关联周界中点三角形的性质
2007年第11期15
短 论 集 锦
关联周界中点三角形的性质
丁遵标
(安徽省舒城县杭埠镇中心学校,231323)
=a-
2
bc
.
2
又(p-a)(p-b)(p-c)=rp,
bc=2Rr,
故 ∑a=
=21
∑a
2
-2
bc
22
笔者通过对周界中点三角形边长之间的关系的研究,得到下面一个有趣的性质.
命题 设△DEF是△ABC的周界中点三角形,且△ABCa、c周长为p,面积为S,R,圆半径=1,=1,c1,.则∑
∑
-4rp
2
22
Rp.
2
a
22
4r22
-
R
p.
2
,
∑a
=
∑a
21
+
从而,命题得证.记△ABC、△DEF三边上的中线长分别
m′m′为ma、mb、mc,m′a、b、c.
∑a
2
=
∑a
2
1
+
R
p.
2
证明:如图1,由周界中点三角形的定义知
AE+AB
=AE+c=p,AF+AC
=AF+b=p.
由于
∑
2a
ma=
2
4
∑
21
a,
2
∑m′=4∑a
p=
图1
2
,
(a+b+c)24
因此,AE=p-c,AF=p-b.在△AEF中,
EF=AE+AF-2AE・AFcosA,
222
即 a1=(p-b)+(p-c)-2
2
2
2(p-b)(p-c)cosA
2
=[(p-b)+(p-c)]-
2
(a2+b2+c2)=a,44∑结合命题结论得
222
mm′maa+a.3∑3∑R∑这样,便可得到
22
推论1 ∑mam′a.∑2R-3r
2(p-b)(p-c)(1+cosA)
2
=(2p-b-c)-
2(p-b)(p-c)1+
2bc
222
由欧拉不等式知R≥2r,故=1+
2R-3r2R-3r
≤1+=4.
4r-3r进而可得
2
推论2 ∑ma≤4
=a-
2
bc
∑m′.
a
2
16中等数学
由Weitzenb ck不等式合命题,不难得到
推论3 ∑aS.
参考文献:
2
1
∑
2
a≥4S,结
即 |(j-i)a-([ja]-[ia])|
M
若j-i>0,令m0=j-i,n0=[ja]-[ia];若j-i
下面解决原题.
若T=ω>1,设T=1+d,则d>0.
||
不妨设ω>0.
,f(πm∈Z).2
从而,使f(x)取得最大值的x是
xm=m
m0
[1] 丁遵标.周界中点三角形的三个性质[J].福建中学数
M
.m0M
学.2005(10).
π)关于f(x)=sin(ωx+r
在两连续整数间取得最值的一个充要条件
王世 张广民
(天津市南开中学,300100)
π),r 题目 设f(x)=sin(ωx+r
Q.若ω∈Qx)间[n,n最小值,?
引理 设a∈R,a≠0,对任意的M≥1,存在m0∈N+,m0≤[M],n0∈Z,使得
|m0a-n0|
M
ππQ+-=+-ω2ωωω2ωω
-r=0).2
(至多有一个xm′例外:2m′+
,
要证存在m、n∈Z,使得
xm+xm-其中,[x]表示不大于实数x的最大整数.
引理的证明:记{x}=x-[x]∈[0,1).考虑[M]+2个数:{0・a}(=0),{1a},{2a},…,{[M]a},1.(1)若存在i、j∈{0,1,…,[M]},使得{ia}={ja}.不妨设i
ia-[ia]=ja-[ja],
(j-i)a-([ja]-[ia])=0.
令m0=j-i,n0=[ja]-[ia],则
|m0a-n0|=0
M
2
>n+1,
①
2
成立,只要证
xm-xm-n
+n+
222
>
-=-,
222
2
-
=22
Ζxm-
n+
2
.
(2)若{ia}≠{ja}恒成立,则这[M]+2
个数将[0,1]分为[M]+1个区间,其中,至
少有一个区间[{ia},{ja}]的长度不大于,故
[M]+1
|{ja}-{ia}|
[M]+1M
πΖ-n+--
θ,记ω-ω-=-222ωω2则θ≠0.
故式②Ζ
ω
-n+θ
2
.
由引理,因ωQ,故存在m0、n0∈Z,使