________.
(5) 已知X ~B (n , p ) , 且E (X ) =8, D (X ) =4. 8, 则n =__________.
三、解答题 (共65分)
1. (10分) 某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品, 每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求:(1)全厂产品的次品率
(2) 若任取一件产品发现是次品, 此次品是甲车间生产的概率是多少?
2. (10分) 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f (x , y ) =⎨
⎧k (6-x -y ), 0
0 , 其它⎩
求:(1) 常数k (2) P (X +Y ≤4)
3. (10分) 设X 与Y 两个相互独立的随机变量,其概率密度分别为
⎧e -y , y >0; ⎧1, 0≤x ≤1;
f X (x ) =⎨ f Y (y ) =⎨
y ≤0. 其它. ⎩0, ⎩0,
求:随机变量Z =X +Y 的概率密度函数.
4. (8分) 设随机变量X 具有概率密度函数
f X (x ) =⎨
⎧x , ⎩0,
0
求:随机变量Y =e X -1的概率密度函数.
5. (8分) 设随机变量X 的概率密度为:
f (x ) =
1-x e 2
-∞
求:X 的分布函数.
6. (9分) 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障可获利润5万元;发生二次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,求一周内期望利润是多少?
7. (10分) 设X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1) ,且相互独立U =X +Y +1, V =X -Y +1, 求:(1) 分别求U,V 的概率密度函数; (2) U,V的相关系数ρUV ;
2006~2007学年第一学期期末考试《概率论与数理统计》试
卷(A )标准答案和评分标准
一、选 择 题(5×3分)
二、填 空 题(5×4分)
1
1、0.1 2、
2
3、0.35 4、3 5、20
三、 计 算 题(65分)
1、解:A 为事件“生产的产品是次品”,B 1为事件“产品是甲厂生产的”,B 2为事件“产品是乙厂生产的”,B 3为事件“产品是丙厂生产的”,易见
B 1, B 2, B 3是Ω的一个划分------------------2分
(1) 由全概率公式,得
P (A ) =
∑P (AB ) =∑P (B ) P (A B ) =25%⨯5%+35%⨯4%+40%⨯2%=0. 0345. --5分
i
i
i
i =1
i =1
33
(2) 由Bayes 公式有:
P (B 1A ) =
P (A B 1) P (B 1)
∑P (A B ) P (B )
i
i
i =1
3
=
25%⨯5%25
=
0. 034569
-----------------------------------------------------10
分
2、解:(1) 由于分 (2)
----------------------------------------10分
3、解:由卷积公式得f Z (z ) =⎰f (x , z -x ) dx ,又因为X 与Y 相互独立,所以
-∞+∞
⎰⎰
∞∞
f (x , y ) dxdy =1,所以dx k (6-x -y ) dy =1,可得k =
2
4-x
-∞-∞
⎰⎰
24
1
-------------524
⎰⎰
dx
11(6-x -y ) dy =2424
⎰
2
18
(x 2-6x +16) dx = 29
f Z (z ) =⎰f X (x ) f Y (z -x ) dx -----------------------------------------------------------3分
-∞
+∞
当z ≤0时,f Z (z ) =⎰f X (x ) f Y (z -x ) dx =0; ---------------------------------------------5
-∞
+∞
分
-(z -x )
dx =1-e -z ; ----------------------7 当0
+∞
z
分
当z ≥1时,f Z (z ) = 所
⎰
+∞
-∞
f X (x ) f Y (z -x ) dx =⎰e -(z -x ) dx =e -z (e -1);
1
以
f Z (z ) =⎰
+∞
-∞
0z ≤0⎧
⎪
f X (x ) f Y (z -x ) dx =⎨1-e -z 0
⎪e -z (e -1) z ≥1⎩
4、解:Y =e X -1的分布函数F Y (y ).
F Y (y ) =P (Y ≤y ) =P (e X -1≤y ) =P (X ≤ln(y +1)) =⎰
----------------------------2分
0, ⎧
⎪12
⎨ln (y +1), ⎪16
1, ⎩
y
ln(y +1)
-∞
f X (x ) dx
=
0≤y
分
⎧ln(y +1)
, d ⎪于是Y 的概率密度函数f Y (y ) =F Y (y ) =⎨8(y +1)
dy ⎪0, ⎩
0
其他.
