1.2.1直线方程的点斜式.(正式)
1.2.1直线方程的点斜式
(一)学习目标
1.知识与技能
(1)理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围;
(2)能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程;
(3)体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.
2.过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素——直线上的一点和直线的倾斜角的基础上,通过探讨,得出直线的点斜式方程,对比理解“截距”与“距离”的区别.
3.情态与价值观
体会直线的斜截式方程与一次函数的关系,进一步培养数形结合的思想,渗透数学中普遍存在相互联系、相互转化等观点,使学生能用联系的观点看问题.
(二)重点、难点:
(1)重点:直线的点斜式方程和斜截式方程.
(2)难点:直线的点斜式方程和斜截式方程的应用.
(三)学习过程
1.在直角坐标系内确定一条直线,应知道哪些条件?
直线的方程,就是直线上任意一点的坐标(x, y)满足的关系式.
2.直线l经过点P0 (x0, y0),且斜率为k. 设点P (x, y)是直线l上的任意一点,请建立x,y与k,x0, y0之间的关系.
yy0根据斜率公式,可以得到,当x≠x0时,k,即y – y0 = k (x – x0)
xx0
3.(1)过点P0 (x0, y0),斜率是k的直线l上的点,其坐标都满足方程(1)吗?
(2)坐标满足方程(1)的点都在经过P0 (x0, y0),斜率为k的直线l上吗?
方程(1)由直线上一定点及其斜率确定,所以叫做直线的点斜式方程,简称点斜式
4.(1)x轴所在直线的方程是什么?Y轴所在直线的方程是什么?
(2)经过点P0 (x0, y0)且平行于x轴(即垂直于y轴)的直线方程是什么?
(3)经过点P0 (x0, y0)且平行于y轴(即垂直于x轴)的直线方程是什么? 通过画图分析,求得问题的解决.
1例1
求倾斜角是直线y1的倾斜角的,且分别满足下列条件的直线方程是. 4
(1
)经过点1); (2)在y轴上的截距是–5.
【解析】∵直线y
1的斜率k ∴其倾斜角=120°由题意,得所求1直线的倾斜角130.
故所求直线的斜率k1tan30
4
(1)∵所求直线经过点1)
∴所求直线方程是y1
x,即3y60. (2
)∵所求直线的∴所求直线的方程为yy轴上的截距为–5,
x5,
3y150 【点评】(1)由于点斜式与斜截式方程中都是用斜率k来表示的,故这两类方程不能用于垂直于x轴的直线.如过点(1,2),倾斜角为90°的直线方程为x – 1 = 0.
(2)截距和距离是两不同的概念,y轴上的截距是指直线与y轴交点的纵坐标,x轴上的截距是指直线与x轴交点的横坐标.若求截距可在方程中分别令x = 0或y = 0求对应截距.
例2 直线l过点P(–2,3)且与x轴,y轴分别交于A、B两点,若P恰为线段AB的中点,求直线l的方程.
【解析】设直线l的斜率为k,
∵直线l过点(–2,3),
3∴直线l的方程为y – 3 = k[x – (–2)],令x = 0,得y = 2k + 3;令y = 0得x2. k
3∴A、B两点的坐标分别为A(2,0),B(0,2k + 3). ∵AB的中点为(–2,3) k
3k20
23,解之得k ∴2202k332
3∴直线l的方程为y3(x2),即直线l的方程为3x – 2y +12 = 0. 2
练习:
1. 已知直线的倾斜角为60°,在y轴上的截距为-2,则此直线方程为________.
2. 直线y=kx+b过原点的条件是________.
3. 直线y=kx+b通过第一、三、四象限,则有________.
①k>0,b>0; ②k>0,b
③k0; ④k
4. 下列在同一直角坐标系中,表示直线y=ax与y=x+a正确的是________.
作业:
1. 将直线y=3x绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位长度,所得到的直线为
______________.
2. 过点(0,0)且斜率为1的直线方程为________.
3. 直线l过点P(2,-3),且与过点M(-1,2),N(5,2)的直线垂直,求直线l的方程.
4. 写出斜率为2,在y轴上的截距为m的直线方程,当m为何值时,直线经过点(1,1).