分
5、 解: F (x ) =⎰f (t ) dt
-∞x
当
1x t 1t
e dt =e ----------------------------------------------------------------3分 ⎰-∞22
x 101
当x ≥0, F (x ) =[⎰e t dt +⎰e -t dt ]=1-e -t -----------------------------------------8
02-∞2x
分
⎛5⎫k 5-k
6、解:由条件知X ~B (5, 0. 2) ,即P {X =k }= k ⎪⎪0. 20. 8, k =0, 1, , 5 -------------------- 3
⎝⎭
分
⎧10, ⎪5, ⎪
Y =g (X ) =⎨
⎪0, ⎪⎩-2,
分
X =0;
X =1;
-----------------------------------------------------------------6X =2; X ≥3
EY =Eg (X ) =∑g (k ) P {X =k }
k =0
5
=10⨯P {X =0}+5⨯P {X =1}+0⨯P {X =2}-2⨯[P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}]
=10⨯0. 328+5⨯0. 410-2⨯0. 057=5. 216(万元)
9分
-------------------------------------------
7、解:(1)因为X ~N (0, 1), Y ~N (0, 1) ,且相互独立,所以U =X +Y +1, V =X -Y +1都服从正态分布,
EU =E (X +Y +1) =EX +EY +E 1=1 DU =D (X +Y +1) =DX +DY =2 -------------------------------------------------------3分 所以 U ~N (1, 2) ,所以 f U (u ) =
14π
e
-
u 2
4
同理 EV =E (X -Y +1) =EX -EY +E 1=1 DU =D (X -Y +1) =DX +DY =2
所以 V ~N (1, 2) ,所以 f V (u ) =分
14π
e
-
u 24
-------------------------------------------------5
(2)EUV =E (X +Y +1)(X -Y +1) =E (X 2-Y 2+2X +1)
=EX 2-EY 2+2EX +1=DX +(EX ) 2-(DY +(EY ) 2) +2EX +1 =1 -------------------------------------------8分 所
以
ρUV =
EUV -EUEV DU DV
=0
--------------------------------------------------------------10分
郑州轻工业学院
概率论与数理统计试题 A 卷
2007-2008学年 第二学期 2008.06
一、填空题(每空3分,共18分)
1. 事件A 发生的概率为0.3,事件B 发生的概率为0.6,事件A ,B 至少有一个发生的概率为0.9,则事件A ,B 同时发生的概率为____________
2. 设随机向量(X ,Y )取数组(0,0),(-1,1),(-1,2),(1,0)的概率分别为取其余数组的概率均为0,则c =__________
3. 设随机变量X 在(1,6)上服从均匀分布,则关于y 的方程y -Xy +1=0无实根的概率为_______________.
4. 若X ~N (0, 1) ,Y ~N (0, 1) ,且X 与Y 相互独立,则Z =X +Y 服从______________
2
1115
, , , , 2c c 4c 4c
⎧(θ+1) x θ, 0
5. 设总体X 的概率密度为f (x ; θ) =⎨,X 1, X 2 , X n 为来自总体X
0, 其他⎩
的一个样本,则待估参数θ(θ>-1)的最大似然估计量为_____________.
6. 当σ2已知,正态总体均值μ的置信度为1-α的置信区间为(样本容量为n )___________
二、选择题(每题3分,共18分)
1. 对任意事件A 与B ,下列成立的是-------------------------------------------------------------( ) (A )P (A |B ) =P (A ), (P (B ) ≠0) (B )P (A B ) =P (A ) +P (B ) (C )P (AB ) =P (A ) P (B |A ), (P (A ) ≠0) (D )P (AB ) =P (A ) P (B ) 2. 设随机变量X ~B (n , p ) 且期望和方差分别为E (X ) =2. 4,
则----( ) D (X ) =0. 48,
(A) n =8, p =0. 3 (B) n =6, p =0. 4 (C) n =3, p =0. 4 (D ) n =3, p =0. 8 3. 设随机变量X 的分布函数为F X (x ),则Y =
X +4
的分布函数F Y (y )为-------------( ) 2
11
(A) F X (y ) +2 (B) F X (y +2)
22
(C) F X (2y ) -4 (D )F X (2y -4)
4. 若随机变量X 和Y 的相关系数ρXY =0,则下列错误的是---------------------------------( ) (A) X , Y 必相互独立 (B) 必有E (XY ) =E (X ) E (Y ) (C) X , Y 必不相关 (D ) 必有D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) 5. 总体X ~N (0, 1) ,X 1, X 2 , X n 为来自总体X 的一个样本,X , S 2分别为样本均值和样本方差,则下列不正确的是--------------------------------------------------------------------( ) (A) n X ~N (0, n ) (B)
n
X
~t (n -1) S
(C)
122
X ~N (0, ) (D ) X ~χ(n ) ∑i
n i =1
2
6. 设随机变量X k (k =1, 2 ) 相互独立, 具有同一分布, EX k =0, DX K =σ, k =1, 2, ,
则当n 很大时,
∑X
k =1
n
k
的近似分布是--------------------------------------------------------( )
(A) N (0,n σ2) (B) N (0,σ2) (C) N (0,σ2/n )
(D) N (0,σ2/n 2)
三、解答题(共64分)
1. (本题10分)设一批混合麦种中一、二、三等品分别占20%、70%、10%,三个等级的
发芽率依次为0.9,0.7,0.3,求这批麦种的发芽率。若取一粒能发芽,它是二等品的概率是多少?
2. (本题10分)设随机变量X 具有概率密度
⎧Ke -3x , x >0
f (x ) =⎨
x ≤0⎩0,
(1) 试确定常数K ;
(2) 求X 的概率分布函数F (x );
(3) 求P {-1
3. (本题10分)随机变量X
求E (X ), E (4X +1), E (X 2), D (X ), D (4X +1) 4. (本题10分)设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为
⎧1
⎪(x +y ) e -(x +y ) , x >0, y >0
f (x , y ) =⎨2
⎪0, 其他⎩
求X 和Y 的边缘概率密度并判断X 和Y 是否独立?
σ5. (本题8分)某种灯管寿命X (以小时计)服从正态分布X ~N (μ, σ), μ未知,
22
=100,
现随机取100只这种灯管,以X 记这一样本的均值,求均值X 与μ的偏差小于1的概率. 6. (本题10分)设X ~U (0, b ), b >0未知. X 1, X 2 , X n 为来自总体X 的一个样本,求b 的矩估计量. 今测得一个样本值0.5,0.6,0.1,1.3,0.9,1.6,0.7,0.9,1.0,求b 的矩估
计值.
7. (本题6分)自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值. 算得样本均值为8.3 ,标
准差为0.025 . 设样本来自正态总体X ~N (μ, σ2), μ, σ2均未知. 试依据这一样本取显著性水平α=0. 01检验假设H 0:μ≥8. 42,
μ
郑州轻工业学院
概率论与数理统计试题 A 卷参考答案
2007-2008学年 第二学期 2008.06
一、填空题(每空3分,共18分)
1. 0 2. 3 3. 1/5 4. N (0, 2) 5. -1-
n
∑ln x
i =1
n
i
6. (X ±
σ
n
z α/2)
二、选择题(每题3分,共18分)
1~6 C D D A B A
三、解答题(共64分)
} A i ={取的是第i 等品1. 解:B ={能发芽}i =1, 2, 3, , 4
易见A 1, A 2, A 3, A 4是Ω的一个划分----------------------------------------------------------------2分
P (A 1) =0. 2, P (A 2) =0. 7,P (A 3) =0. 1
P (B |A 1) =0. 9, P (B |A 2) =0. 7,P (B |A 3) =0. 3-----------------------------------------------5分
由全概率公式,得
P (B ) =∑P (A i ) P (B |A i ) =0. 2⨯0. 9+0. 7⨯0. 7+0. 1⨯0. 3=0. 7 ------------------------8分
i =1
4
P (A 2|B ) =
2. (1) 由于即
P (B |A 2) P (A 2) 0. 49
==0. 7------------------------------------10分
P (B ) 0. 7
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx =1,-------------------------------------------------------------------------1分
+∞
⎰
+∞
-∞
f (x ) dx =⎰Ke -3x dx =
1+∞-3x K -3x +∞K
Ke d (-3x ) =e |0==1 ⎰0-3-33
得K =3.--------------------------------------------------------------------------------------------------4分
于是X 的概率密度
⎧3e -3x , x >0
;--------------------------------------------------------------------5分 f (x ) =⎨
0, x ≤0⎩
(2) F (x ) =
⎰
x
-∞
⎧0, x ≤0
------------------------------------------8分 f (x ) dx =⎨-3x
⎩1-e , x >0
(3) P {-1
11117+1⨯+2⨯+3⨯= 248889
E (4X +1) =
2
[1**********]
E (X ) =0⨯+1⨯+2⨯+3⨯=
24888
154971-= D (X ) =E (X 2) -[E (X )]2=
8646471
D (4X +1) =16⨯D (X ) =.---------------------------------------------------------------10分
4
⎧1+x -x ⎪e , x >0, -----------------------------------------------------------------------4分
4. f X (x ) =⎨2
⎪0, x ≤0⎩
⎧1+y -y ⎪e , y >0, -----------------------------------------------------------------------8分
f Y (y ) =⎨2
⎪0, y ≤0⎩
3. E (X ) =0⨯
显然f X (x ) f Y (y ) ≠f (x , y ) ,故X 和Y 不相互独立---------------------------------------------10分 5. P {|X -μ|
-1X -μ1
---------------------------------------------------------7分
⎧1
⎪, x ∈(0, b ) ,b >0
6. f (x ) =⎨b --------------------------------------------------------------------1分
⎪0, 其他⎩b 19
μ1=E (x ) =, A 1=∑X i --------------------------------------------------------------------5分
29i =1ˆ=由μ1=A 1,可得b
2
------------------------------------------------------------------------------8分 9
ˆ=2=2⨯7. 6≈1. 689---------------------------------------------------------------------------10分 b
99
7. 要检验假设H 0:μ≥8. 42,
μ
⎧⎩
x -μ0
⎫
≤-t 0. 01(8) =-2. 8965⎬, ------------3分
s /n ⎭
这是个左边检验问题,其拒绝域为⎨t =
现在t =
x -μ0s /n
=-14. 4
所以在显著性水平α=0. 01下拒绝H 0,即认为含铜量的百分比小于8.42.-----------7分